一類指數(shù)超線性拋物方程的無窮時間爆破問題

羅森月，鄧芳芳

（1 廣東開放大學(xué) 廣東理工職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 廣東 廣州， 510091；2 廣東開放大學(xué) 廣東理工職業(yè)學(xué)院 信息與工程學(xué)院， 廣東 廣州， 510091）

1 概述和主要結(jié)果

本文中，筆者研究以下非局部拋物問題：

文獻(xiàn)[1-2]研究了一類一般項的問題及其高維情形（帶拉普拉斯算子）和有限時間爆破解的漸近性態(tài)． 特別地，對于式（1），若足夠大，可得1）；并且若足夠小，可得2）．關(guān)于半線性系統(tǒng)或具有此類反應(yīng)項的退化方程的有限時間爆破的結(jié)果，可參考文獻(xiàn)[3-4]．在文獻(xiàn)[5]中證明了，

則3）不可能發(fā)生．（2）的必要性在全局無界解中的作用尚不清楚．本文的目標(biāo)是通過構(gòu)造一類破壞條件（2）的廣義函數(shù)解此問題，并且在該情形下的初始值使得3）可能發(fā)生．

本文的得到的定理如下：

2 相關(guān)引理和定理1的證明

為研究方便起見，將（1）標(biāo)記為

下面給出2個引理．

其中指標(biāo)函數(shù)

由此得出上界的估計．

下面證明較低的估計．顯然有

因此，較低的估計可得出．

經(jīng)歷了1 9 7 9年那個冬天，殷燕才知道真的戰(zhàn)場遠(yuǎn)比《英雄兒女》里更糟糕。2月2 7日晨，東線最關(guān)鍵的諒山戰(zhàn)役開始。有一個河南開封的兵李民，高個，白凈，愛說愛笑，會拉手風(fēng)琴，醫(yī)院的女孩兒們都喜歡和他搭腔聊天，與殷燕相熟?！?月2 8日那天，從6 5 0高地上抬下來許多尸體。大家都在忙著工作，一個女兵突然驚呼：這不是李民嗎！頭的一半已被炮彈炸飛，軍裝被血浸透，擔(dān)架里都是血水。要不是拿出他左上兜能夠證明身份的生死牌，誰也不知道他就是李民?！币笱嗷貞洝?/p>

引理2設(shè)

由引理1中的下界估計，

由引理1，有

從而得到（16）．

因此可得（17）．

由引理2和注1可直接得出結(jié)論．

3 結(jié)論

本文中，筆者考慮了一類具有任意增長性的一般非線性拋物問題, 在合理的假設(shè)下, 得出了無窮時間爆破仍然發(fā)生的結(jié)論(見引理2或定理1)．筆者采用間接的方法證明：首先求解一個線性熱方程，其具有規(guī)定的空間常數(shù)，且右端函數(shù)在時增長到無窮大，并且對這個問題的解做了一些精確的估計．

對更一般的局部反應(yīng)項的相關(guān)問題

在狄利克雷邊界條件下，全局解的有界性問題一直是研究的熱點課題. 特別地, 與 （1）不同的是,在空間維度 1 (或2)中（21）的無窮時間爆破從未發(fā)生（參考文獻(xiàn)[9]）, 但它可能在3或更高的維度中發(fā)生．在證明中得出了一類特殊的 1維的無窮時間爆破解的存在性. 這對進(jìn)一步了解（21）的性質(zhì)有一定助益.