沙溪口水電站壩下整治工程數(shù)學(xué)模型與物理模型比較研究

張 明, 彭 偉,王 斐,馮小香,王義安

(交通運(yùn)輸部天津水運(yùn)工程科學(xué)研究所 工程泥沙交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300456)

水工數(shù)學(xué)模型和物理模型是當(dāng)前水運(yùn)工程研究中普遍采用的技術(shù)手段，兩者各有利弊。對(duì)于一些復(fù)雜的水運(yùn)工程問題，數(shù)學(xué)模型和物理模型常相互配合[1-7]，以發(fā)揮各自的長(zhǎng)處，并提高研究的精度。不過，目前數(shù)學(xué)模型和物理模型結(jié)果的相似性和差異性問題卻缺乏足夠研究，除在少數(shù)領(lǐng)域開展過對(duì)比研究外[8-10]，對(duì)于內(nèi)河航道整治工程中的一些復(fù)雜問題進(jìn)行對(duì)比研究的還較少，尤其是鎖壩、明渠等對(duì)天然河道水流有明顯影響的整治建筑物，因工程前后河道水流特性可能會(huì)發(fā)生比較大的變化，進(jìn)行兩者比較研究對(duì)于成果間的相互驗(yàn)證十分必要。

本文以沙溪口壩下航道整治工程為實(shí)例，通過比較分析，研究了數(shù)學(xué)模型、物理模型的鎖壩分流量問題，對(duì)比了兩者在航道水深、水位、流速等通航條件上的相似性和差異性，提出了滑梁水、剪刀水等礙航水流在數(shù)學(xué)模型中的識(shí)別方法。研究成果可為復(fù)雜水工模型試驗(yàn)提供參考，對(duì)同類航道整治工程也具有一定的借鑒意義。

1 模型試驗(yàn)方案

沙溪口水電站位于閩江干流沙溪與富屯溪匯合口下游約5.5 km，在水口水電站上游約108 km。沙溪口水電站壩下近壩段處于水口水庫的回水變動(dòng)區(qū)，當(dāng)水口庫水位較低時(shí)，該段河道比降大、水深淺、流速大，具有典型山區(qū)河流特性[11]。

沙溪口船閘下游設(shè)計(jì)最小通航流量為265 m3/s，天然情況下船閘下游水位僅63.07 m，比設(shè)計(jì)最低通航水位63.8 m低0.73 m，近壩段航道水深一般僅0.3～0.8 m(圖1)，達(dá)不到航道設(shè)計(jì)水深2.1 m的要求。在航道升級(jí)整治工程中，擬采用鎖壩、丁壩、明渠相結(jié)合的方案來抬高船閘下游水位，結(jié)合適當(dāng)疏挖方式增加航道水深。鑒于整治方案的復(fù)雜性，研究采用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了多組次方案的篩選試驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，利用物理模型對(duì)方案效果進(jìn)行了驗(yàn)證，并進(jìn)一步對(duì)方案進(jìn)行了優(yōu)化。本文重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)模型和物理模型試驗(yàn)成果的相似性和差異性問題，為便于對(duì)比，僅以設(shè)計(jì)方案為例進(jìn)行說明，設(shè)計(jì)方案(圖2)布置情況主要如下：

圖1 沙溪口樞紐壩下河勢(shì)圖Fig.1 River graph of reaches downstream Shaxikou hydro-junction

(1)沙溪口壩下航道設(shè)計(jì)水深2.1 m，明渠上游段航道寬40 m，明渠內(nèi)航道寬55 m，明渠下游段航道寬50 m。

(2)在右汊修建鎖壩一條，壩長(zhǎng)約184 m，壩頂高程63.8 m，壩頂寬2 m，迎水坡1 ∶2，背水坡1 ∶3。

(3)在左汊修建對(duì)口雍水壩，下接通航明渠一條，明渠長(zhǎng)約1 660 m，頂寬100 m，渠首底高程61.1 m，渠尾底高程58.45 m，渠底底坡1.6‰，兩側(cè)渠壁高2.0 m，明渠右側(cè)邊坡1 ∶2.5，明渠左側(cè)邊坡1 ∶20。

