時(shí)間序列模型在橋梁健康監(jiān)測數(shù)據(jù)預(yù)測中的應(yīng)用

陸 萍 王 濤 韋 躍 李 競 吳海軍

(1. 重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 重慶 400074； 2. 江蘇交科交通設(shè)計(jì)研究院有限公司， 江蘇 蘇州 223001；3. 重慶市沙坪壩區(qū)公路養(yǎng)護(hù)中心， 重慶 400030)

時(shí)間序列是指對某一個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在各個(gè)時(shí)間上的不同數(shù)值依時(shí)間順序排列而形成的序列[1]。通過時(shí)間序列分析，可以發(fā)現(xiàn)事物運(yùn)動、變化和發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律，對于人們正確認(rèn)識事物并做出科學(xué)的決策具有重要的意義[2]。橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)中采集的數(shù)據(jù)符合時(shí)間序列的定義，大量的監(jiān)測數(shù)據(jù)需要得到及時(shí)處理[3]。橋梁健康監(jiān)測數(shù)據(jù)分析方法有2種:一是依據(jù)數(shù)據(jù)量值的大小及范圍來判斷當(dāng)前結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，或者進(jìn)行預(yù)警，指導(dǎo)橋梁的日常養(yǎng)護(hù)管理；二是依據(jù)現(xiàn)有的監(jiān)測數(shù)據(jù)規(guī)律來預(yù)測數(shù)據(jù)的變化趨勢，預(yù)先估計(jì)橋梁結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，及早規(guī)劃橋梁的養(yǎng)護(hù)策略[4]。本次研究主要通過基于時(shí)間序列預(yù)測模型對橋梁健康監(jiān)測數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測，并結(jié)合江津長江大橋的工程應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行分析。

1 時(shí)間序列預(yù)測模型分析流程

時(shí)間序列分析屬于定量預(yù)測，通過分析數(shù)據(jù)的規(guī)律來預(yù)測事物的未來發(fā)展趨勢。由于事物發(fā)展具有隨機(jī)性，可能會受到偶然因素的影響，因此可采用統(tǒng)計(jì)分析方法對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理[5]。

橋梁是一種大體量結(jié)構(gòu)體，在結(jié)構(gòu)疲勞損傷和外部荷載的作用下，結(jié)構(gòu)的短期響應(yīng)平穩(wěn)，長期響應(yīng)不平穩(wěn)。通過橋梁健康監(jiān)測，可采集到關(guān)鍵截面的撓度，并形成時(shí)間序列。其中，決定結(jié)構(gòu)長期變化的任一變量的時(shí)間序列，均包含了結(jié)構(gòu)全部變量長期變化的信息。因此，在橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)的所有測點(diǎn)中，可以選擇具有代表性的測點(diǎn)進(jìn)行研究，并形成時(shí)間序列。利用時(shí)間序列分析理論對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，運(yùn)用數(shù)值分析軟件Matlab建立時(shí)間序列模型，可有效分析和處理監(jiān)測數(shù)據(jù)[6]。

時(shí)間序列模型的數(shù)據(jù)分析處理流程如下：

(1) 數(shù)據(jù)預(yù)處理。剔除數(shù)據(jù)異常值和錯(cuò)誤，對于部分缺失數(shù)據(jù)可以利用插值法補(bǔ)入。

(2) 平滑處理。通過平滑處理來消弱干擾信號及信號中的不規(guī)則趨勢項(xiàng)，使得數(shù)據(jù)的長期變化規(guī)律更明顯。

(3) 平穩(wěn)化處理。對時(shí)間序列進(jìn)行分解，含有趨勢項(xiàng)和周期項(xiàng)的序列可以通過差分處理實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)化。

2 時(shí)間序列預(yù)測模型的建立

在此，采用了波克斯-詹金斯建模方法[7-8]。首先利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)分析識別模型的類型，然后估計(jì)模型參數(shù)和模型階數(shù)，最后進(jìn)行模型的適用性校驗(yàn)及數(shù)據(jù)預(yù)測。

2.1 模型的識別

表1 三種時(shí)間序列模型的性質(zhì)

2.2 模型的定階

2.2.1 模型定階的AIC準(zhǔn)則

AIC準(zhǔn)則由日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家Akaike于1973年提出。AIC準(zhǔn)則的全稱為最小信息量準(zhǔn)則，即當(dāng)信息量取最小值時(shí)模型為最優(yōu)[9]。AIC準(zhǔn)則函數(shù)是評價(jià)綜合最優(yōu)配置的指標(biāo)，是擬合精度和未知參數(shù)的加權(quán)函數(shù)。AIC準(zhǔn)則的函數(shù)如式(1)所示：

(1)

可以看出，AIC準(zhǔn)則函數(shù)可分為2部分：第一部分表示模型擬合度，它隨著模型階數(shù)的增大而變??；第二部分表示模型參數(shù)的數(shù)量，其值隨著階數(shù)的增大而增大。

2.2.2 模型定階的BIC準(zhǔn)則

AIC準(zhǔn)則的不足之處是，如果時(shí)間序列很長，相關(guān)信息會變得分散。為了改進(jìn)AIC準(zhǔn)則的不足，Akaike在1976年提出了BIC準(zhǔn)則。BIC準(zhǔn)則的函數(shù)如下：

