定積分在解析變力做功問題的應(yīng)用研究

（滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部 安徽 滁州 239000）

1.定積分概念的背景和幾何意義

高等數(shù)學(xué)教材中有關(guān)定積分的學(xué)習(xí)主要是借助于求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等幾個(gè)典型直觀實(shí)例的引入探究，為定積分概念的背景構(gòu)建認(rèn)知基礎(chǔ)，為學(xué)生理解定積分概念及幾何意義起到了很好地鋪墊作用。有很多類似的物理學(xué)問題如：變力做功、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等均可以用一個(gè)特定形式的和式極限來求解，也就是定積分的“微元法”，解決這類問題的思想方法概括起來說就是“分割、取近似值、求和、取極限”。

圖1

圖2

如果f(x)在[a,b]上有正負(fù)，則積分值就可把曲線y=f(x)在x軸上方部分和下方部分所有曲邊梯形正負(fù)面積的代數(shù)和求出來。如圖3所示，有：。

圖3

2.淺析物理學(xué)中的定積分解題思路步驟

2.1 定義法

采用定積分的定義法求解幾何或物理學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用問題，其實(shí)就是直接求和式的極限[2]。 以求曲邊梯形面積為例，可歸納總結(jié)為以下5個(gè)步驟：

（1）判斷所給的函數(shù)f(x)在給定的閉區(qū)間[a,b]上是否是連續(xù)函數(shù)。

（2）分割，在區(qū)間[a,b]上任取 n 份，分點(diǎn) a=x0＜x1＜x2＜···＜xn-1＜xn=b，再把[a,b]分成 n 個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,3,···,n)。 每個(gè)小區(qū)間的長度可記為△xi=xi-xi-1(i=1,2,3,···,n)；把整體問題化為局部問題，以均勻代替非均勻（或以直代曲）。

（3）取近似值，在分成的每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi，再豎起高線f(ξi)，可得任一小長條面積△Ai的近似值：△Ai≈f(ξi)△xi(i=1,2,3,···,n)。

（4）求和，把n個(gè)小長條面積相加在一起，采用求和公式可得出曲邊梯形面積A的近似值：

2.2 微元分析法

我們常運(yùn)用定積分的“微元法”解決幾何、物理學(xué)上的實(shí)際應(yīng)用問題。一般來說，凡是具有可加性連續(xù)分布的非均勻量的求和問題，都可通過此法來解決問題。“微元法”可以說是借助“微元”這一中間變量，再無限累計(jì)最后運(yùn)用定積分求解演變的一個(gè)過程[3]。微元法有3個(gè)操作步驟：

（1）先建立合適的二維坐標(biāo)系，選取積分變量x并確定其變化的區(qū)間[a,b]，而所求的因變量A必須要與自變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)。

（2）把積分區(qū)間[a,b]分割成無數(shù)個(gè)子區(qū)間，可以在其上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，并在小區(qū)間上找出相應(yīng)的微元量dA，dA=f(x)dx，根據(jù)微元具有可加性，再把微元量dA相疊加在一起。

3.定積分的“微元法”在變力做功問題中的應(yīng)用

3.1 摩擦力做功

【例1】有一物體在水平面上沿OX軸的正方向前進(jìn)，水平面上各處的摩擦系數(shù)不等，因而作用于物體的摩擦力是一變力。已知某段路面摩擦力的大小隨坐標(biāo)x變化的規(guī)律是[3]f=1+x(x＞0)，求從x=0到x=4cm過程中，摩擦力所做的功。

