基于FAHP和K-Means聚類的邊坡穩(wěn)定性模型

，，

(1.遼寧工程技術(shù)大學 土木工程學院，遼寧 阜新 123000； 2.中交隧道局第二工程有限公司， 西安 710000)

1 研究背景

邊坡穩(wěn)定性是一個綜合系統(tǒng)，各個因素對邊坡穩(wěn)定性的影響是非線性的和不確定性的。實際工程中邊坡巖土體遇水后發(fā)生的土體的水解、溶解、不均勻膨脹、黏聚力降低等一系列復雜的變化，對邊坡穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。而這些影響因素在計算安全系數(shù)時是不被考慮的，并且在計算安全系數(shù)時不同的計算方法得出的結(jié)果也會出現(xiàn)較大的偏差。這說明了傳統(tǒng)的安全系數(shù)法在確定邊坡狀態(tài)時具有一定的局限性。

邊坡系統(tǒng)中包含著能夠定量描述的因素和難以定量描述的因素，兩者共同決定邊坡的狀態(tài)。由內(nèi)摩擦角、高度、邊坡角等定量的土體力學參數(shù)計算得出的安全系數(shù)[1-2]只能對邊坡穩(wěn)定性作出一個綜合評價，是確定邊坡狀態(tài)的因素之一。而邊坡在水作用下產(chǎn)生的滲流作用、沖刷作用等對穩(wěn)定性的影響是難以在實際中被定量描述的，但往往能觀測到孔隙水壓力比的變化，故用孔隙水壓力比來表示邊坡中水對邊坡穩(wěn)定性的影響程度。再基于定性和定量分析相結(jié)合的思想，運用模糊層次分析法[3-6](Fuzzy Analytic Hierarchy Process,FAHP) 和K-Means[7]聚類算法，通過對中交隧道局二公司近2 a修建的項目進行數(shù)據(jù)采集分析，提出基于FAHP和K-Means聚類算法的邊坡穩(wěn)定性模型，運用本模型對新建南昌到贛州鐵路客運專線高鐵項目的2個邊坡進行了驗證研究，且取得了較好的成果，避免了實際工程中單純運用安全系數(shù)確定邊坡狀態(tài)的局限性，具有較高的實用性。

2 FAHP法確定權(quán)重

各種因素對邊坡穩(wěn)定的影響程度在傳統(tǒng)的理論中是不便于確定的[8]，對此引入多人評價的FAHP法對權(quán)重進行評價。FAHP法比傳統(tǒng)的層次分析法[9-10](Analytic Hierarchy Process,AHP)更加貼合實際，運用三角模糊函數(shù)確定多人模糊化評價矩陣，通過計算、去模糊化、標準化等步驟得到各影響因素的權(quán)重。

2.1 多人評價模糊化矩陣

構(gòu)建三角模糊化函數(shù)為

式中：m為使隸屬度為1的評價權(quán)重值；x為各因素的評價權(quán)重值；l′為所屬區(qū)間下界；u′為所屬區(qū)間上界；在本文的三角模糊函數(shù)中x0=m；μm(x)為三角模糊函數(shù)。

三角形模糊函數(shù)的成員函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1 三角形模糊函數(shù)的成員函數(shù)Fig.1 A member function of a triangular fuzzy function

根據(jù)評價權(quán)重運用三角模糊函數(shù)的成員函數(shù)建立多人評價模糊評價矩陣為

(2)

其中，

式中：l,x,u分別代表重要程度的下限值、最有可能值和上限值；n為邊坡樣本的個數(shù)；A為各個影響因素的重要性評價矩陣。

2.2 計算模糊化后各個元素的權(quán)重

對模糊矩陣進行整合使得每個樣本最終只有一個因素向量。均值向量和初始權(quán)向量分別為：

(3)

