帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的分岔研究

李紅燕

(陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部， 北京 100072)

Gray-Scott系統(tǒng)是一個(gè)典型的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，它能展現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，尤其在一定參數(shù)范圍內(nèi)可展現(xiàn)出混沌行為，因此受到廣泛關(guān)注。Gray-Scott系統(tǒng)描述的是2種化學(xué)物質(zhì)參與化學(xué)反應(yīng)的過(guò)程[1]，可由以下非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程組表示：

(1)

Gray-Scott系統(tǒng)可以反映2種化學(xué)物質(zhì)在反應(yīng)中的基本規(guī)律，但VANAG等[2]提出交錯(cuò)擴(kuò)散影響是化學(xué)反應(yīng)中不容忽視的因素，因此需要考慮物質(zhì)u的梯度對(duì)物質(zhì)v產(chǎn)生的交錯(cuò)擴(kuò)散影響。帶交錯(cuò)擴(kuò)散影響的Gray-Scott系統(tǒng)可由如下偏微分方程組描述：

(2)

式中：d0為交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)。

雖然Gray-Scott系統(tǒng)是一個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)，但PEARSON[1]發(fā)現(xiàn)其可以展現(xiàn)出各種模式，由此引發(fā)眾多學(xué)者對(duì)Gray-Scott 系統(tǒng)模式生成及各種解的穩(wěn)定性進(jìn)行研究[3-10]。MAZIN等[10]采用線性穩(wěn)定性分析方法，在研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，研究了Gray-Scott模型遠(yuǎn)離平衡態(tài)的斑圖形成機(jī)制，通過(guò)對(duì)初值的劇烈擾動(dòng)獲得了各種模式解，給出了時(shí)空混沌模式參數(shù)和初值的選取方法。NISHIURA等[11]在分岔分析的基礎(chǔ)上研究了在Gray-Scott模型中出現(xiàn)的時(shí)空混沌行為。雖然上述結(jié)果為后續(xù)Gray-Scott系統(tǒng)及其推廣系統(tǒng)研究提供了理論和方法基礎(chǔ)[12-17]，但目前對(duì)帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott 系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)研究鮮見(jiàn)報(bào)道。因此，筆者利用線性穩(wěn)定性方法研究帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，并對(duì)系統(tǒng)的分岔情況進(jìn)行研究。

1 帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和分岔情況

求解方程組

可得帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)有3個(gè)常值平衡點(diǎn)，其中包括1個(gè)平凡平衡點(diǎn)E0=(u0,v0)=(1,0),而當(dāng)d≡1-4(a+b)2/a>0時(shí),出現(xiàn)2個(gè)非平凡平衡點(diǎn)，分別為

(3)

(4)

說(shuō)明系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)有3個(gè)相同的平衡點(diǎn)。

利用線性穩(wěn)定性方法分析各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[10]:由于系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)的線性近似系統(tǒng)相同，因此平衡點(diǎn)具有相同的穩(wěn)定性，即系統(tǒng)(2)在E0點(diǎn)處總是穩(wěn)定的，在E2點(diǎn)處總是不穩(wěn)定的，在平衡點(diǎn)E1處可能穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定。

由于在討論鞍結(jié)點(diǎn)分岔和霍普夫分岔性質(zhì)時(shí)不考慮系統(tǒng)的交錯(cuò)影響，因此系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)有相同的鞍結(jié)點(diǎn)分岔和霍普夫分岔情況。

鞍結(jié)點(diǎn)分岔線為

(5)

當(dāng)a和b滿足不等式

霍普夫分岔線為

(6)

2類不穩(wěn)定的公共區(qū)域可表示為

(7)

2 帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔

2.1 帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)圖靈分岔線的解析求解

圖靈分岔的必要條件是：在不考慮擴(kuò)散項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)均勻微小擾動(dòng)是穩(wěn)定的；當(dāng)加入擴(kuò)散項(xiàng)時(shí),系統(tǒng)對(duì)小的空間擾動(dòng)是不穩(wěn)定的[10]?？紤]E1的圖靈穩(wěn)定性，參照文獻(xiàn)[10]中的方法和結(jié)果，系統(tǒng)(2)的線性微擾方程表示如下：

