分?jǐn)?shù)Kelvin型粘彈性介質(zhì)中波的頻域分析

高云飛

（信陽師范學(xué)院建筑與土木工程學(xué)院，河南 信陽 464000）

近年來，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)理論在機械、生物力學(xué)、復(fù)合材料及粘彈性材料等研究領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。孫海忠[1]對高分子材料的蠕變、松弛等力學(xué)行為試驗數(shù)據(jù)進行了比較，對比了傳統(tǒng)粘彈性模型和分?jǐn)?shù)階粘彈性模型對數(shù)據(jù)擬合的差別，闡述了分?jǐn)?shù)階粘彈性模型在描述材料粘彈性性能等方面的優(yōu)越性。劉林超[2]等建立了用分?jǐn)?shù)微分算子表達的分?jǐn)?shù)階粘彈性模型，并對服從這種分?jǐn)?shù)階粘彈模型材料的阻尼性能做了分析。楊小軍[3]使用廣義分?jǐn)?shù)微分算子建立了帶有多個參數(shù)的冪律核函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)（包括局部分?jǐn)?shù)階），并推導(dǎo)了廣義分?jǐn)?shù)微分算子描述的粘彈性基本元件；通過基本元件的相互組合，對含有廣義分?jǐn)?shù)微分算子的粘彈性模型的力學(xué)行為進行了分析。由于分?jǐn)?shù)階模型在表達復(fù)雜介質(zhì)性能上的有效性，Yury[4]等采用漸進公式，對粘彈性介質(zhì)中的波動方程進行了分析，沒有應(yīng)用分?jǐn)?shù)微積分理論，利用漸進公式克服了數(shù)學(xué)推導(dǎo)中的一些難題。Sanja[5]等，用分?jǐn)?shù)階齊納模型取代經(jīng)典彈性方程中的胡克應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，通過對方程向s域的變換，并利用積分公式變換到時域，得出了應(yīng)力波位移的時域解，分析了分?jǐn)?shù)齊納模型描述的應(yīng)力波位移解的特點。本文針對類似的應(yīng)力波系統(tǒng)，采用分?jǐn)?shù)Kelvin模型代替經(jīng)典彈性方程的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，在頻域下求解了分?jǐn)?shù)Kelvin模型描述的應(yīng)力波位移解的形式，分析了分?jǐn)?shù)階數(shù)以及頻率對位移解的影響。

1.分?jǐn)?shù)Kelvin型波動方程的建立

許多巖土材料，譬如土壤和巖石[6]等，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)往往是由復(fù)雜介質(zhì)構(gòu)成，傳統(tǒng)的粘彈性模型不能準(zhǔn)確表達其真實的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。本研究考察了波在這類復(fù)雜介質(zhì)中的傳播。標(biāo)準(zhǔn)的彈性方程可以表示為[7]：

其中，方程（1）為運動平衡方程，式中 σ，u為應(yīng)力和位移。方程（2）是彈性體的本構(gòu)方程，也就是經(jīng)典的胡克定律，其中E為楊氏模量，ε代表應(yīng)變。方程（3）是在系統(tǒng)滿足小變形假設(shè)情況下，描述系統(tǒng)的應(yīng)變位移關(guān)系。

我們的討論是把材料看作復(fù)雜粘彈性介質(zhì)，在傳統(tǒng)的彈性理論中，經(jīng)典的胡克定律不能準(zhǔn)確描述粘彈性體的性質(zhì)。為此，我們把方程（2）用分?jǐn)?shù)Kelvin型應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系取代，用來描述粘彈性復(fù)雜介質(zhì)的性質(zhì)，即[8]：

上式即為粘彈體的分?jǐn)?shù)Kelvin型本構(gòu)關(guān)系，其中，Da是 Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)[9]，表達式為：

其中，0〈a〈1，Г(z)為 Gamma 函數(shù)，表達式為：

Da[f(x)]的laplace變換為：

由上可知，分?jǐn)?shù)Kelvin型粘彈性介質(zhì)中的波的分析模型為：

系統(tǒng)的初始條件設(shè)為：

邊界條件：

2.波動方程的求解

對方程（4）進行l(wèi)aplace變換：

將（3）式帶入上式：

將上式（12）帶入運動方程（1）可得：

由初始條件（9），方程（13）寫為[6]：

對（14）式作 laplace變換：

對式（15），我們令：

則式（15）變?yōu)椋?/p>

上式為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，其解為：

利用初始條件，令su0(x)+v0(x)=1，上式變?yōu)椋?/p>

式中：

（18）式即為分?jǐn)?shù) Kelvin型粘彈介質(zhì)中波的頻域解形式。

3.數(shù)值算例

由（17）式我們得到頻域里的位移解析解形式，這里分析波在譬如土壤和巖石這種復(fù)雜介質(zhì)中的位移解的變化特點。利用MATLAB（9.0；R2016a）數(shù)值分析軟件，先令頻率分別為（10,20,30,50）時，分析波動位移隨著橫坐標(biāo)x值的變化，在不同頻率下的應(yīng)變響應(yīng)，如下圖。

由圖1可以看出，角頻率對位移變化的影響很明顯。在頻率較小時，位移值在x較小時會出現(xiàn)較大的震蕩；隨著x的增大，位移幅值慢慢減小并逐漸趨于零；隨著頻率的增大，位移的變化幅度出現(xiàn)明顯減弱，并會很快趨于穩(wěn)定。

在低頻時（ω=5），當(dāng)頻率為一穩(wěn)定值時，分別對分?jǐn)?shù)Kelvin模型取不同分?jǐn)?shù)階數(shù)值，位移值隨x的不同的變化曲線如圖2。在頻率較小，α=0.2時，位移呈現(xiàn)出明顯的波動，隨著x值的逐漸增大，位移的波動慢慢減弱，最后穩(wěn)定趨于零。而在α值接近于 1時，即 α 值取 0.4、0.6、0.8，相應(yīng)的位移幅值會出現(xiàn)顯著減小，而且趨于穩(wěn)定的速度變快。

圖3為不同位置的x處，位移隨頻率的變化曲線。圖4為不同分?jǐn)?shù)階數(shù)值α對相同位置x處位移的影響曲線。由圖3知不同位置x處的位移隨頻率的變化情況基本一致，而在圖4中我們發(fā)現(xiàn)，在相同位置下的位移值會隨著α值的不同發(fā)生明顯改變。

4.結(jié)論

（1）通過對頻域下的波動方程位移解的分析發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)值α以及頻率的高低都會對位移值產(chǎn)生很大的影響。對于傳統(tǒng)粘彈性模型來說，分?jǐn)?shù)階模型能更好地體現(xiàn)應(yīng)力波在復(fù)雜粘彈介質(zhì)中的擴散。

（2）除了土壤、巖石等巖土材料之外，分?jǐn)?shù)階模型在復(fù)雜介質(zhì)中的應(yīng)用還包括超聲波在生物組織中的擴散、地震波[6]在土壤巖體中的傳播以及在地質(zhì)、環(huán)境工程[10]和水利工程等領(lǐng)域的研究。