2.3 去模糊化計算公式

通過對初始權(quán)重向量的計算和修正得到最終的最終評價權(quán)重向量，即

v(D1≥D2)=

式中：v(D1≥D2)為D1比D2重要的可能度；x1為D1的初始中值；x2為D2的初始中值；u1為D1的初始值的上界；l2為D2的初始值的下界。

di=minV(Di≥Dj) ,j≠i，j=1,…,n。

(6)

式中di為最終評價權(quán)重。

2.4 進行標準化

將得到的各因素最終評價權(quán)重除所有最終評價權(quán)重的和，對其進行標準化計算，即

(7)

式中wi為各個因素的權(quán)重。

式中w為權(quán)重向量，由此得到各個因素對邊坡穩(wěn)定性的權(quán)重。

3 自分類的聚類方法

實際中常規(guī)方法很難對邊坡進行準確的分類，對此提出自分類的聚類方法。在一個具有n個樣本的樣本矩陣內(nèi)首先通過自分類運算把所有樣本分成c類(c≤n/3)。在完成對樣本的劃分后運用相對于聚類中心的廣義加權(quán)距離，聯(lián)系數(shù)向量等構(gòu)建邊坡穩(wěn)定性模型。

3.1 基于相似度的分類

首先建立一個有n個樣本，每個樣本有m個評價因素的樣本矩陣X。取樣本矩陣中X的一個樣本向量xa作為初始聚類中心，用剩下的樣本與xa進行比較，可以得到剩余樣本的隸屬度矩陣(式(8))。

(8)

式中：rij為各因素隸屬度值；xij為各因素歸一化后的值；xia為隨機選取某一樣本的各因素歸一化值。

(9)

(10)

根據(jù)距離最小化原則建立關(guān)于隸屬度向量Uε和歸一化樣本向量ri的函數(shù)為：

F(Uεi,rij)=D(ri,rac)+D(ri,ra) ;

(11)

(12)

式中F(Uεi,rij)為相對聚類中心距離的和。

求F(Uεi,rij)在0≤Uεi≤1,0≤rij≤1條件下的最小值，首先對函數(shù)求偏導為

(13)

當Uεi=0,ri=(0,0,…,0)時，代入函數(shù)可得到minF(Uεi,rij)=-1，因為F(Uεi,rij)函數(shù)代表2個曼哈頓權(quán)距離[11]的和，所以F(Uεi,rij)≥0。令minF(Uεi,rij)=0，把結(jié)果代入式(11)，可以得到相似度Uεi的公式，即

(14)

通過式(14)可以得到樣本xi對xa的相似度Uεi，當Uεi≥δ時樣本xi和xa屬于一類。δ為最終確定樣本分類的標準值。在所有n個樣本中，屬于第一類的有b個樣本。第一次分類后再運用以上的分類方法對剩下n-b個樣本繼續(xù)進行運算，重復此過程直到把所有樣本劃分成c個類，并且得到相應的相似度向量Uε。

3.2 已知分類的聚類推導

已知樣本矩陣X分類的情況下求各個類的聚類中心、相對距離矩陣、聯(lián)系數(shù)向量等完成對模型的構(gòu)建。

邊坡中各因素與邊坡穩(wěn)定性的正負相關(guān)關(guān)系不同，應對各因素采用不同的歸一化函數(shù)進行歸一化。

正相關(guān)歸一化函數(shù)為

(15)

式中：ximax，ximin為已知樣本中各因素的最大值和最小值。

負相關(guān)歸一化函數(shù)為

(16)

各個樣本向量的歸一化矩陣為R2。Uδ是樣本xi對于各個聚類中心sh的相對距離矩陣。各類的聚類中心向量sh組成聚類中心矩陣S。

聚類中心向量由屬于各類的樣本向量通過式(15)和式(16)變換后，再求平均值得到聚類中心向量sh。

(17)

式中shi為各因素的聚類中心的值。

在得到各聚類中心向量后，用樣本向量xω歸一化后向量rω和聚類中心sh求得二者的廣義歐式權(quán)距離[12]為

(18)