(8)

式中：

(9)

將微擾變量在傅里葉空間展開(kāi)，根據(jù)線性穩(wěn)定性分析方法[10]，得到系統(tǒng)(2)的特征方程為

λ2-Tλ+D=0,

(10)

式中：

T=a11+a22-q2(d1+d2),

(11)

D=a11a22-a12a21-q2(a22d1+

a11d2-a12d0)+q4d1d2,

(12)

其中q為微擾參量。

特征方程(10)的特征值為

將u1和v1代入式(9)、(11)、(12)，可得

Dmin= (a+b)(v2-a)-[d1(a+b)+

2d0(a+b)-d2(v2+a)]2/(4d1d2)<0。

即

[σ(a+b)+2σ1(a+b)-(v2+a)]2>4σ(a+b)(v2-a)。

(13)

式中：σ=d1/d2；σ1=d0/d2。

則系統(tǒng)(2)的圖靈分岔線可表示為

[σ(a+b)+2σ1(a+b)-(v2+a)]2= 4σ(a+b)(v2-a)。

(14)

由文獻(xiàn)[10]可知：Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線為

在圖靈線下方區(qū)域內(nèi)，即參數(shù)滿足

[σ(a+b)-(v2+a)]2>4σ(a+b)(v2-a)

(15)

時(shí)，平衡點(diǎn)E1是圖靈不穩(wěn)的。

由式(14)和(15)可知：交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)d0會(huì)影響σ1，從而使得兩系統(tǒng)圖靈分岔線的位置不同。

2.2 帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)圖靈分岔線的位置分析

當(dāng)圖靈分岔線在鞍結(jié)點(diǎn)分岔線和霍普夫分岔線之間時(shí)，其交叉作用會(huì)使系統(tǒng)顯示出豐富的性態(tài)，因此,將參數(shù)首先限定在此區(qū)域中對(duì)比系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)圖靈分岔線的位置。為便于敘述主要結(jié)果，先給出以下2個(gè)引理。

引理1：若參數(shù)a>0和0

(a+b)4>a2b。

(16)

引理2：若參數(shù)a>0和0

2(a+b)3-a2>0。

(17)

以下為本文的主要結(jié)果,其揭示了Gray-Scott系統(tǒng)和帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線之間的位置關(guān)系。

定理1：若σ≥1,σ1>0，參數(shù)a>0，0

證明：設(shè)f=σ(a+b)-(v2+a),將式(3)中的值代入,可得

由條件σ≥1可得

σ(a+b)+2σ1(a+b)-(v2+a)>σ(a+b)-(v2+a)，

(18)

由于不等式(18)兩邊均大于0，因此對(duì)其兩邊進(jìn)行平方可得

[σ(a+b)+2σ1(a+b)-(v2+a)]2> [σ(a+b)-(v2+a)]2，

(19)

由不等式(7)和(19)，可得此時(shí)參數(shù)a和b滿足不等式(13)，定理1得證。

由定理1可知：當(dāng)σ≥1，σ1>0時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線比Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線更靠近霍普夫分岔線。

σ=2時(shí)，σ1=0.1,0.3下Gray-Scott系統(tǒng)和帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)不同分岔線的位置分別如圖1、2所示?？梢钥闯觯寒?dāng)σ≥1，σ1>0時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線比Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線更靠近霍普夫分岔線；當(dāng)σ1變大時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線會(huì)遠(yuǎn)離Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線，與定理1結(jié)果一致。

定理2：若σ≥1,σ1<0，2|σ1|(a+b)<2[σ(a+b)-(v2+a)],且參數(shù)a>0，0

證明：由定理1的證明過(guò)程可知f=σ(a+b)-(v2+a)>0，當(dāng)σ1<0,且2|σ1|(a+b)<2[σ(a+b)-(v2+a)]時(shí)，有