(4)在左汊鯉魚洲中部拋設(shè)一條丁壩SJ1，為防止流量大于265 m3/s時(shí)明渠右側(cè)向明渠內(nèi)產(chǎn)生滑梁水，在右側(cè)明渠外的中、下部拋設(shè)兩條丁壩SJ2和SJ3。

(5)對(duì)口壅水壩、明渠兩側(cè)擋墻壩頂寬1 m，對(duì)口壅水壩和明渠左側(cè)擋墻的兩側(cè)邊坡均為1 ∶0.5，明渠右側(cè)擋墻的內(nèi)側(cè)邊坡為1 ∶2.5，外側(cè)邊坡為1 ∶0.5。

(6)對(duì)左汊鯉魚洲邊灘進(jìn)行局部疏挖，疏挖控制高程61.6～63.5 m；將明渠內(nèi)航道的高點(diǎn)炸除，不足設(shè)計(jì)高程區(qū)域采用填筑塊石混凝土填充，其它航段僅炸除高于設(shè)計(jì)底高程的淺點(diǎn)區(qū)域，近壩段航道的設(shè)計(jì)底標(biāo)高見圖3。

圖2 設(shè)計(jì)方案平面布置圖Fig.2 Layout of design scheme圖3 壩下近壩河段航中線高程與設(shè)計(jì)底標(biāo)高沿程變化圖Fig.3 Natural and design riverbed elevations at mid-route along waterway downstream the dam

2 數(shù)學(xué)模型與物理模型簡(jiǎn)介

2.1 數(shù)學(xué)模型

2.1.1 控制方程

(1)

水平方向動(dòng)量方程

(2)

(3)

式中：u、v，ω分別為ξ、η和σ方向的速度分量；t為時(shí)間變量；H為總水深；Q為單位面積的水量變化值；g為重力加速度；ρ0為水體密度；Pξ、Fξ和Mξ為ξ方向的靜水壓力梯度、紊動(dòng)動(dòng)量通量、動(dòng)量的源(匯)，Pη、Fη和Mη為η方向的靜水壓力梯度、紊動(dòng)動(dòng)量通量、動(dòng)量的源(匯)；Cξ和Cη為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)；υV為垂向紊動(dòng)系數(shù)。

2.1.2 計(jì)算網(wǎng)格

數(shù)學(xué)模型進(jìn)口為沙溪口樞紐壩址，出口位于壩軸線下游約4.5 km。模型采用正交曲線網(wǎng)格，在計(jì)算域內(nèi)共布置了735×270個(gè)網(wǎng)格，縱向網(wǎng)格平均尺度約6.1 m，橫向網(wǎng)格平均尺度約2.5 m，明渠附近網(wǎng)格進(jìn)行了加密處理，縱向網(wǎng)格尺度一般4～8 m，橫向網(wǎng)格尺度一般1～4 m。

2.1.3 模型驗(yàn)證

模型計(jì)算地形為2015年實(shí)測(cè)地形。根據(jù)同年觀測(cè)的270 m3/s、1 000 m3/s、1 800 m3/s三級(jí)流量下的水位、斷面流速、汊道分流比對(duì)平面二維水流數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明，上述三級(jí)流量下，對(duì)于船閘最近的水位測(cè)站，模型計(jì)算的水位與實(shí)測(cè)水位相差僅-0.03 m、-0.07 m、-0.02 m，其它水位測(cè)站最大相差均在±0.1 m；模型計(jì)算斷面流速分布與實(shí)測(cè)值基本一致，左汊分流比在上述三級(jí)流量下相差分別為-4.7%、-2.4%、-2.6%，數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證的精度滿足規(guī)范要求，可以用于航道整治工程的方案論證計(jì)算。

