高次分段函數(shù)為基元的羅茨轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)

章圣意,林景殿,周興東,蘇中地

(1.浙江蒼南儀表集團(tuán)有限公司,浙江 蒼南 325800;2.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

由于國(guó)家環(huán)境保護(hù)政策的影響,氣體流量計(jì)作為計(jì)量氣體流量的儀表而得到了迅速的發(fā)展.氣體羅茨流量計(jì)也稱氣體腰輪流量計(jì),一種容積式流量計(jì)量?jī)x表,是氣體流量計(jì)的一大重要種類.氣體羅茨流量計(jì)以其精度高、量程范圍寬、體積小、重量輕、安裝維修方便、使用可靠及耐久的使用壽命等特點(diǎn),在許多領(lǐng)域特別是城市燃?xì)?、油田化工方面得到了廣泛應(yīng)用.

羅茨流量計(jì)的轉(zhuǎn)子一般叫做羅茨輪,以兩葉型居多.轉(zhuǎn)子橫斷面的外輪廓稱為轉(zhuǎn)子型線.以型線類別劃分羅茨輪主要有三類:圓弧型、擺線型和漸開(kāi)線型.金瑞明[1]對(duì)圓弧型羅茨型線進(jìn)行研究時(shí),從圓弧型羅茨型線的嚙合理論出發(fā),推導(dǎo)出型線的解析表達(dá)式.秦麗秋和劉玉岱[2]提出兩種圓弧轉(zhuǎn)子型線,一種是轉(zhuǎn)子峰形是圓弧,谷形為其共軛曲線;另一種是轉(zhuǎn)子谷形是圓弧,峰形為其共軛曲線.徐文兵等[3]介紹了一種偏心圓弧轉(zhuǎn)子型線.朱超穎等[4]提出了一種由多段圓弧和圓弧包絡(luò)線組成的羅茨型線.張長(zhǎng)興[5]考察了全擺線型羅茨轉(zhuǎn)子的計(jì)算公式.張帥等[6]根據(jù)擺線形成原理導(dǎo)出擺線型羅茨轉(zhuǎn)子的型線方程,利用軟件生成實(shí)體模型并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真.葉喜倫和王穎[7]對(duì)漸開(kāi)線型羅茨轉(zhuǎn)子的型線進(jìn)行推導(dǎo),給出了第一象限內(nèi)三段曲線的坐標(biāo)表達(dá)式.李海洋等[8]對(duì)傳統(tǒng)漸開(kāi)線型羅茨轉(zhuǎn)子的型線進(jìn)行改造,改造后的轉(zhuǎn)子型線更加平滑流暢,性能更優(yōu).潘友藝等[9]也提出一種漸開(kāi)線型羅茨轉(zhuǎn)子的型線.李建磊和葉仲和[10]主要研究了內(nèi)外圓弧加擺線型的轉(zhuǎn)子.劉林林等[11]則在傳統(tǒng)漸開(kāi)線的基礎(chǔ)上加入擺線后,優(yōu)化了轉(zhuǎn)子的性能.

嚴(yán)格地說(shuō),對(duì)于羅茨轉(zhuǎn)子這種兩齒齒輪,只要符合齒輪嚙合原理,羅茨流量計(jì)的轉(zhuǎn)子型線可以不限于圓弧型、擺線型和漸開(kāi)線型.從這一點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行研究,目的是設(shè)計(jì)出新型的轉(zhuǎn)子型線.趙森等[12]采用三次樣條曲線來(lái)構(gòu)成羅茨轉(zhuǎn)子輪廓.本文以分段高次曲線為基元,設(shè)計(jì)了一種新型的羅茨流量計(jì)轉(zhuǎn)子型線,并在此基礎(chǔ)上研究了型線的嚙合特性和面積利用系數(shù).

1 型線的幾何構(gòu)成

一般情況下,平面曲線可以有笛卡爾坐標(biāo)表示法和極坐標(biāo)表示法.許多關(guān)于羅茨型線的文章采用的是笛卡爾坐標(biāo)表示法,本文將采用極坐標(biāo)表示法.因?yàn)闃O坐標(biāo)表示法表示的是不同極角下的極徑.極角是指從X軸開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较虻哪成渚€夾角,極徑是指位于該角度下曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的長(zhǎng)度.考慮三次以上的曲線,表示將更為復(fù)雜,權(quán)衡復(fù)雜性和精確度,選擇以分段三次曲線為基元,輔以圓弧曲線,以構(gòu)成一種連續(xù)的羅茨輪型線.作為例子,取一種浙江蒼南儀表集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的羅茨輪作為改進(jìn)的原型,原型基圓直徑為46 mm,取基圓圓心作為原點(diǎn),型線關(guān)于X、Y軸對(duì)稱,所以僅考慮第一象限的情況.通過(guò)對(duì)原型的分析和上訴的羅茨輪構(gòu)成思路轉(zhuǎn)子型線的幾何構(gòu)成如圖1.

