一類隨機戒煙模型的滅絕性與均值持久性

戴祥軍，徐松金，劉 聲，李 通

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一類隨機戒煙模型的滅絕性與均值持久性

戴祥軍，徐松金，劉 聲，李 通

（銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

主要探討了一類隨機戒煙模型的動力學(xué)性質(zhì)。首先討論了該系統(tǒng)存在唯一的全局正解，接下來獲得了該系統(tǒng)各類人群的滅絕性與均值持久性的一個充分條件，最后應(yīng)用數(shù)值模擬對理論結(jié)果進行了驗證。

隨機干擾； 戒煙模型； 滅絕性； 持久性

0． 引言

眾所周知，吸煙對人類身體健康有著潛在的危害。2012年，世界衛(wèi)生組織在報告上說，全世界每年因吸煙造成的各類疾病而死亡的人數(shù)高達(dá)500萬，也就是說香煙每小時平均殺死570人，超過了艾滋病引起的死亡人數(shù)。如果繼續(xù)按照這種情況下去，世界健康組織預(yù)測到2030年因吸煙造成的各類疾病而死亡的人數(shù)將高達(dá)1000萬[1]。最近幾年中國每年有100多萬人因吸煙造成各類疾病而死亡。雖然如此，仍然有大量的公民對此熟視無睹繼續(xù)保持著鋌而走險的抽煙習(xí)慣。因此我們每個人都應(yīng)該了解吸煙的危害進而變成自覺戒煙的擁護者，生物數(shù)學(xué)工作者也貢獻自己的力量[2-10]。

在1997年，Castillo-Garsow etal[2]提出了一類簡單的戒煙模型。他們根據(jù)吸煙的數(shù)量多少把他們分成三類：P表示潛在吸煙者，S表示吸煙者，Q表示戒煙者。表示如下：

1． 準(zhǔn)備工作

本節(jié)給出一些將要用到的記號和引理[11-14]。

為了方便起見，我們給出下列記號

2． 全局正解的存在唯一性

模型中所有的變量都是對人口密度的描述，那么它應(yīng)該都是非負(fù)的。因此為了進一步對戒煙系統(tǒng)的研究，我們首先來討論模型(3)中的解的存在性與唯一性。

定義一個函數(shù)

應(yīng)用伊藤公式計算可得

其中

那么

3． 滅絕性與均值持久性

本節(jié)我們主要是探討系統(tǒng)的滅絕性（即吸煙人群趨向滅絕，吸煙將會得到控制）和持久性（即吸煙人群持久存在，吸煙將會盛行）。

證明：對方程（3）我們應(yīng)用伊藤公式可得，

對方程（3）兩邊同時積分后可得

通過計算可知

其中

把(7)式代入不等式(6)可得

其中

如果條件（a）成立，由不等式(8)，我們兩邊同時取上極限可得

同樣，由不等式(6)可知

如果條件（b）成立，則有

解方程(3)的第三個方程可得

解之得

另一方面，把(7)式代入到(6)式得

對上式兩邊同時取下極限可得

4． 數(shù)值模擬

圖2 當(dāng)時隨機系統(tǒng)（1.2）的解

圖3 當(dāng)時隨機系統(tǒng)（1.2）的解

5． 結(jié)論

[1] Zeb A, Zaman G, Momani S. Square dynamics of a giving up smoking model[J]. Appl. math. model, 2013, 37: 5326-5334.

[2] Castillo-Garsow C, Jordan-Salivia G, Herrera A R. Mathematical models for the dynamics of tobacco use, recovery, and relapse. Technical Report Series BU-1505-M, Cornell University, Ithaca, New York, 1997.

[3] Zaman G. Qualitative behavior of giving up smoking models[J]. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 2011, 34（2）：403-415.

[4] Sharomi O, Gumel A B. Curtailing smoking dynamics: a mathematical modeling approach[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 195（2）：475-499.

[5] Erturk V S, Zaman G, Momanl S. A numeric-analytic method for approximating a giving up smoking model containing fractional derivatives[J]. Computers Mathematics with Applications, 2008, 64（10）：3065- 3074.

[6] 霍海峰，羅琪．一類具有階段結(jié)構(gòu)的戒煙模型的全局漸近穩(wěn)定性[J]．蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2015，41（5）：148-151．

[7] Qamar D, Muhammad O, Takasar H. Qualitative behavior of smoking models[J]. Advances in Difference Equations, 2016（1）：1-12.

[8] McCluskey C C, vanden Driessche P. Global analysis of two tuberculosis models[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations, 2004, 16（1）：139-166.

[9] CAI L, LI X, GHOSH M. Stability analysis of an HIV/AIDS epidemic model with treatment[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 229（1）：313-323.

[10] Lahrouz A, OMARI L, Kiouach D. Deterministic and stochastic stability of a mathematical model of smoking[J]. Statistics Probability Letters, 2011, 81（8）：1276-1284.

[11] 王克．隨機生物數(shù)學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2010．

[12] Zhao Y N, Jiang D Q , O’REGAN D. The extinction and persistence of the stochastic SIS epidemic model with vaccination[J]. Physica A, 2013, 392（1）：4916-4927.

[13] Ji C Y, Jiang D Q, SHI N Z. Two-group SIR Epidemic Model with Stochastic Perturbation[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series, 2012, 28（12）：2545-2560.

[14] Higham D J. An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations[J]. SIAM Rev, 2001, 43：525-546．

Extinction and Persistence in the Mean of a Stochastic Giving up Smoking Model

DAI Xiangjun, XUSongjin, Liu Sheng, LI Tong

( School of Data Science, Tongren University, Tongren 554300, Guizhou, China)

In this paper, the dynamics of a stochastic giving up smoking model are considered. First, we show that there is a unique global positive solution of this system. And then, sufficient conditions for the persistence and extinction of this system are established. The last, the results are illustrated by computer simulations.

stochastic perturbation, giving up smoking model, persistence, extinction

2018-09-04

貴州省創(chuàng)新群體重大研究項目（黔教合KY字[2016]051）；貴州省一流大學(xué)（一期）課程培育項目（2017YLDXXM005）；貴州省普通高等學(xué)校創(chuàng)新人才團隊項目（黔教合人才團隊字[2015]64）；大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項目（201710665018）。

戴祥軍（1989-），男，湖南邵陽人，講師，碩士，研究方向：隨機生物數(shù)學(xué)。

O175

A

1673-9639 (2018) 12-0111-06

（責(zé)任編輯 毛 志）（責(zé)任校對 印有家）