斜激波總壓損失率極小值理論解與物理意義

史愛明，Earl H DOWELL

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院 NPU-Duke空氣動(dòng)力與氣動(dòng)彈性聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，西安 710072 2. 杜克大學(xué) 普拉特工學(xué)院 NPU-Duke空氣動(dòng)力與氣動(dòng)彈性聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，達(dá)勒姆 27708-0300

斜激波關(guān)系式與其圖解是人們獲得激波角和激波前后流動(dòng)參數(shù)的重要方法[1-3]。根據(jù)經(jīng)典激波理論[1-2]，斜激波關(guān)系式為定常、絕熱的平面斜激波無黏流動(dòng)問題解析解。為便于激波角的求解，1953年，美國(guó)國(guó)家航空咨詢委員會(huì)(National Advisory Committee for Aeronautics, NACA)Ames中心的研究人員制作出斜激波關(guān)系式圖解，即通常空氣動(dòng)力學(xué)研究者所熟悉的θ-β-Madiagram(θ為楔形角，β為激波角，Ma為馬赫數(shù))[3]。

本文的研究起因來自Anderson所著《Fundamentals of Aerodynamics》中第9章第2節(jié)給出的θ-β-Ma圖第4條規(guī)律：固定物面楔形角為20°，考查激波強(qiáng)度隨來流馬赫數(shù)的變化情況；書中給出了馬赫數(shù)5.0的激波強(qiáng)度大于馬赫數(shù)2.0的激波強(qiáng)度舉例。此結(jié)論是正確的，但如果繼續(xù)降低激波前的馬赫數(shù)，激波強(qiáng)度是會(huì)持續(xù)下降嗎？之后的研究表明，激波強(qiáng)度不是持續(xù)下降的，激波強(qiáng)度最小值出現(xiàn)在激波角為55°時(shí)所對(duì)應(yīng)的波前馬赫數(shù)1.959。 進(jìn)一步研究，得到了實(shí)現(xiàn)總壓損失率極小值控制的解析方程組，當(dāng)然也是激波強(qiáng)度最弱條件的理論解：激波角關(guān)于楔形角的直線方程，且控制方程與馬赫數(shù)和斜激波關(guān)系式都是無關(guān)的。

氣體的可壓縮性和聲波傳播速度的有限性，使激波成為自然界與人工設(shè)計(jì)超聲速流中必然產(chǎn)生的物理現(xiàn)象。激波是一種氣流參數(shù)梯度變化很大且極薄的流動(dòng)結(jié)構(gòu)，通常認(rèn)為激波的厚度約為100 nm。激波結(jié)構(gòu)雖然薄，但耗散性很大。它是導(dǎo)致飛機(jī)超聲速飛行激波阻力的直接原因[4]。歐洲空客公司、德國(guó)宇航院和法國(guó)航空航天中心等科研機(jī)構(gòu)的共同研究表明：對(duì)一精細(xì)設(shè)計(jì)的高速翼身組合體模型，馬赫數(shù)2.0的升阻比比馬赫數(shù)0.95的升阻比降低了37.21%[5]。激波強(qiáng)度增加是導(dǎo)致升阻比降低的主要原因。此外，阻礙超聲速飛行的另一個(gè)重要問題是音爆問題[6-8]。激波強(qiáng)度仍然是決定音爆強(qiáng)弱的主要物理因素。定義適用的激波強(qiáng)度物理量，尋找激波強(qiáng)度控制規(guī)律，對(duì)生成高效率的超聲速流是有幫助的。

激波理論計(jì)算[9-12]、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[13-16]與理性分析[17-19]是空氣動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)關(guān)注的問題。20世紀(jì)80年代，張涵信結(jié)合熵增條件建立的無波動(dòng)、無自由參數(shù)耗散格式對(duì)提高激波計(jì)算分辨能力起了實(shí)質(zhì)性作用[20-21]。之后，鄧小剛等發(fā)展的高階精度耗散加權(quán)緊致非線性格式在解決強(qiáng)激波渦量場(chǎng)非物理振蕩問題中發(fā)揮了巨大作用[22-23]。計(jì)算格式檢驗(yàn)會(huì)依賴于激波強(qiáng)度這一重要物理量。發(fā)動(dòng)機(jī)超聲速進(jìn)氣道的總壓恢復(fù)系數(shù)也有賴于管流激波強(qiáng)度規(guī)律研究[24-27]。高效乘波體氣動(dòng)布局設(shè)計(jì)[28]和超聲速等離子流動(dòng)控制總壓損失量也與激波強(qiáng)度規(guī)律有理論關(guān)聯(lián)[29]。天文中的星際激波現(xiàn)象理解[30]、弱激波數(shù)學(xué)存在性原理研究[31]等問題或也可從斜激波強(qiáng)度規(guī)律中得到啟發(fā)。此外，斜激波強(qiáng)度規(guī)律理論解亦有望為高精度保真計(jì)算格式驗(yàn)證設(shè)計(jì)檢驗(yàn)標(biāo)模[32]。更為重要的是，氣流總壓值是表征流體輸出有用機(jī)械功能力的指標(biāo)性參數(shù)，所以斜激波總壓損失率極小值解析方法與效率圖解或?qū)⒛軐?shí)現(xiàn)超聲速流中空氣動(dòng)力最大有用功能力的物理極限。