2.1.4 鎖壩處理

鎖壩會(huì)造成局部水頭損失，數(shù)學(xué)模型將其能量損失在參量化后以源匯項(xiàng)的形式添加到動(dòng)量方程中，主要以下式表示

(4)

式中：H0為鎖壩頂部水深；△E為鎖壩上下游的水頭損失；△x為沿水流方向的網(wǎng)格寬度。

2.2物理模型

物理模型為1 ∶50的整體定床正態(tài)模型，按重力相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)。模型范圍自沙溪口水電站壩上1 km處至壩下4.5 km附近，模擬河段長(zhǎng)約5.5 km，模型依據(jù)的地形與數(shù)學(xué)模型相同。

物理模型采用平面導(dǎo)線控制系統(tǒng)進(jìn)行放樣，采用斷面法進(jìn)行地形制作，平面誤差和高程誤差均控制在±5 mm以內(nèi)。進(jìn)口流量由西門子電磁流量計(jì)控制，測(cè)量精度為0.01 L/s(模型流量)，尾水位用帶微調(diào)的翻板式尾門進(jìn)行控制和調(diào)節(jié)，整體表層流場(chǎng)采用尚水公司研制的VDMS流場(chǎng)實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量，測(cè)量精度為0.1 m/s(原型流速)，單個(gè)測(cè)點(diǎn)流速采用ACM2-RS型電磁流速計(jì)測(cè)量，測(cè)量精度為0.1 cm/s(原型流速)。

物理模型也采用三級(jí)流量對(duì)河道沿程水位、斷面流速及左汊分流比進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明，在Q=270 m3/s、1 000 m3/s、1 800 m3/s時(shí)，對(duì)于船閘最近的水位測(cè)站，模型水位與實(shí)測(cè)水位偏差分別為-0.01 m、0.01 m、-0.08 m，其它測(cè)點(diǎn)的水位偏差一般在±0.10 m以內(nèi)；各測(cè)流斷面流速分布趨勢(shì)、主流位置及流速大小與實(shí)測(cè)值基本一致；左汊分流比模型觀測(cè)值與實(shí)測(cè)值偏差分別為-2%、-3.9%、-2.9%。

3 數(shù)模和物模試驗(yàn)結(jié)果比較分析

3.1 分流比

鯉魚洲右汊修建鎖壩后，其水流具有堰流特性，堰流水流形態(tài)與上游水位有關(guān)，水位流量關(guān)系可根據(jù)堰流的理論公式計(jì)算

(5)

(6)

式中：Q為流量；σs為淹沒系數(shù)；ε為側(cè)收縮系數(shù)；m為流量系數(shù)；g為重力加速度；Hw為堰頂全水頭；H0為堰頂以上作用水頭；a0為動(dòng)能修正系數(shù)；υ0為斷面平均流速。

將上式淹沒系數(shù)σs、側(cè)收縮系數(shù)ε取1，b取184 m時(shí)，在給定的堰頂以上作用水頭H0后，查詢流量系數(shù)，并根據(jù)迭代計(jì)算后可以得到鎖壩理論最大過流量和水位流量關(guān)系，以此水位流量關(guān)系作為模型試驗(yàn)的參考約束值，與數(shù)學(xué)模型與物理模型得到的右汊過流量進(jìn)行對(duì)比。

圖4 鎖壩上游水深流量關(guān)系Fig.4 Deep-discharge relationship of closure dike

由圖4可見，在上游堰頂水深小于0.8 m時(shí)，相同水深情況下數(shù)學(xué)模型與物理模型的流量值均比理論計(jì)算值偏低，原因主要在于鎖壩附近右岸岸邊存在突嘴，小流量對(duì)鎖壩過流存在一定的收縮效應(yīng)；在上游堰頂水深為1～2 m時(shí)，如電站下泄流量Q=1 000 m3/s、1 800 m3/s條件下，相同水深情況下數(shù)學(xué)模型與物理模型的流量值比較接近，與理論公式計(jì)算值也相差不多；在上游堰頂以上水深約2.9 m時(shí)，如電站下泄流量Q=3 000 m3/s條件下，相同水深情況下，數(shù)學(xué)模型計(jì)算的右汊過流量比理論計(jì)算值偏大，可能是在洪水流量下，鎖壩兩側(cè)邊灘溢流，右汊實(shí)際過流寬度要大于鎖壩長(zhǎng)度，從而增加了數(shù)學(xué)模型計(jì)算的右汊過流量。

