從教學出發(fā)淺談“不動點理論及其應用”

楊晶 趙娜

摘要：不動點理論是泛函分析和高等數(shù)學中的一個非常重要的理論，也是本科及研究生泛函分析教學中的一個重難點，一直得到眾多學者及數(shù)學家們的廣泛關注。文章將在不動點理論及不動點理論在數(shù)列、方程求解方面的應用給出對不動點理論的一些教學思考。

關鍵詞：不動點理論;應用;教學;方程

中圖分類號：G642.41? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）49-0196-02

不動點理論是一個歷久彌新的領域，它即古老又富有創(chuàng)新的活力，在近現(xiàn)代的發(fā)展中，有關不動點理論的研究極其的快速，因此不動點理論也是日臻完善。而有關不懂點理論的很多知識都是本科及研究生課程的基本[1]是泛函分析中最重要的理論之一，它在研究數(shù)學物理方程及求解方程方面有著重要的作用。下面我們將從不動點理論及應用方面闡述我們關于教學的思考和探討。

一、不動點理論

無論是在本科還是研究生教學中，不動點理論都是從最經(jīng)典的巴拿赫不動點定理開始的，這里我們首先給出巴拿赫不動點定理，即：

定理1.1（Banach不動點定理—壓縮映射原理[1，2]）設（X，d）是度量空間，T是X到X的壓縮映射，則T有且只有一個不動點x ，即存在x ∈X使得 ，其中若存在常數(shù)0

在教學中我們講解壓縮映射原理時要對學生強調(diào)該定理是對度量空間而言的，從而也可以進一步強化對度量空間的理解和掌握。這里可以引導學生如果我們從度量空間到巴拿赫空間那么還會不會有不動點定理？甚至是有什么樣的不動點定理？答案當然是肯定的，我們把定理1.1中的不動點定理從度量空間推廣到Banach空間即有：

定理1.2（Schauder不動點定理[1]）設E是Banach空間，X是E的非空緊凸集，f：X→X是連續(xù)映射，則f在X中存在不動點。

定理1.2中對于集合E的條件是很強的，一般我們在考慮實際問題時很難找到這樣的非空緊凸集，但若將映射f的條件加強為緊映射，則其定義域的條件將會不被要求是緊集，甚至也可以不被要求是閉集，這就是下述的Schauder不動點定理II，即為：

定理1.3（Schauder不動點定理[1]）設E是Banach空間，X是E中的非空凸集，f：X→X是緊的連續(xù)映射，則f在X中存在不動點。

上面的三個不動點定理都是在抽象的無限維空間上面考慮的，在教學中可能會造成學生的困惑和不易理解，這樣我們就可以給出學生在高等數(shù)學中都學到過的相對比較熟悉的一種不動點定理，即當我們在一維R上討論不動點定理時，我們有：

定理1.4[3，4] 設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且對任意的x∈[a，b]，恒有a≤f（x）≤b，則至少存在一點

使得f 我們稱x 為f（x）的不動點。

對于定理1.4中的不動點很顯然存在代數(shù)和幾何兩方面的意義，一方面幾何意義為如果函數(shù)y=f（x）和y=x存在交點 ，則 就是函數(shù)f（x）的不動點。另一方面代數(shù)意義則是如果方程f（x）=x存在實數(shù)根x ，則

以上我們給出了度量空間、巴拿赫空間、一維空間中的不動點定理，在教學中我們的學習也是從度量空間到巴拿赫空間，然后再到內(nèi)積空間、希爾伯特空間。這樣循序漸進地給出不動點定理也比較容易讓學生理解和接受。但是在教學中只給出定理和定理的證明往往是不夠的，我們還需要進一步給出不動點定理的應用以加深學生的記憶和理解。接下來，我們從學生都比較熟悉的數(shù)列和積分方程方面給出不動點定理的應用。

二、不動點理論的應用

我們知道數(shù)列是本科教學中最新接觸的知識，所以這里我們首先給出不動點定理在數(shù)列方面的應用比較容易讓學生理解和接受。首先根據(jù)不動點定理1.1（壓縮映射原理）可以得到以下有關數(shù)列收斂的結論：

引理2.1[5] 對任意的數(shù)列 ，若存在常數(shù)α：0<α<1，使得對一切n∈N，有 ，則 收斂。

對于引理2.1我們可以引導學生發(fā)現(xiàn)如果可以得到? 這個遞推公式且f（x）可導，那么我們就可以利用f（x）的導數(shù)f'（x）來檢驗 的收斂性。即如果存在常數(shù)α：0<α<1，使得f'（x）≤α<1，則利用微分中值定理，可以得到 滿足

從而我們可以得到 收斂。

接下來我們可以和學生一起來回顧一下最開始在學習數(shù)列時的一道題目，這樣不僅可以讓學生們鞏固一下之前的知識而且還可以加深對不動點定理的理解。

在本科我們最開始學習數(shù)列極限的知識時，我們是通過極限的存在法則（單調(diào)有界的數(shù)列必收斂）來求解這道題目的，這樣我們就需要驗證數(shù)列{x■}同時具有單調(diào)和有界性，但在這里我們利用不動點定理只需要構造一個函數(shù)然后對函數(shù)進行求導就可以解決我們的問題了，這也就一定程度是反映了不動點定理應用的廣泛和方便。例題2.2是不動點定理在本科教學中有關于數(shù)列方面的應用，下面我們給出不動點定理在研究生教學中有關積分方程求解方面的應用。

總之，不動點定理是本科及研究生教學中的重要組成部分，學生對于定理的認識不是直線發(fā)展的，而是螺旋式前進的。因此，教師傳授定理的過程也不應是一次性完成的，而是盡量在教學過程中引入能夠幫助學生理解的感性材料，降低學習的難點，激發(fā)學生學習的主動性，同時有意識地引導學生對所學知識及時分類整理，回首返顧，了解不同不動點定理之間的關系，以達到對所學的知識能夠形成一個有機的整體，進而能夠靈活運用從而去分析問題和解決問題。

參考文獻：

[1]張恭慶，郭懋正.《泛函分析講義》上冊[M].北京大學出版社，1987.

[2]劉炳初.泛函分析[M].科學出版社，2016.

[3]龔德恩，范培華.微積分[M].高等教育出版社，2012.

[4]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，2006.

[5]馮艷青.數(shù)學分析的不動點問題[J].青海師范大學學報（自然科學版），2001.