本文第1節(jié)，基于法向馬赫數(shù)定義和斜激波關(guān)系式，導(dǎo)出以法向馬赫數(shù)表示的特殊斜激波關(guān)系式，分析得到斜激波總壓損失率極小值控制方程。第2節(jié)，結(jié)合總壓損失率極小值控制方程，以斜激波總壓損失率變化規(guī)律為研究指引，生成斜激波氣動(dòng)效率圖解。第3節(jié)，以10°楔形角為例解釋斜激波等值總壓損失率的雙解特性。第4節(jié)，對(duì)比斜激波氣動(dòng)效率圖解法與總壓比直接圖解法的研究差異。第5節(jié)，以《Fundamentals of Aerodynamics》書中斜激波關(guān)系式規(guī)律4為源，演繹應(yīng)用理論方程和效率圖解控制平面超聲速流中的激波強(qiáng)度。

1 方程導(dǎo)出

采用法向馬赫數(shù)作為斜激波強(qiáng)度表征量。法向馬赫數(shù)定義為

(1)

式中：Ma1為激波波前馬赫數(shù)；β為激波偏轉(zhuǎn)角。

將式(1)中導(dǎo)出式代入斜激波關(guān)系式[1]，經(jīng)適當(dāng)三角公式代換運(yùn)算(具體推導(dǎo)見附錄A)，可得到關(guān)于激波角和楔形角的法向馬赫數(shù)斜激波關(guān)系式(2)。斜激波關(guān)系式是在定常和絕熱假設(shè)下、忽略(除激波內(nèi)層外)氣體黏性與體積力的斜激波超聲速流動(dòng)問題的解析解。式(2)是斜激波關(guān)系式的法向馬赫數(shù)特殊表達(dá)式，其適用條件與斜激波關(guān)系式是一致的。

(2)

式中：θ為物面楔形角；γ為氣體比熱比。對(duì)于理想氣體(無特殊說明，文中流體均為理想氣體)：γ= 1.4時(shí)，θ取值范圍為[0°，45.58°)。如固定θ， 由式(2)可看出：當(dāng)2β-θ=90°時(shí)，式(2)左端法向馬赫數(shù)將取得最小值。對(duì)斜激波而言，它是實(shí)現(xiàn)固定θ的最弱激波強(qiáng)度條件。因此，在得出最小法向馬赫數(shù)的控制方程同時(shí)，也得到了實(shí)現(xiàn)平面斜激波最弱激波強(qiáng)度條件的控制方程，即

(3)

式中：βopt.為對(duì)應(yīng)總壓損失極小值的最優(yōu)激波角。聯(lián)立式(2)和式(3)，進(jìn)一步可得到固定物面楔形角情況下，實(shí)現(xiàn)法向馬赫數(shù)最小值控制的斜激波方程為

(4)

斜激波總壓損失率是法向馬赫數(shù)的唯一函數(shù)，且是法向馬赫數(shù)的單調(diào)增函數(shù)?？倝簱p失率公式推導(dǎo)和函數(shù)單調(diào)性證明見附錄A。直接給出實(shí)現(xiàn)總壓損失率極小值控制的方程組為

(5)

式中：Δp=p01-p02為斜激波前后總壓損失量，p01和p02分別為激波前與激波后的總壓。

2 方程圖解法

2.1 總壓損失率極小值圖解

將總壓損失率極小值控制方程式(3)繪制于斜激波θ-β-Ma圖上，即可得到實(shí)現(xiàn)總壓損失率極小的氣動(dòng)效率圖解——θ-β-Ma圖上的一條直線(固定θ的氣動(dòng)效率極大值)，如圖1所示。

