一類可化為爪型的高階行列式計(jì)算方法

武慧虹 錢淑渠

(1、2.安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，貴州 安順561000)

行列式在很多科學(xué)和工程問題中具有廣泛的應(yīng)用，如線性系統(tǒng)的求解[1]，雅克比行列式計(jì)算及工程電路設(shè)計(jì)的符號(hào)分析[2]。低階行列式的計(jì)算有通用的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法，高階行列式的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法只能根據(jù)行列式的定義將其按行或列展開并分解為多個(gè)低階的行列式，再逐步降維交替操作獲得最終結(jié)果[3]，該方法雖然僅涉及簡(jiǎn)單的“加、減、乘”運(yùn)算，但隨著行列式階數(shù)的增大，其計(jì)算量呈階數(shù)的階乘級(jí)上升。此外，借助行列式的基本性質(zhì)及矩陣的初等變換，將高階行列式化為上(下)三角形行列式也是一種規(guī)律性較強(qiáng)的高階行列式的計(jì)算方法[4]，但該方法需要初等變換來避免零元素作為主元出現(xiàn)的情況，故存在一定的局限。實(shí)際上，對(duì)于某些特殊類型的高階行列式，采用上述一般性方法計(jì)算其運(yùn)算過程極其復(fù)雜且易于產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤，但若研究行列式本身的特征，妙用某些技巧將會(huì)產(chǎn)生事半功倍的效果。為此，文章針對(duì)一類具有一定特征的高階行列式，研究爪型行列式在其計(jì)算中的妙用，以提高數(shù)學(xué)/非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)這類高階行列式的計(jì)算效率，增加他們學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)高階行列計(jì)算的教學(xué)提供一定的實(shí)用價(jià)值。

1 爪型行列式定義及計(jì)算方法

1.1 定義：形如

的行列式稱為爪型行列式[5,6]，其中bj≠0,j=1,2,…,n。

爪型行列式的基本特征是：

(1)兩條邊線上的元素不全為零，對(duì)角線位置b1,b2,…,bn均為非零；

(2)除(1)規(guī)定外，行列式其余位置元素均為零。

1.2 爪型行列式的計(jì)算方法

爪型行列式由于具有類似如手爪，其計(jì)算方法具有一定的規(guī)律和技巧，主要是利用對(duì)角線上的元素消去“橫線”或“豎線”上的非零元素，將原行列式化為三角形行列式再進(jìn)行計(jì)算，具體如下：

計(jì)算機(jī)技能培訓(xùn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)研究以舊州鎮(zhèn)農(nóng)村勞動(dòng)力應(yīng)用為例” 設(shè)有如下爪型行列式，則根據(jù)行列式的性質(zhì)作如下計(jì)算：

(1)

(2)

上述計(jì)算過程采用了分別以第j(j=2,3,…,n+1)列乘以常數(shù)-ej-1/bj-1加到第1列，將第1列e1,e2,…,en位置消為零，則原行列式等價(jià)變換為上三角行列式，從而易于計(jì)算等價(jià)行列式的值。當(dāng)然也可以采用分別以第i(i=2,3,…,n)行乘以常數(shù)-ai-1/bi-1加到第1行而計(jì)算。

注：其他類型的爪型行列式計(jì)算請(qǐng)讀者自己思考，這里不再贅述。

2 爪型行列式的妙用

爪型行列式妙用于高階行列式的計(jì)算，可為基礎(chǔ)差的數(shù)學(xué)/非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生提供極易掌握某些特殊高階行列式的計(jì)算方法。本部分通過具體實(shí)例研究爪型行列式如何妙用于高階行列式的計(jì)算。一般而言，需要考察待求行列式的特征，若待求行列式除對(duì)角線元素外，其余各列(行)元素均分別相同，則該行列式可運(yùn)用行列式的性質(zhì)等價(jià)變換為爪型行列式，從而借助爪型行列式的計(jì)算公式極易獲得結(jié)果，下面以例2.1、2.2和2.3給予實(shí)例介紹。

例2.1：計(jì)算階行列式

分析：高階行列式除了對(duì)角線元為外，各列其余元素均為，根據(jù)前面所述，可等價(jià)變換為爪型行列式。以下給出兩種等價(jià)變換解法：

解法一：直接化為爪型

因?yàn)?/p>

(3)

觀察式(3)易知其為爪型行列式。與式(1)對(duì)比可知d=x,aj=a,bj=x-a,ej=a-x，代入公式(2)可得：

解法二：加邊法化為爪型

因?yàn)?/p>

(4)

觀察式(4)易知其為爪型行列式，與式(1)對(duì)比可知d=1，aj=a,bj=x-a,ej=-1代入公式(2)可得：

評(píng)注：由上述兩種解法易知，滿足可化為爪型行列式的高價(jià)行列式，經(jīng)ri+kr1變換后，原行列式即可變?yōu)樽π托辛惺?，從而利用爪型行列式公式直接得出結(jié)果。

例2.2：計(jì)算n階行列式

解析：由高階行列式Dn的各列特征，易知其可采用直接法化為爪型行列式。

因?yàn)?/p>

(5)

觀察式(5)可知其為爪型行列式。與式(1)對(duì)比可知d=a+x,aj=a,bj=x,ej=-x，代入公式(2)可得

評(píng)注：本題如同例1也可采用“加邊法”將原行列式化為爪型行列式，此題的另一種變形形式為：

讀者可按本例易于求解得

例2.3：計(jì)算n階行列式

解析：同理，由于高階行列式Dn中除對(duì)角線元素外，各列其余元素都分別相同，考慮添加一行一列，將相同的元素化為0，使計(jì)算簡(jiǎn)化。

因?yàn)?/p>

評(píng)注：上述計(jì)算方法采用了“加邊法”將原行列式化為爪型行列式，實(shí)際上也可直接將其變換為爪型行列式，請(qǐng)讀者自己練習(xí)。

3 結(jié)論

文章首先給出了爪型行列式的定義及其計(jì)算，然后針對(duì)一類具有一定特征的高階行列式，通過具體實(shí)例介紹了采用“直接法”和“加邊法”將其化為爪型行列式，最后采用爪型行列式的計(jì)算公式直接獲得高階行列式的值。該方法解決了數(shù)學(xué)/非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生求解這類高階行列式計(jì)算困難的問題，為本部分的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供了一種高效快速的計(jì)算方法。