從數(shù)學(xué)模型和物理模型的左汊分流比來看，工程前后，數(shù)學(xué)模型和物理模型的結(jié)果總體上吻合較好，但個(gè)別流量級(jí)下仍存在一定的偏差。在對(duì)比的五級(jí)流量下，偏差較大的是電站泄流Q=353 m3/s時(shí)，數(shù)學(xué)模型與物理模型結(jié)果相差約9%，這主要是因?yàn)樵谙嗤髁肯?，物理模型水位偏低，?dǎo)致其鎖壩過流量偏少，同時(shí)因小流量情況下，分流量的少量變化對(duì)于分流比影響較大。在其余情況下，工程前后，各級(jí)流量下數(shù)學(xué)模型和物理模型的左汊分流比相差均在5%以內(nèi)。

3.2 航道水位

因數(shù)學(xué)模型和物理模型建模時(shí)地形處理方式的不同，二者水位除一些控制性斷面相差不多外，沿程其余測(cè)點(diǎn)處的水位并非都能吻合較好，往往存在一定的偏差。尤其是對(duì)一些缺乏驗(yàn)證資料的流量級(jí)，個(gè)別位置的水位測(cè)點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型和物理模型結(jié)果有時(shí)還相差較大。此時(shí)若以絕對(duì)值進(jìn)行比較，其結(jié)果因包含了兩種研究方法的差異，而使得研究結(jié)果的差異進(jìn)一步放大；而工程前后各自的水位相對(duì)變化值可以消除研究方法的差異，兩者的變化規(guī)律一般較為一致。

從天然情況船閘下閘首水位來看，設(shè)計(jì)最小通航流量下(Q=265 m3/s)數(shù)學(xué)模型比物理模型高0.09 m，設(shè)計(jì)最大通航流量下(Q=3 000 m3/s)高0.3 m，但若從二者工程前后相對(duì)值的變化來看，最小通航流量、最大通航流量下數(shù)學(xué)模型水位分別抬升0.62 m、0.01 m，而物理模型水位分別抬升0.63 m、0.11 m，兩者相差-0.01 m、-0.10 m。兩者的規(guī)律基本一致，誤差也更小。

3.3 航道水深

從數(shù)學(xué)模型結(jié)果來看，明渠出口向下游，由于下游航道開挖引起水位下降等原因，下游航道水深比設(shè)計(jì)水深2.1 m略有偏低，最小為1.79 m，位于明渠出口處。明渠中部由于水位雍高，航道水深在2.07～2.18 m，明渠渠首及沙溪口水電站施工橋橋區(qū)河段，航道水深在1.67～1.94 m間，鯉魚洲洲頭向上游，航道水深約為2 m。航道水深主要呈現(xiàn)兩頭低，中間高的特征。

物理模型航道水深的分布規(guī)律與數(shù)學(xué)模型計(jì)算值基本一致，但由于物理模型水位相對(duì)較低，航道水深也相應(yīng)小些，明渠渠首上游約160 m處的丁壩SJ1附近，航道水深最小，僅為1.57 m。明渠內(nèi)航道水深一般為1.62～1.8 m。

