等價(jià)無窮小代換求極限的討論

（大連民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116605）

無窮小有很多的性質(zhì)，它在數(shù)學(xué)運(yùn)算中起了重要作用，其中用等價(jià)無窮小代換法求極限是突出的表現(xiàn)[1]. 設(shè)α、β為兩個(gè)無窮小，有如下定理：

定理1[2]設(shè)α～α′,β～β′且存在，則.

當(dāng)α或β為一個(gè)和差形式的多項(xiàng)式時(shí)，它們的等價(jià)無窮小往往不能直接求出，這時(shí)可使用等價(jià)無窮小代換多項(xiàng)式中各個(gè)單項(xiàng)來求極限. 比如求，由sin5x～5x,tan3x～3x,，有

然而此法并非萬能，它的使用是有條件的，稍不注意就會(huì)計(jì)算錯(cuò)誤[3]，原因是對(duì)α、β各個(gè)單項(xiàng)用等價(jià)無窮小代換后得到的式子與α、β不互為等價(jià)無窮小[4]. 比如求，用sinx-sinx替換sinx-tanx，可得. 而sinx-sinx與sinx-tanx不互為等價(jià)無窮小，故出錯(cuò). 然而sinx-sinx與sinx-tanx不互為等價(jià)無窮小無法從直觀上得出，故很多教科書都存在只能代換極限里分子、分母中的乘積因子，而不能隨意代換其中加減法因子的說法[5]. 本文將給出一種和差形式的多項(xiàng)式均可采用等價(jià)無窮小量代換其中各個(gè)單項(xiàng)的條件[6].

為方便敘述，對(duì)下文給出統(tǒng)一記號(hào)：令

其中，fi（x）、gi（x）為α、β的一個(gè)單項(xiàng)式，i∈[1,n].

設(shè)α和β被等價(jià)無窮小代換后為A和B，當(dāng)只對(duì)α或只對(duì)β代換，所得極限為. 又設(shè)b為代換前和代換后的差值在α和β同一變化過程中的極限，所以b有兩種形式：

當(dāng)對(duì)α和β同時(shí)代換時(shí)，可視為先后進(jìn)行這兩種操作.

又 ?i∈[1,n]，有Fi（x）～fi（x）、Gi（x）～gi（x），故有

設(shè)fi（x）ri階可導(dǎo)，x→a，則和差運(yùn)算中各部分無窮小按泰勒公式展開可得[7]：

設(shè)Fi（x）Ri階可導(dǎo)，Ri≤ri，所以有

同理，設(shè)gi（x）si階可導(dǎo)，Gi（x）Si階可導(dǎo)，Si≤si，有

1 使用等價(jià)無窮小進(jìn)行單項(xiàng)代換的條件

以下兩個(gè)定理是為了保證定理1中α～α′,β～β′成立.

定理2若b=0，則α～A,β～B.

證明若b=0，則. 又limβ=0，所以lim(A-α)=0 ，即A=α，所以A～α.若，則，所以，即B～β.

定理3設(shè)，又有R≥t或S≥t，則有b=0.ii

證明i）對(duì)于，. 故

此時(shí)只須Ri≥t，就有b=0，否則b≠0.

此時(shí)只須Si≥t，就有b=0，否則b≠0.

綜上，只要滿足了定理3，使b=0，也就滿足了定理1，就可以進(jìn)行和差分式上對(duì)于單項(xiàng)的等價(jià)無窮小替換.

所求極限正確.

2 典型題

例1

解這是的形式，故只對(duì)β進(jìn)行替換. 此時(shí),；使用代換g1（x）和g2（x），則有S1=6，S2=6，且有，此時(shí)有

例2

解這是的形式，此時(shí)使用代換f1（x）和f2（x），則有R1=3，R2=3，，此時(shí)有

例3

解這是的形式，此時(shí)，使用代換f2（x），則有此時(shí)有

例4

解這是的形式，此時(shí)），使用代換f2（x），則有R2=3，R2≥t=3 ，R1=r1=∞＞t，此時(shí)有