[σ(a+b)+2σ1(a+b)-(v2+a)]2< [σ(a+b)-(v2+a)]2。

(20)

由不等式(13)和(20),可得此時(shí)參數(shù)a和b滿足不等式(15)，定理2得證。

由定理2可知：當(dāng)σ≥1,σ1<0時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線比Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線更靠近鞍結(jié)點(diǎn)分岔線。圖3為σ=2時(shí)不同分岔線的位置，可以看出：當(dāng)σ=2，σ1=-0.2時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線在Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線下方，更靠近鞍結(jié)點(diǎn)分岔線，與定理2結(jié)果一致。

由本節(jié)分析可知：加入交錯(cuò)擴(kuò)散可改變夾在Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線和霍普夫分岔線之間區(qū)域的面積，而由文獻(xiàn)[10]可知，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)Gray-Scott系統(tǒng)可呈現(xiàn)出混沌模態(tài)，因此有必要通過(guò)數(shù)值模擬進(jìn)一步分析帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的模態(tài)。

3 數(shù)值模擬分析

采用歐拉法研究帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的時(shí)空發(fā)展行為，并與Gray-Scott系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比分析。空間變量x的步長(zhǎng)Δx=0.01，時(shí)間變量t的步長(zhǎng)Δt=0.01，初始條件(u0,v0)T=(1,0)T,并伴隨中間的劇烈震蕩。擴(kuò)散系數(shù)d1=2×10-5，d2=10-5，其他參數(shù)在每次模擬時(shí)取值不同。

圖4、5分別為Gray-Scott系統(tǒng)和帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的解u(x,t)在不同參數(shù)a、b下的時(shí)空發(fā)展圖。對(duì)比圖4(a)、(b)以及圖5(a)、(b)可以看出:當(dāng)d0>0時(shí)，加入交錯(cuò)擴(kuò)散可使Gray-Scott系統(tǒng)解的振蕩混亂程度減弱,這種效果在圖4(a)、(b)的對(duì)比中尤其明顯，加入交錯(cuò)擴(kuò)散使原本的混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橐?guī)則運(yùn)動(dòng)。對(duì)比圖4(a)、(c)以及圖5(a)、(c)可以看出：當(dāng)d0<0時(shí)，加入交錯(cuò)擴(kuò)散可使Gray-Scott系統(tǒng)解的振蕩混亂程度加強(qiáng)，這種效果在圖5(a)、(c)的對(duì)比中尤其明顯，加入交錯(cuò)擴(kuò)散使原本的規(guī)則運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，當(dāng)參數(shù)在Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線和霍普夫分岔線之間的區(qū)域取值時(shí)，通過(guò)大量的數(shù)值模擬都發(fā)現(xiàn)了同樣的規(guī)律，但要注意此時(shí)|d0|要足夠小。

4 結(jié)論

筆者采用線性穩(wěn)定性方法研究了帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，結(jié)果表明：交錯(cuò)擴(kuò)散不影響系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及鞍結(jié)點(diǎn)分岔和霍普夫分岔特性。采用微擾法研究了交錯(cuò)擴(kuò)散對(duì)帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)圖靈分岔線的影響，結(jié)果表明：交錯(cuò)擴(kuò)散會(huì)影響帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)的圖靈分岔線位置，而且當(dāng)交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)為正時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)圖靈分岔線更靠近霍普夫分岔線；當(dāng)交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)為負(fù)且絕對(duì)值足夠小時(shí)，帶交錯(cuò)影響的Gray-Scott系統(tǒng)圖靈分岔線將會(huì)遠(yuǎn)離霍普夫分岔線。通過(guò)數(shù)值模擬分析發(fā)現(xiàn)：加入交錯(cuò)影響可使Gray-Scott系統(tǒng)解的振蕩混亂程度加強(qiáng)或減弱。研究結(jié)果為更進(jìn)一步的系統(tǒng)模式分析奠定了基礎(chǔ)。