3.4 航道流速

采用實(shí)測(cè)垂線平均流速與表面流速之間的關(guān)系(圖5)，將平面二維水流數(shù)學(xué)模型計(jì)算的垂線平均流速值轉(zhuǎn)換為表面流速，并與VDMS采集的物理模型表面流速進(jìn)行比較，以沙溪口水電站泄流Q=3000 m3/s時(shí)為例，從航道中心線流速來看(圖6)，數(shù)學(xué)模型計(jì)算值與物理模型測(cè)量值的變化趨勢(shì)基本一致，但局部位置仍存在一定的差異，如明渠尾部500 m航段，數(shù)模計(jì)算值整體上比物理模型測(cè)量值偏小，最大相差0.56 m，平均相差0.31 m，定義流速偏差率=(物理模型流速-數(shù)學(xué)模型流速)/數(shù)學(xué)模型流速×100%，其中流速偏差率取絕對(duì)值，則該段流速偏差率最大為24%，平均為13%。明渠進(jìn)口500 m航段及明渠下游500m航段，流速偏差率平均分別為5%、6%。

對(duì)于沙溪口水電站施工橋橋區(qū)河段，在Q=265 m3/s、1 000 m3/s、1 800 m3/s、3 000 m3/s時(shí)，數(shù)學(xué)模型最大流速分別為2.45 m/s、2.72 m/s、3.04 m/s、2.92 m/s，物理模型最大流速分別為2.38 m/s、2.61 m/s、3.2 m/s、3.35 m/s，流速偏差率分別為2.9%、4.0%、5.3%、14.7%，上述典型流量級(jí)下，數(shù)學(xué)模型與物理模型結(jié)果總體上差別不大。

圖5 實(shí)測(cè)垂線平均流速與表面流速關(guān)系 Fig.5 Relationship of measured data between depth-averaged velocity and surface velocity圖6 近壩段航道物理模型與數(shù)學(xué)模型流速沿程變化對(duì)比圖Fig.6 Contrast map of velocity between physical model and mathematical model along the waterway

3.5 復(fù)雜礙航水流

利用數(shù)學(xué)模型和物理模型的流場(chǎng)信息進(jìn)行航道縱向流速、橫向流速和回流流速分析在目前航道整治工程研究中的應(yīng)用較為廣泛，但對(duì)于滑梁水、剪刀水這類具有較強(qiáng)動(dòng)態(tài)特性的復(fù)雜礙航水流，以往研究中，主要根據(jù)物理模型試驗(yàn)來觀察流態(tài)，利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究的報(bào)道較少。

物理模型試驗(yàn)表明，一般情況下，丁壩SJ1因挑流影響斜流偏大；在電站泄流Q≥750 m3/s時(shí)，明渠渠頂及丁壩SJ2、SJ3漫流后，因丁壩為斜坡式結(jié)構(gòu)，壩頭處壩頂高程較低，丁壩上游產(chǎn)生向明渠內(nèi)的翻壩水流，航道內(nèi)的斜流強(qiáng)度較大，最大橫向流速可達(dá)0.78 m/s。隨著流量進(jìn)一步增大，丁壩及明渠渠頂淹沒深度增加，丁壩挑流作用有所減弱；明渠出口處，由于左右側(cè)礁石挑流作用，航道內(nèi)產(chǎn)生剪刀水，尤以Q=1 000 m3/s、Q≥1 800 m3/s時(shí)較為明顯，最大橫向流速達(dá)1.08 m/s。

圖7 Q=1 000 m3/s時(shí)近壩段航道橫向流速分布圖Fig.7 Transverse velocity distribution of waterway downstream the dam at discharge 1 000 m3/s圖8 明渠出口典型斷面流速分布圖Fig.8 Velocity distribution of typical section near the open channel export