圖1中，總壓損失率極小值直線(紅色粗實(shí)線)與強(qiáng)弱解分界線(點(diǎn)劃線)，將斜激波氣動(dòng)效率圖解分成3個(gè)部分。其中，第②部分和第③部分是與斜激波總壓損失率規(guī)律直接相關(guān)的區(qū)域。區(qū)域①為斜激波強(qiáng)解區(qū)，總壓損失率大于區(qū)域②和③，一般不獨(dú)立存在。對(duì)于固定的楔形角(如θ=20°)：

1) 在區(qū)域②中，隨著波前馬赫數(shù)增大(沿灰色箭頭向下)，斜激波總壓損失率值逐漸減小，最小總壓損失率直線與θ=20°的垂線交點(diǎn)處(黑色實(shí)三角形點(diǎn))，激波總壓損失率達(dá)極小值。對(duì)于給定楔形角，區(qū)域②是總壓損失率值大且馬赫數(shù)小的區(qū)域。從氣動(dòng)效率角度考慮，在設(shè)計(jì)超聲速流時(shí)，不應(yīng)選擇總壓損失大的區(qū)域②中的馬赫數(shù)作設(shè)計(jì)馬赫數(shù)。

2) 區(qū)域③中，沿箭頭繼續(xù)向下，隨著馬赫數(shù)增大，總壓損失率值也增大。因此，若以取得最小總壓損失率為目的，可定義最小總壓損失率直線上的波前馬赫數(shù)為最優(yōu)馬赫數(shù)Ma1,opt.。

特別的是，圖1中標(biāo)出的物面楔形角為20°時(shí)最優(yōu)馬赫數(shù)Ma1,opt.=1.959，是從《Fundamentals of Aerodynamics》書中馬赫數(shù)5.0與2.0激波強(qiáng)度推論分析中發(fā)現(xiàn)的。將馬赫數(shù)2.0減小0.041就可得到20°楔形角的最優(yōu)馬赫數(shù)。更重要的是，馬赫數(shù)再減小，激波的總壓損失率值卻是增加的。

圖1 斜激波氣動(dòng)效率θ-β-Ma圖Fig.1 θ-β-Ma aerodynamic efficiency diagram for oblique shock

2.2 總壓損失率極小值線上的變參分析

利用總壓損失率極小值線上激波角與楔形角的線性關(guān)系式(3)，可將斜激波法向馬赫數(shù)特殊形式簡(jiǎn)化為只關(guān)于楔形角或最優(yōu)馬赫數(shù)的函數(shù)。圖2 中給出了總壓損失率極小值隨最優(yōu)馬赫數(shù)、物面楔形角，斜激波最優(yōu)法向馬赫數(shù)隨最優(yōu)馬赫數(shù)、物面楔形角的變化趨勢(shì)與計(jì)算公式。

圖2 斜激波最小總壓損失率直線上總壓損失率、法向馬赫數(shù)變化趨勢(shì)Fig.2 Variation trends of ratio of total pressure loss and normal Mach number on the line for minimum ratio of total pressure loss by oblique shock

2.3 斜激波總壓損失率三維分布圖

圖3 總壓損失率空間分布規(guī)律θ-β-Ma*氣動(dòng)效率圖Fig.3 Three-dimensional contour figure for ratio of total pressure loss in θ-β-Ma* frame of reference

3 Ma1與β雙解特征

3.1 關(guān)于總壓損失率極小值線對(duì)稱的雙解現(xiàn)象

總壓損失率極小值線出現(xiàn)在斜激波弱解區(qū)域中間。取定物面楔形角，將導(dǎo)致在總壓損失率極小值線兩側(cè)出現(xiàn)相同總壓損失率值對(duì)應(yīng)兩組馬赫數(shù)和激波角：一組大馬赫數(shù)、小激波角；另一組小馬赫數(shù)、大激波角。稱此為關(guān)于總壓損失率極小值線對(duì)稱的等總壓損失率值雙解現(xiàn)象。

圖1中以物面楔形角10°和20°示例雙解現(xiàn)象。例如：10°楔形角，總壓損失率值都為2.28%，紅色框中為小馬赫數(shù)Ma1=1.423、大激波角β=67.44° 的解；藍(lán)色框中為大馬赫數(shù)Ma1=2.438、小激波角β=32.56°的解。