解：由題意知：（1）摩擦力f=1+x(x＞0)是一變力，隨著x的值變化而變化，我們不能簡單地用以前學(xué)習(xí)的直線運(yùn)動(dòng)中做功公式A=Fscosα求解，此做功公式中力F是一恒力，它的大小和方向不變，s是受該恒力作用的質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的位移，α是力F和位移s之間的夾角。（2）摩擦力的大小f=1+x是變力，物體沿OX軸的正方向前進(jìn)，選其位移元dx＞0，而摩擦力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反，為負(fù)值。力與位移之間的夾角α=π，cosα=cosπ=-1，我們可以在其運(yùn)動(dòng)的正方向上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，在位移元dx上，力可看作恒力做功。摩擦力所做的元功dA，即dA=fcosαdx=-(1+x)dx。當(dāng)物體從x=0運(yùn)動(dòng)到x=4cm過程中，摩擦力f所做的功為dA=fcosαdx=-(1+x)dx

“－”說明物體所受的摩擦力做的是負(fù)功，與其運(yùn)動(dòng)的方向相反，而做功的大小為12J。

3.2 彈力做功

【例2】有一彈簧在拉伸過程中，所需要的力與彈簧的伸長量成正比，即F=kx（k是比例系數(shù)）[3]。已知當(dāng)彈簧拉長20cm時(shí)，需用力1N，要使彈簧伸長60cm時(shí)，求外力所做的功。

圖4

解：因?yàn)閺椈稍谏扉L的過程中，彈力F隨伸長量x不斷變化而變化，并與x成正比，代入F(x)=kx,得F(x)=5x。

分析思路：第一步，彈性力F(x)=kx是連續(xù)變化的函數(shù)，物理學(xué)解釋是一變力，我們采用定積分的定義法判斷在任一微小區(qū)間上F可近似看作常量處理。并建立沿彈簧拉伸的方向?yàn)閤軸的正方向，選取x為積分變量，x∈[0,0.06]，如圖（4）所示。

第二步，將[0,0.06]這一區(qū)間細(xì)分為n個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1],△x=xi+1-xi,i=1,2,···，n;并在每個(gè)小區(qū)間上任選一點(diǎn) ξi，就有 F(x)=F(ξi)。

第三步，分析在各個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1]上的移動(dòng)的力F所做的功可近似看作是恒力在直線段上所做的功，記為F(ξi)△xi，得。

3.3 電場力做功

我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的關(guān)于電場力做功問題，只是必須滿足“在勻強(qiáng)電場中，帶電粒子或物體移動(dòng)時(shí)，所產(chǎn)生的恒定電場力對該粒子或物體所做的電功問題”這一條件限制，使用電場力做功公式直接求得。然而，在大學(xué)物理學(xué)電學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會遇到很復(fù)雜的電場力做功問題，比如，在非勻強(qiáng)電場中，電場對帶電粒子移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處或移到有限距離所做的電功問題[4]。事實(shí)上，我們不能直接用簡單的電功公式求解，可以采用定積分的微元法來分析，舉例如下：

【例3】有一場源電荷帶電量為+q的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處，它產(chǎn)生一個(gè)電場，現(xiàn)有一檢驗(yàn)電荷電量為+q0在該電場中沿+r軸從r=a點(diǎn)（用ra表示）移到r=b處（用rb表示），求電場力對其所做的功。

解：第一步，在檢驗(yàn)電荷+q0從a點(diǎn)移動(dòng)到b過程中，受到的電場力是一變力，大小是不斷變化的，因在r軸上移動(dòng)，取r為積分變量，將它的變化區(qū)間[a,b]再細(xì)化分n個(gè)小區(qū)間，其中令[r,r+dr]為[a,b]上的任意小區(qū)間。

第二步，建立合適的坐標(biāo)系如圖（5）所示：

圖（5）

第三步，任意一小區(qū)間[r,r+dr]上電場力對檢驗(yàn)電荷+q0所做的功，可近似看作是恒力在位移元dr上所做的微功dA，則：dA=Fdr=Eqdr=（其中k靜電力常數(shù)，ε0為真空介電常數(shù)，。

第四步，把微功dA疊加在一起，在積分區(qū)間[a,b]上運(yùn)用定積分計(jì)算求得：將檢驗(yàn)電荷+q0從r=a處移動(dòng)到r=b處電場力對其所做的功A為：