將數(shù)學(xué)模型計(jì)算的航道流速分解成平行與航線的縱向流速和垂直與航線的橫向流速(橫向流速向左為正，向右為負(fù))，以Q=1 000 m3/s為例(圖7)，因丁壩SJ1、SJ2、SJ3挑流影響，在其附近的航道均有明顯的橫向流速高值區(qū)，尤其在丁壩SJ3附近，航道右側(cè)邊緣局部流速達(dá)0.6～0.9 m/s，與物理模型觀測(cè)結(jié)果基本一致；明渠出口下游，因左右側(cè)水流與經(jīng)明渠而下的主流交匯，流場(chǎng)較為紊亂，橫向流速分布也較不規(guī)則，從典型斷面(明渠下游150 m)流速分布(圖8)來看，航道兩側(cè)水流匯入航道較為明顯。從滑梁水、剪刀水在各級(jí)流量下的強(qiáng)弱變化規(guī)律來看，均以電站下泄流量Q=1 000 m3/s最為典型，數(shù)學(xué)模型通過分析航道縱向流速和橫向流速分布揭示的滑梁水、剪刀水等礙航水流規(guī)律與物理模型觀測(cè)結(jié)果基本一致。

4 討論

水工物理模型試驗(yàn)是建立在相似理論基礎(chǔ)之上的，只有相似理論所規(guī)定的各項(xiàng)相似條件得到滿足時(shí)，模型水流運(yùn)動(dòng)才能同原型水流達(dá)到相似[12]。但實(shí)際上，物理模型與原型難以做到完全相似，試驗(yàn)過程中，水位、流場(chǎng)等數(shù)據(jù)也會(huì)因采集設(shè)備及手段的制約而產(chǎn)生一定的誤差。水工數(shù)學(xué)模型通過建立水流連續(xù)性方程和動(dòng)量方程來描述水流的運(yùn)動(dòng)，由于水流運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，一些復(fù)雜水流現(xiàn)象在機(jī)理的認(rèn)識(shí)上還不足，此外，因數(shù)學(xué)模型一般對(duì)整治建筑物進(jìn)行一定的概化處理，在整治建筑物具體結(jié)構(gòu)型式以及局部流態(tài)問題的模擬方面還存在一定的不足。因此，水工物理模型和數(shù)學(xué)模型均是原型的一種近似，客觀上兩種模型均存在誤差，雖然理想情況兩種模型結(jié)果趨于一致，但實(shí)際的差異常常難以避免的。這也是本文數(shù)學(xué)模型和物理模型結(jié)果出現(xiàn)相似性和差異性的主要原因。

對(duì)于一些復(fù)雜的水工模型問題，基于兩種模型結(jié)果相似性的特點(diǎn)，在前期研究中，可以發(fā)揮數(shù)學(xué)模型研究周期短、研究范圍不受場(chǎng)地限制、方案修改方便的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)行多方案篩選計(jì)算，并為物理模型提供邊界條件；因兩種模型結(jié)果存在一定的差異，以及物理模型直觀和對(duì)于局部工程問題模擬更精確的原因，需要物理模型對(duì)數(shù)學(xué)模型成果進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，以提高研究的精度，并進(jìn)行方案的細(xì)部?jī)?yōu)化。這種數(shù)學(xué)模型和物理模型相互配合的復(fù)合模型研究方法在沙溪口水電站壩下航道整治工程中得到了很好的應(yīng)用，該方法對(duì)于縮短試驗(yàn)周期、節(jié)約試驗(yàn)費(fèi)用具有積極作用。

5 結(jié)論

(1)在沙溪口水電站壩下航道整治工程研究中，數(shù)學(xué)模型和物理模型的分流比、航道水位、水深、流速等總體上差別不大，兩種方法均可以模擬航道內(nèi)的滑梁水、剪刀水等礙航水流，但兩者局部位置的水位、流速以及個(gè)別流量級(jí)的分流比仍具有一定的差異。

(2)基于數(shù)學(xué)模型和物理模型結(jié)果的相似性和差異性，對(duì)于復(fù)雜的水工模型問題，建議開展數(shù)學(xué)模型和物理模型相互配合的復(fù)合模型研究，以發(fā)揮兩種手段的優(yōu)勢(shì)，縮短研究周期和節(jié)約試驗(yàn)費(fèi)用，并提高研究精度。