式中：d(rω,sh)為廣義歐式權(quán)距離；rωi為歸一化后樣本中的各值；shi為各因素的聚類中心值。

求出rω對于各聚類中心向量的廣義歐式權(quán)距離之和為：

(19)

式中d(rω,sk)為廣義歐式權(quán)距離之和。

再求出樣本向量xω對各個聚類中心向量的相對距離為

(20)

式中uωh為各樣本對各個聚類中心向量的相對距離。

通過以上的運算，已經(jīng)把所有邊坡樣本分成了c個類，其中邊坡處在穩(wěn)定狀態(tài)中有c1個類，處在破壞狀態(tài)有c2個類，即

c=c1+c2。

(21)

在運用最大隸屬度原則進行分類時，當各隸屬度相差較小時，可能會與實際情況產(chǎn)生較大偏差。因此在得到各個樣本相對于各個聚類中心的相對距離后，基于離穩(wěn)定類的聚類中心的相對距離越近越安全，離失穩(wěn)類的聚類中心的相對距離越近越危險的原則，采用構(gòu)建聯(lián)系數(shù)向量[7-8]的方法替代最大隸屬度原則來確定邊坡狀態(tài)。

根據(jù)聯(lián)系數(shù)分量與樣本相對于各個聚類中心的距離Uδ相乘得到的結(jié)果從而判斷各邊坡的具體歸類情況。v為所有樣本的聚類指標向量,即

v=EUδ。

(22)

式中E為聯(lián)系數(shù)分量。

其中把[0,1]均分構(gòu)建聯(lián)系數(shù)分量[13-15]E，通過建立多元聯(lián)系數(shù)再把所有的樣本分散在(0,1)的c等分的區(qū)間上，同時由相似度評價指標δ，得到聯(lián)系數(shù)評價指標，即破壞限i的公式為

(23)

當聯(lián)系數(shù)vk≥i,k=1,2,…,n時，表示第k個邊坡樣本處于破壞狀態(tài)。

4 實際計算

通過運用基于FAHP法和K-Means聚類的邊坡穩(wěn)定性模型對數(shù)據(jù)進行處理，之后用構(gòu)建聯(lián)系數(shù)向量的方法完成對未知邊坡狀態(tài)的評估和預測。

4.1 用FAHP計算各元素的權(quán)重

建立多人評價FAHP評價表，見表1。

表1 FAHP評價表Table 1 Result of FAHP evaluation

注：為突出重點，其他的多組數(shù)據(jù)用省略號代替

同理求出D2,D3,D4，對求得的數(shù)據(jù)進行去模糊化計算。根據(jù)式(5)和式(6)可得

d1=min(D1≥D2,D3,D4)=0.47 。

同理求出d2,d3,d4,再對權(quán)重進行標準化，可得出w1為

同理求出w2,w3,w4?？傻糜绊懸蛩貦?quán)重向量w為

w=(0.25,0.05,0.17,0.53) 。

4.2 基于樣本進行分類

根據(jù)中交隧道局二公司近2 a來修建的項目采集20個邊坡樣本的原始數(shù)據(jù)，見表2。

取樣本6作為xa，根據(jù)式(8)可以得到所有樣本關(guān)于xa的隸屬度矩陣為

表2 聚類邊坡樣本數(shù)據(jù)Table 2 Clustered slope samples

注：邊坡穩(wěn)定為0,破壞為1

把相對隸屬度矩陣代入式(14)中，得到相似度向量Uε。令δ=0.75，則Uε中>0.75的樣本和樣本6視為一類。

首先把樣本1、樣本2 、樣本7、樣本8和樣本6歸為一類，再把樣本1、樣本2、樣本6、樣本7、樣本8去掉后重新進行分類，重復該過程直到分類結(jié)束。這時把所有邊坡樣本劃分成5類后，用式(15)和式(16)求出矩陣R2，然后通過式(17)求出聚類中心矩陣S,即