3.2 10°楔形角的Ma1與β雙解形成分析

式(5)表明，法向馬赫數(shù)與總壓損失率變化規(guī)律是相同的。相對(duì)總壓損失率公式，采用法向馬赫數(shù)進(jìn)行雙解特性分析是便利的。

圖4中為法向馬赫數(shù)Man1雙解形成的馬赫數(shù)與激波角轉(zhuǎn)化關(guān)系。圖4中除一對(duì)圓環(huán)(小Ma1、大β)與方格(大Ma1、小β)雙解點(diǎn)外，還給出1#與1##、3#與3##兩對(duì)雙解值。需指出，圖4(b) 中Man1的激波角雙解關(guān)系是關(guān)于總壓損失率最小的激波角為50°的完全對(duì)稱形式。圖4(a)中Ma1與sinβ合成Man1的過程，小Ma1、大β與大Ma1、小β都可形成相同的Man1。其機(jī)制或解釋為：物理壓縮(馬赫數(shù))與空間壓縮(激波角)都可取得相同效果的兩組解。

將斜激波法向馬赫數(shù)與同值正激波馬赫數(shù)對(duì)比(圖5)，易知：斜激波流動(dòng)參數(shù)(總壓損失率Δp/p01、靜溫比T2/T1、靜壓比p2/p1、密度比ρ2/ρ1)都存在馬赫數(shù)與激波角雙解特性；正激波無雙解特性，是單值函數(shù)。對(duì)于10°楔形角，馬赫數(shù)雙解區(qū)間為[1.421, 2.438]，相應(yīng)激波角雙解區(qū)間為[67.42°, 32.58°]；法向馬赫數(shù)區(qū)間為[1.245, 1.312]。

圖4 法向馬赫數(shù)相同的馬赫數(shù)與激波角雙解形成說明圖(θ=10°)Fig.4 Two-solutions properties for corresponding Mach number and shock angle at same normal Mach number (θ=10°)

圖5 斜/正激波流動(dòng)參數(shù)變化趨勢(shì)Fig.5 Variation trends of flow parameters for oblique/normal shock

4 研究對(duì)比

考查激波總壓變化規(guī)律時(shí)，以總壓比作為馬赫數(shù)和楔形角函數(shù)是較為自然的研究思路。Shapiro撰寫的麻省理工學(xué)院經(jīng)典著作《The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow (Volume 1)》也是采用總壓比參數(shù)直接數(shù)值法作圖[33]。根據(jù)書中圖16.6b的圖解(1953年版的英文原著在第538頁)，對(duì)比θ-β-Ma效率圖解法和總壓比直接圖解數(shù)據(jù)與方法。特別說明的是，圖6中的紅色最大總壓比映射線是未在Shapiro書中予以標(biāo)出的。圖6中用紅色虛線輔助標(biāo)注出楔形角20°時(shí)，激波前后總壓比，以及相應(yīng)馬赫數(shù)的Shapiro圖解測(cè)量值。Shapiro的計(jì)算值與圖1中總壓損失率值是吻合的，最優(yōu)馬赫數(shù)值也是一致的。

圖6 斜激波效率圖解法與總壓比數(shù)值法數(shù)據(jù)比對(duì)Fig.6 Comparison of data between oblique shock efficiency diagram solution and stagnation pressure ratio numerical method

關(guān)于研究方法，一個(gè)有趣的現(xiàn)象是：總壓比直接圖解法得到的最大總壓比數(shù)值形成的幾何圖形為曲線，不易被察覺；而斜激波圖解中得出的總壓損失率極小值線是直線，容易看出。第2節(jié)中θ-β-Ma*三維總壓損失率圖解分析也明確指出，總壓損失率函數(shù)極小值的三維空間曲線，僅在Oθβ投 影面上為直線且唯一。諸多因素也許是總壓損失率極小值線長(zhǎng)久未被發(fā)現(xiàn)的原因。它的得到或有種“驀然回首、燈火闌珊”之感，但作者更愿意把“最小總壓損失律”的得出歸咎于氣動(dòng)高效率超聲速飛行歷史發(fā)展的必然。作者與審稿人都期待總壓損失極小值控制方程與效率圖解能對(duì)生成高氣動(dòng)效率的激波總壓理論產(chǎn)生積極意義，尤其是對(duì)從事激波有關(guān)的高速飛行器激波最小損失外流或進(jìn)、排氣內(nèi)流問題的研究者提供一個(gè)有益的理論啟示。