圖1 以分段高次曲線為基元的羅茨型線Figure 1 Roots line with the subsection high order curve as the elements

對(duì)于第一象限的曲線以角度為45°的線為界可以把它分為兩部分,大于45°角的曲線分為三段,即AB、BC和CD,小于45°角的曲線分為四段,即DE、DF、FG和GH.具體各段的曲線公式和曲線段端點(diǎn)如表1.表中的極角是指從X軸開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较虻哪成渚€夾角,極徑是指位于該角度下曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的長(zhǎng)度.AB和GH段由圓弧所組成,其他均由三次曲線組成.曲線共有7段,有8個(gè)端點(diǎn).表1中,對(duì)應(yīng)的極角和極徑得到端點(diǎn),兩端點(diǎn)之間是曲線公式.特別值得注意有兩點(diǎn),一點(diǎn)是45°角兩邊,即以45°角為中心,以5.9°以內(nèi)的任一角度在兩邊取兩極徑,則兩極徑之和等于45°角處極徑之兩倍.另一點(diǎn)是在39.1°和37.9°之間,曲線出現(xiàn)了兩次取值,這也是我們這次設(shè)計(jì)的特殊之處.將得到的公式進(jìn)行運(yùn)算,可得到羅茨子上各點(diǎn)的坐標(biāo),將公式逐段導(dǎo)入Solidworks中,考慮排污槽和加工特點(diǎn),再通過(guò)鏡像便可得到完整的二維和三維羅茨輪如圖2.

表1 曲線公式和端點(diǎn)Table 1 Formula and endpoints of curves

圖2 羅茨輪輪廓線Figure 2 Geometric shape of Roots wheel

2 型線特點(diǎn)

羅茨流量計(jì)的轉(zhuǎn)子是其核心部件,那么設(shè)計(jì)羅茨轉(zhuǎn)子時(shí)應(yīng)考慮以下要求:首先型線要關(guān)于X、Y軸對(duì)稱,滿足齒輪齒廓嚙合理論,以保證轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)平穩(wěn);其次容積利用率應(yīng)盡可能大,即在相同的工況下的轉(zhuǎn)子所占面積最小;最后在選材時(shí)要保證轉(zhuǎn)子具有足夠剛度和耐腐蝕性,最好進(jìn)行表面處理.

圖3 兩羅茨輪對(duì)滾狀態(tài)圖Figure 3 Intermeshing state of two Roots wheel

圖3給出了兩羅茨輪對(duì)滾狀態(tài)圖通過(guò)對(duì)滾,得到的間隙幾乎為零.在實(shí)際加工中,由于加工精度的原因,間隙為零是不可能做到的.如果設(shè)定間隙為零,則由于加工誤差,得到的羅茨輪必定卡死.現(xiàn)在將設(shè)計(jì)極徑乘以一小于1而又接近于1的系數(shù),就得到了具有微小間隙(一般設(shè)定為10絲=100 μm)的設(shè)計(jì)羅茨輪.因此，運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中兩輪之間存在微小的間隙,不產(chǎn)生摩擦現(xiàn)象.按照要求,設(shè)定間隙為110 μm,對(duì)此羅茨輪進(jìn)行對(duì)滾,得到最小間隙99.7 μm,最大間隙121.4 μm,平均間隙110.5 μm.

但如果轉(zhuǎn)子在嚙合點(diǎn)不能保證光滑地過(guò)渡,則被測(cè)介質(zhì)會(huì)跟轉(zhuǎn)子發(fā)生摩擦現(xiàn)象,產(chǎn)生局部壓力損失,影響測(cè)量精度.所以在嚙合處的型線要光滑.因此，轉(zhuǎn)子型線的連續(xù)性是影響其性能的重要指標(biāo).連續(xù)性指型線的各曲線段間連接點(diǎn)的光滑程度.那么判斷參數(shù)曲線的光滑性的標(biāo)準(zhǔn)是:采用曲線函數(shù)的可微性來(lái)判斷，要求曲線不僅需要相交,而且交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)要相等.根據(jù)設(shè)計(jì)的完整曲線方程,可以得到各段曲線相交處交點(diǎn)的坐標(biāo),再對(duì)交點(diǎn)進(jìn)行左右求導(dǎo)可得(表2).

表2 曲線各連接點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)值Table 2 The Left and the right derivative values of each connection point of the curve

表2中對(duì)應(yīng)每一連接點(diǎn)給出了左右導(dǎo)數(shù),除了F、G兩點(diǎn)曲線的導(dǎo)數(shù)有些小差別外,其它點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均相同,屬于光滑連接,連續(xù)性好,基于羅茨轉(zhuǎn)子的工作原理,各點(diǎn)的光滑連接便于羅茨輪的滾動(dòng),從而對(duì)流量計(jì)的工作性能產(chǎn)生有利的影響.其中G、H兩點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)雖然完全不同,屬于不光滑連接,但是由于GH段不參與嚙合,所以此兩點(diǎn)的不光滑連接對(duì)流量計(jì)的整體性能影響很小.

新型羅茨轉(zhuǎn)子的面積利用率要盡可能的大,即在相同的工況下,轉(zhuǎn)子較腔體面積占比要盡可能小.根據(jù)轉(zhuǎn)子面積利用率的定義,面積利用系數(shù)λ為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周時(shí)外圓半徑掃過(guò)的面除以轉(zhuǎn)子的橫截面面積后減去1.利用Solidworks集成的工具求得面積,再根據(jù)面積利用系數(shù)公式求得轉(zhuǎn)子型線的面積利用系數(shù)(表3),其中新設(shè)計(jì)的曲線轉(zhuǎn)子面積利用系數(shù)最大,漸開(kāi)線型次之,圓弧型再次之,擺線型的面積利用系數(shù)最小.

表3 面積利用系數(shù)的比較Table 3 Comparison of area utilization coefficients

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)羅茨型線的考察和研究,得到了由極角為變量,極徑為函數(shù)的分段高次曲線組成的新型羅茨型線,由各段公式,得到整體型線上的各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).通過(guò)綜合分析該組合型線的連續(xù)性及面積利用率,證明該型線具有良好的連續(xù)光滑性,而且面積利用率比傳統(tǒng)的羅茨型線轉(zhuǎn)子高.