通過式(20)得到的相對距離矩陣為

在[0,1]之間根據(jù)聚類數(shù)c構(gòu)建聯(lián)系數(shù)分量E，E=(0,0.25,0.5,0.75,1)，再根據(jù)式(22)得到聯(lián)系數(shù)向量v為

所有邊坡樣本已經(jīng)分成5類，處于破壞狀態(tài)有1個類別(c1)，處于穩(wěn)定狀態(tài)有4個類別(c2)，根據(jù)式(22)和式(23)，聯(lián)系數(shù)評價指標i=0.6。把表2中的20個樣本代入本文中的基于FAHP和K-Means聚類的邊坡穩(wěn)定性模型進行反演后，得到聯(lián)系數(shù)向量v，把v中各元素與i進行比較可知：運用本文模型計算表2中的20個邊坡樣本，其中19個樣本的計算結(jié)果與實際情況相同，正確率達到95%。

5 工程實際應用

新建南昌到贛州鐵路客運專線高鐵項目全程在江西省境內(nèi)。工程地質(zhì)條件為：剝蝕低丘，植被較發(fā)育，其地表水不發(fā)育，地下水多為孔隙水，主要接受大氣降水，季節(jié)性明顯。江西地區(qū)年平均降雨量1 635 mm左右，屬于多雨地區(qū)。土質(zhì)多為黏土土質(zhì)、褐黃色、無不良地質(zhì)作用。主要的土力學參數(shù)為：黏聚力c=30～35 kPa、內(nèi)摩擦角φ=8.5°～18°、重度γ=18.93 kN/m3。

選取項目DK131+368.63—DK131+450.50段和DK88+18.24—DK88+97.32段的2個邊坡樣本對本模型進行實證研究。表3為贛昌客專工程邊坡樣本數(shù)據(jù)。

表3 贛昌客專工程邊坡樣本數(shù)據(jù)Table 3 Slopes samples of Nanchang-Ganzhouhigh-speed railway project

注：邊坡穩(wěn)定為0，破壞為1

由表3可知2#邊坡在雨后發(fā)生了破壞。現(xiàn)就這兩個樣本進行計算驗證。

利用式(15)和式(16)進行歸一化，得到矩陣為

再運用式(20)求出R1中各個樣本對于各類聚類中心向量的相對距離矩陣u為

得到樣本距離各個聚類中心的相對距離后，根據(jù)穩(wěn)定程度把[0,1]區(qū)間分成4等分，構(gòu)建聯(lián)系數(shù)分量E=(0,0.25,0.5,0.75,1)，而δ是聚類過程中的相似度評價指標，即δ=0.75。根據(jù)式(22)和式(23)，得出聯(lián)系數(shù)向量v=[0.340 4,0.621 0]，再根據(jù)模型中聯(lián)系數(shù)評價指標i=0.6和vk≥0.6則邊坡破壞,可得出1#樣本穩(wěn)定、2#樣本破壞的結(jié)論，與工程實際情況相吻合。

6 結(jié) 論

本文基于中交隧道局二公司近2 a的項目的邊坡樣本，提出了基于FAHP和K-Means聚類的邊坡穩(wěn)定性模型，結(jié)論如下：

(1)在新建南昌到贛州鐵路客運專線高鐵項目，驗證了該模型的優(yōu)越性和實用性。

(2)該模型有效地避免了在實際中單純依靠安全系數(shù)確定邊坡狀態(tài)的局限性，同時為實際工程提供了一種新的邊坡穩(wěn)定性預測模型和評價方法。

(3)該模型揭示了邊坡系統(tǒng)中關(guān)鍵因素和邊坡穩(wěn)定性的非線性關(guān)系，并且隨著構(gòu)建模型樣本數(shù)量的增加，其聚類中心和邊坡穩(wěn)定性的分類會更加穩(wěn)定，計算的準確率也會進一步的提高。