(2)

某一階數(shù)p0滿足函數(shù)，則：

(3)

式中：pn是階數(shù)上限；p0為最佳階數(shù)。

2.3 模型的參數(shù)估計(jì)

線性模型：

yi=β1xi1+β2xi2+…+βnxin+εi(1≤i≤N)

(4)

其中y1,y2,…,yn為觀測數(shù)據(jù)，自變量xi1,xi2,…,xin。已知，β1,β2,…,βn是待估計(jì)參數(shù)，εi是不相關(guān)的零均值誤差，式(4)可以寫成式(5)：

Y=Xβ+ε

(5)

使誤差平方和達(dá)到最?。?/p>

(6)

2.4 模型的檢驗(yàn)

通過模型檢驗(yàn)可判斷出模型的擬合程度。時(shí)間序列預(yù)測模型的檢驗(yàn)常采用χ2檢驗(yàn)法。

3 工程應(yīng)用

3.1 工程概況

江津長江大橋于1997年建成通車。大橋分為主橋和引橋部分，全橋長度為1 360 m。其中，主橋?yàn)?40 m+240 m+140 m的連續(xù)剛構(gòu)橋；重慶岸引橋采用14×50 m 簡支T梁橋，江津岸引橋采用4×22.5 m心板梁橋。主橋斷面為單箱單室箱型截面，底板寬11.5 m，頂板寬22 m，設(shè)置1.5%的橫坡。主橋跨和邊跨現(xiàn)澆段箱梁高為4 m，墩頂處箱梁高13.5 m。主橋橋墩為雙薄壁墩。

3.2 撓度監(jiān)測系統(tǒng)

3.3 時(shí)間序列預(yù)測模型的建立

為保證時(shí)間序列模型的可信度和可靠性，建模前應(yīng)對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。為了檢驗(yàn)序列的隨機(jī)性，需測試處理后序列的正態(tài)性。利用Matlab軟件繪制時(shí)間序列直方圖 ，如圖4所示。

由時(shí)間序列直方圖可知，時(shí)間序列符合正態(tài)分布。計(jì)算時(shí)間序列在95%置信度下的偏自相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖1 撓度監(jiān)測系統(tǒng)立面圖

圖3 B-B截面(主跨14)激光布置圖

由圖5、圖6可知，時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都是拖尾的，因此可采用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測。利用Matlab中的AIC、BIC命令，求解不同的p、q值對應(yīng)的AIC、BIC值，結(jié)果見表2。

由上可知，當(dāng)p=2和q=3時(shí)，AIC和BIC取得最小值，p和q即為真階，因此時(shí)間序列預(yù)測模型為ARMA(2,3)。

圖4 時(shí)間序列直方圖

圖5 時(shí)間序列偏自相關(guān)系數(shù)圖

圖6 時(shí)間序列自相關(guān)系數(shù)圖

時(shí)間序列預(yù)測模型ARMA(2,3)的參數(shù)估計(jì)值可利用Matlab中的Garchset和Garchfit命令求出結(jié)果：

θ=[0.560 5，-0.147 3，-0.483 1]

φ=[0.056 9，-0.222 3]

式中，θ和φ分別為自回歸系數(shù)和滑動平均系數(shù)。

表2 不同p和q對應(yīng)的AIC和BIC值

時(shí)間序列模型建立后，需對模型的擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)。采用χ2檢驗(yàn)法，利用Chi2gof等命令對時(shí)間序列模型的殘差白噪聲進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果顯示，H0=0，殘差均值為0.008 2，約為0。因此，模型的殘差符合零均值的正態(tài)分布，表明模型通過檢驗(yàn)。

3.4 ARMA模型預(yù)測

通過模型的適用性檢驗(yàn)后，可將該模型應(yīng)用于撓度監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測，對撓度監(jiān)測數(shù)據(jù)的80個(gè)步驟進(jìn)行預(yù)測。利用Matlab平臺中的Garchpred和其他命令，可以得到時(shí)間序列模型的撓度預(yù)測值。模型預(yù)測值與實(shí)際監(jiān)測值對比如圖7所示。

圖7 撓度預(yù)測值和監(jiān)測值對比圖

由于數(shù)據(jù)較多，僅提取最后10組數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測精度，撓度預(yù)測值和監(jiān)測值見表3。

表3 撓度預(yù)測值和監(jiān)測值

由上述分析可知，利用ARMA(2,3)模型能夠預(yù)測未來一段時(shí)間的撓度監(jiān)測數(shù)據(jù)，相對誤差也在工程實(shí)踐的可接受數(shù)值范圍之內(nèi)。

4 結(jié) 語

通過建立時(shí)間序列模型，對江津長江大橋撓度監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和預(yù)測。運(yùn)用時(shí)間序列模型，能夠擬合橋梁監(jiān)測數(shù)據(jù)的變化趨勢，并根據(jù)其趨勢規(guī)律預(yù)測未來一段時(shí)間的撓度監(jiān)測數(shù)據(jù)。本工程時(shí)間序列模型預(yù)測趨勢基本符合實(shí)測樣本，并且短期預(yù)測精度相對較高，可應(yīng)用于工程實(shí)踐。合理運(yùn)用時(shí)間序列分析方法，有助于橋梁健康監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測分析。