3.4 氣體膨脹或壓縮所做的功

若密閉容器中的氣體在膨脹或壓縮時(shí)，由于它的氣體壓強(qiáng)在不斷變化，從而導(dǎo)致作用在活塞上的壓力也隨之不斷變化[5]，為使活塞保持平衡，需要外加一壓力來推動(dòng)活塞對氣體做功，但這是變力做功問題，不能直接使用壓力做功公式，要根據(jù)定積分的“微元法”將這變力做功問題轉(zhuǎn)化為恒力做功問題?？梢栽谶x定區(qū)間上細(xì)分n小區(qū)間，求出每個(gè)小區(qū)間恒力做功再累計(jì)疊加，使用定積分求解，舉例如下：

【例4】在一圓柱形底面積為S的容器中盛有一定量氣體，經(jīng)過等溫膨脹后將容器中一面積為S的活塞從a點(diǎn)推到b點(diǎn)處[6]（如圖（6）所示），求該過程中氣體壓力所做的功。

解：第一步，分析題意知，我們所研究容器中的氣體在膨脹過程中，壓強(qiáng)是在不斷變化的，底面積S是不變量，由壓強(qiáng)公式得作用在活塞上的壓力F是隨壓強(qiáng)P變化在不斷變化，同樣在氣體膨脹[a,b]這一區(qū)間細(xì)化分為n個(gè)小區(qū)間，并建立沿活塞推動(dòng)的方向?yàn)閤軸的正方向，取x為積分變量，選定任一小區(qū)間[x,x+dx]上的微元dx，壓強(qiáng)可近似看作是恒壓強(qiáng)，壓力可看作恒壓力做功。

第二步，建立如圖（6）所示的坐標(biāo)系，首先設(shè)容器中氣體的物質(zhì)的量為N，溫度為T，普適氣體常量為R。

圖6

第三步，求任一小區(qū)間[x,x+dx]上對應(yīng)的微元dx所做微功dA，則：

第四步，活塞自a點(diǎn)處推到b點(diǎn)這一過程中氣體壓力所做的總功A用定積分求解，將上述做功微元全部累加在一起，即可求出從a點(diǎn)到b點(diǎn)這一過程中氣體壓力所做的總功A為：

通過幾個(gè)變力做功事例，我們可以看出關(guān)于此類問題的解題方法是與數(shù)學(xué)“微元積分”的思想相緊密聯(lián)系的[7]。分析每道題的解題思路時(shí)，首先運(yùn)用數(shù)學(xué)思想選定好積分變量，找出對應(yīng)的微元，變力做功問題不能直接應(yīng)用中學(xué)學(xué)習(xí)的恒力做功公式A=FScosα求解，我們要借助高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的定積分“微元法“，把物理學(xué)中的變量轉(zhuǎn)化為不變的量，將物體移動(dòng)的區(qū)間分割細(xì)化為n個(gè)小區(qū)間，每一小區(qū)間上位移元dS都非常小，可近似看成是一點(diǎn)，其中在位移元dS上力的大小和方向沒來及發(fā)生變化，F(xiàn)可看作是一恒力，求出在此位移元dS上做的微功，最后把n個(gè)微功疊加在一起求和，就是積分即為變力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所做的總功。利用“定積分微元法”以簡化物理抽象的應(yīng)用問題，更好地突出了數(shù)學(xué)與物理知識的融合重要性。

4.結(jié)論

應(yīng)用定積分的“微元法”思想，采用“分割、近似、求和、取極限”的幾大步驟探討了物理學(xué)變力做功的問題，結(jié)合高等數(shù)學(xué)中微分和定積分的幾何意義及公式計(jì)算，熟練掌握理解“微元、積分”的思想及應(yīng)用，用定積分的“微元”知識不僅能解決物理學(xué)中變力做功問題，也為物理學(xué)科后續(xù)部分力學(xué)、電磁學(xué)等抽象應(yīng)用問題的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)也起到了事半功倍的效果[8]。數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識的融合，提升了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力解決物理學(xué)及其它課程應(yīng)用問題。