在部分次線性情形下 Schr?dinger系統(tǒng)無(wú)窮多解的存在性

孟亞君， 馮曉晶

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

文中討論一類Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性和多重性：

(1)

其中位勢(shì)函數(shù)V滿足如下假設(shè)：

(V)V∈(R3,R)，infR3V>0且存在一個(gè)常數(shù)r0>0，使得對(duì)于任何M>0，

lim|y|→∞meas{x∈R3:|x-y|≤r0,V(x)≤M}=0,

其中meas(·)表示R3中的Lebesgue測(cè)度.

另一方面，文獻(xiàn)[3]研究了非徑向解的情況. 在文獻(xiàn)[4]中，當(dāng)u趨于無(wú)窮，f(x,u)滿足超線性條件下，Seok證明了(1)有無(wú)窮多個(gè)高能解. 在文獻(xiàn)[5]中，Sun研究了如下系統(tǒng)

(2)

解的存在性，并得到了下面的定理:

定理A[5]假設(shè)如下條件成立:

A1)V∈(R3,R)且infx∈R3V(x)≥β>0；

A2)對(duì)每一個(gè)M>0，有meas{x∈R3:V(x)≤M}<∞；

則(2)有無(wú)窮多解.

在這個(gè)定理中，類似F(x,u)的特殊情況，許多超線性函數(shù)在數(shù)學(xué)物理學(xué)中不滿足(A3). 隨后，作者運(yùn)用臨界點(diǎn)理論，通過(guò)減弱條件(A3)來(lái)推廣定理A，并獲得了如下定理.

定理B[6]假設(shè)V和f滿足(A1)，(A2)和下列條件：

B1)f∈C(R3×R，R)且存在常數(shù)列1<γ1<γ2<…<γm<2和函數(shù)列ai∈L2/(2-γi)(R3，[0，∞))，i=1,2,…,m，使得

B2)存在一個(gè)開集Λ?R3和三個(gè)常數(shù)δ>0，γ0∈(1,2)且η>0使得

B3)f(x,-z)=-f(x,z)，(x,z)∈R3×R.

則(2)有無(wú)窮多個(gè)解.

最近，作者得到了Clark定理的推廣定理如下.

1 主要結(jié)論

文中將用定理C來(lái)推廣定理A和B. 主要結(jié)論如下:

定理1 假設(shè)f滿足(B3)及以下條件：

f3)K:R3→R+是一個(gè)正連續(xù)函數(shù)，使得K∈L2/(2-γ)(R3)∩L∞(R3).

注1 顯然，由條件B2)知條件f2)和f1)比條件B1)弱.

注2 整篇文章中，我們用C>0表示不同的正常數(shù).

2 預(yù)備知識(shí)

這一部分將給出這篇文章中用到的一些記號(hào)和引理.

引理1[8]下面性質(zhì)成立：

i)存在C>0使得對(duì)任何u∈H1(R3)，

ii)對(duì)于任意u∈H1(R3)，都有φu≥0；

iii)如果u是徑向?qū)ΨQ的，則φu是徑向的；

iv)對(duì)于任意的t>0和u∈H1(R3)，φtu=t2φu.

3 主要結(jié)論的證明

(3)

易知系統(tǒng)(3)是變分的，并且它的解為定義在E上的泛函

的臨界點(diǎn). 由(f1)，易知J在E上有定義且J∈C1(E,R)(更多細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[6])，并且有

注意到J是偶函數(shù)，且J(0)=0. 對(duì)于u∈E，我們有

(4)

現(xiàn)在將用同樣的思路證明泛函J滿足(PS)條件. 若{un}是E中的一個(gè)序列，使得J(un)有界且J′(un)→0，則將證明{un}有一個(gè)收斂子列. 由(4)可知{un}在E中有界，不失一般性，假設(shè){un}在E中弱收斂到u，顯然有

當(dāng)n→∞時(shí)I1→0. 下面將估計(jì)I2，因?yàn)樵贚6(R3)中有φun→φu，且在L12/5(R3)中存在子列un→u，故得，

最后估計(jì)I3，通過(guò)運(yùn)用條件(f3)，對(duì)于任意的R>0，有

supXk∩SρkJ(u)<0，

(5)