一組有限維向量的極大無關(guān)組的求法

張麗娟

摘要：文章利用向量空間之間的同構(gòu)關(guān)系，將求任意數(shù)域F上有限維向量空間中一組向量的極大無關(guān)組的問題轉(zhuǎn)化為求? 中一組與之對應(yīng)的向量組的極大無關(guān)組的問題.

關(guān)鍵詞：極大無關(guān)組;同構(gòu)映射;矩陣的秩;向量空間的基

中圖分類號：0151.21? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）49-0194-02

設(shè) 為數(shù)域F上n維向量空間V中的一組向量，下面將介紹如何求它的一個極大無關(guān)組.

一、利用同構(gòu)映射轉(zhuǎn)化問題，并判斷向量組的線性關(guān)系

首先，我們總可以找到V的一個基 （此組向量線性無關(guān)，且V中每一個向量都可以由這組向量的線性組合唯一的表示），且令其次，由“任一數(shù)域F上n維向量空間V都與 同構(gòu)”可知V與 之間必存在一個同構(gòu)映射，我們可以根據(jù)上面表示的唯一性，依向量和它關(guān)于某個基的坐標構(gòu)造一個同構(gòu)映射f，則

最后，依據(jù)以下定理可將問題轉(zhuǎn)化.

定理1 映射f為數(shù)域F上n維向量空間V到F 的一個同構(gòu)映射，則V中的一組向量 線性關(guān)系與 中的一組向量 的線性關(guān)系一致.

定理2 一個矩陣的秩等于其列向量構(gòu)成向量組的秩.

例1 求實數(shù)域上3行2列的實矩陣構(gòu)成向量空間 （R）中一組向量

由上述說明可知，任意n維向量空間中一組向量的線性關(guān)系問題都可以轉(zhuǎn)換成這些向量關(guān)于此空間中某個基的對應(yīng)坐標在 中的線性關(guān)系，下面將詳細討論 中一組向量的極大無關(guān)組的求法.

二、 中一組向量極大無關(guān)組的求法

當向量組中有零向量時，我們可以先將此向量組中的所有零向量除去，在剩余的由非零向量構(gòu)成的向量組中求其極大無關(guān)組即為所求.

所以，不妨設(shè) 全不是零向量，又由于

定理3 設(shè)A= 若A可經(jīng)過矩陣的行初等變換化為B，則B中 線性無關(guān)當且僅當A中相應(yīng)的 線性無關(guān).

從而可將求向量組 的極大無關(guān)組的問題轉(zhuǎn)化為求以此組向量為列的矩陣的變換問題，且當A交換兩列時只需將B的相應(yīng)列進行交換，所以最終我們只需考慮將A通過行初等變換和第一類列初等變換所得矩陣 是r階的單位矩陣，

本文在求任意有限維向量空間中一組向量的極大無關(guān)組時，假設(shè)這個向量空間的一個基是已知的，才會有上述做法，而任意有限維的向量空間，從理論上而言其基必是存在的，但它的求法因?qū)嶋H情況而定;除此之外當給出的向量是行向量時

再對A進行行變換和第一類列變換，也可令 進行列初等變換和第一類行變換求解.

參考文獻：

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