5 舉例應(yīng)用

假設(shè)舉例應(yīng)用如圖7所示。平面理想氣體中，小明駕駛一楔形角為20°的二維飛行器進(jìn)行超聲速飛行。假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)具備提供任何飛行馬赫數(shù)的推進(jìn)能力。小明的問題是選擇哪個(gè)飛行馬赫數(shù)檔位進(jìn)行氣動(dòng)效率最優(yōu)的超聲速飛行。氣動(dòng)效率最優(yōu)意味著：在消耗相同油量的條件下，最優(yōu)的超聲速飛行馬赫數(shù)將取得最大的飛行距離。小明的操作步驟是：① 運(yùn)用式(3)算出最優(yōu)激波角為55°；② 利 用式(2)和式(1)算出選擇最優(yōu)飛行馬赫數(shù)為1.959；③ 通過式(5)得出儀表盤上顯示的空氣動(dòng)力總壓利用率為89.35%。

如果還想進(jìn)一步提高總壓利用率，小明將運(yùn)用斜激波效率圖解(圖1)進(jìn)行飛行器楔形角設(shè)計(jì)。從氣動(dòng)效率考慮，小明是不會(huì)選擇效率圖解中區(qū)域②的馬赫數(shù)進(jìn)行飛行的?？倝簱p失率相同，區(qū)域②中飛行馬赫數(shù)小于區(qū)域③中飛行馬赫數(shù)。區(qū)域②速度與效率都是低的。

利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，舉例說明可直接應(yīng)用于與激波強(qiáng)度有關(guān)的二維超聲速流動(dòng)問題中，可包括風(fēng)洞試驗(yàn)條件設(shè)定或計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)模型設(shè)計(jì)等問題研究。如：激波/附面層干擾流動(dòng)問題中，通過恰當(dāng)組合物面楔形角和馬赫數(shù)來精確產(chǎn)生附面層入射激波需要的強(qiáng)度條件。

圖7 楔形角為20°的二維飛機(jī)選取平面超聲速流中最優(yōu)飛行馬赫數(shù)的過程Fig.7 Process of two-dimensional aircraft with 20°wedge for selecting the optimal flight Mach number in a planar supersonic flow

6 結(jié) 論

1) 發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)含于斜激波關(guān)系式中的總壓損失率極小值理論方程——僅為激波角和楔形角的直線方程。

2) 生成的斜激波氣動(dòng)效率圖解便于超聲速激波結(jié)構(gòu)總壓損失率規(guī)律的運(yùn)用。

3) 解釋了完全對(duì)稱于總壓損失率極小值線的等值總壓損失率馬赫數(shù)與激波角的雙解特征。

致 謝

感謝Anderson教授(Andeerson教授為美國(guó)國(guó)家工程院院士，美國(guó)國(guó)家航空航天博物院空氣動(dòng)力學(xué)館館長(zhǎng)，馬里蘭大學(xué)榮譽(yù)教授)分享的Shapiro教授(Shapiro教授是美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、工程院院士，麻省理工學(xué)院榮譽(yù)教授)撰寫麻省理工學(xué)院經(jīng)典氣動(dòng)著作中20°楔形角總壓比直接法圖解分析與數(shù)據(jù)驗(yàn)證的研究思路。

感謝“可壓縮空氣動(dòng)力學(xué)”核心課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)經(jīng)常對(duì)教學(xué)問題的研討。感謝團(tuán)隊(duì)首席宋文萍教授2015年課程全過程跟班教學(xué)培養(yǎng)。正是在跟班聽課中，作者再學(xué)習(xí)斜激波關(guān)系式并對(duì)氣動(dòng)效率問題萌生疑問。感謝2016年選課同學(xué)王東璞和李民民課上、課下對(duì)開放問題的討論交流。

附錄A

將法向馬赫數(shù)Man1=Ma1sinβ代入斜激波關(guān)系式[1]，得

(A1)

(A2)

利用輔助角公式，化簡(jiǎn)式(A2)，得

(A3)

式(A3)即為法向馬赫數(shù)表示的斜激波關(guān)系式。

由熵增總壓比關(guān)系式得總壓損失率公式為

(A4)

以Man1為自變量，對(duì)式(A4)求導(dǎo)，得

(A5)

由γ=1.4，Man1≥1，得(Δp/p01)′≥0；式(A4)是以Man1為自變量的單調(diào)增函數(shù)，得證。