隨機(jī)時(shí)空地震載荷下長(zhǎng)輸埋地壓力管道的響應(yīng)分析

張 鵬 王藝環(huán) 秦國(guó)晉

1.西南石油大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院 2.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院

0 引言

地震的地面運(yùn)動(dòng)是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)無(wú)限維隨機(jī)變量，其顯著表現(xiàn)在進(jìn)行地震分析時(shí)龐大的計(jì)算量。基于大量隨機(jī)變量的Karhunen-Loeve（K-L）分解是經(jīng)典的地震隨機(jī)過(guò)程表示法[1]。李杰和劉章軍[2]利用少量隨機(jī)變量的二次正交展開(kāi)法來(lái)描述地震。有了對(duì)地震隨機(jī)過(guò)程的理論基礎(chǔ)，研究領(lǐng)域開(kāi)始著手于影響因素的探究。但現(xiàn)有規(guī)范中只有歐洲抗震規(guī)范考慮了地震載荷的空間影響[3]。而空間跨度較大的結(jié)構(gòu)不僅受到地震載荷的時(shí)變特性影響，而且對(duì)地震載荷的空間相關(guān)性也十分敏感。事實(shí)證明，地震波沿大跨度結(jié)構(gòu)進(jìn)行傳播的過(guò)程中，由于地震作用運(yùn)動(dòng)不同步而產(chǎn)生時(shí)滯效應(yīng)，即地震載荷是隨著時(shí)間和空間同時(shí)變化。Hindy和Novak[4]首次基于空間變化影響下在統(tǒng)計(jì)分析了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。大跨結(jié)構(gòu)的多點(diǎn)激勵(lì)響應(yīng)問(wèn)題是臺(tái)陣記錄裝置被廣泛應(yīng)用之后進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)研究。具有代表性的是Loh[5]利用SMART-1地震臺(tái)陣記錄的數(shù)據(jù)得出地震的空間相關(guān)性。陳利瓊等[6]從實(shí)驗(yàn)的角度論證了長(zhǎng)距離的隧道結(jié)構(gòu)考慮非一致地震激勵(lì)的必要性。在地震波的傳播過(guò)程中，由于不同場(chǎng)地類型的局部場(chǎng)地影響，也會(huì)對(duì)大跨度結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大影響。因此，在對(duì)大跨度結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析的時(shí)候，有必要同時(shí)考慮地震載荷的隨機(jī)時(shí)空特性[7-9]。

1 地震的隨機(jī)過(guò)程

1.1 非平穩(wěn)地震隨機(jī)過(guò)程的定義

隨機(jī)過(guò)程是在任意的時(shí)間點(diǎn)獲得隨機(jī)變量任意值的歷程。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的規(guī)律對(duì)隨機(jī)過(guò)程的分類。簡(jiǎn)而言之，多元隨機(jī)變量的推廣就是一維的隨機(jī)過(guò)程。

地震作用的統(tǒng)計(jì)特征是隨時(shí)間的推移而變化。強(qiáng)烈的地面運(yùn)動(dòng)是具有瞬變時(shí)間的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于非平穩(wěn)地震載荷的研究，隨時(shí)間變化確定性的強(qiáng)度函數(shù)和零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的乘積可以反映這種隨機(jī)過(guò)程的非平穩(wěn)性[10]。

1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)特征

統(tǒng)計(jì)上將自相關(guān)定義為隨機(jī)過(guò)程中不同狀態(tài)數(shù)值之間的Pearson相關(guān)，這是一個(gè)信號(hào)本身在不同時(shí)間點(diǎn)的互相關(guān)，即作為兩次觀測(cè)時(shí)間差之間的函數(shù)。由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)相當(dāng)于自譜密度中包含的過(guò)程信息，可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換表示定理來(lái)定義譜密度。而譜密度表示的是幅值在該隨機(jī)過(guò)程頻域中的統(tǒng)計(jì)信息。Wiener[11]根據(jù)Fourier變化來(lái)定義譜密度，即：

設(shè)τ=0時(shí)，則

式中 Sx(ω)表示自功率譜密度函數(shù)，m2/s3；Rx(τ)表示自相關(guān)函數(shù)；i 表示虛單位；τ表示時(shí)間差，s；ω表示自振頻率，ω∈(－∞, ＋∞)，r/s；x(t)表示自功率譜密度函數(shù)，t∈(0, ＋∞)，m2/s3；t表示時(shí)間，t∈(0, ＋∞)，s；σ2表示 x(t)的均方值。

實(shí)際中，波形的負(fù)頻域并不存在，所以設(shè)Gx(ω)為實(shí)際自功率譜密度函數(shù)，即Gx(ω)為Sx(ω)＝2Gx(ω)，如圖 1 所示。

圖1 自功率譜密度函數(shù)圖

1.3 地震的隨機(jī)過(guò)程模型及其正交展開(kāi)

1.3.1 地震的隨機(jī)過(guò)程模型

在隨機(jī)地震模型中，具有代表性的是Kanai-Tajimi功率譜密度模型和各類基于此修正的模型。但Kanai-Tajimi模型放大長(zhǎng)周期地震的能量且限制了邊界條件。隨后眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了修正，其中利用最廣泛的是由Clough和Penzien提出的隨機(jī)地震功率譜模型Clough—Penzien模型Scp(ω)如下[12]：

式中S0表示零均值的高斯白噪聲（濾波器輸入）的譜密度，m2/s3；ωg表示場(chǎng)地特征頻率，r/s；ξg表示場(chǎng)地特征阻尼比；ωf表示低頻濾波的場(chǎng)地特征頻率，r/s；ξf表示低頻濾波的特征阻尼比。

1.3.2 地震隨機(jī)過(guò)程的正交展開(kāi)

許多隨機(jī)現(xiàn)象從研究的角度可以用隨機(jī)過(guò)程去描述。從數(shù)學(xué)的角度，合理利用功率譜密度函數(shù)分析地震的隨機(jī)過(guò)程是在數(shù)值特征分析范圍的研究。在直觀上難以反映隨機(jī)過(guò)程樣本與作為確定性函數(shù)的功率譜密度函數(shù)之間所具有的直接聯(lián)系。而本質(zhì)上隨機(jī)過(guò)程的運(yùn)用是一種高效的壓縮數(shù)據(jù)和提取整個(gè)過(guò)程本質(zhì)特征的方法?；跇?biāo)準(zhǔn)正交基的隨機(jī)過(guò)程展開(kāi)方法[3]的指導(dǎo)思想在于利用少量互不相關(guān)的隨機(jī)系數(shù)組成的確定性函數(shù)的線性組合形式來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程，利用獨(dú)立隨機(jī)變量從概率的角度反映地震的復(fù)雜程度。

隨機(jī)過(guò)程K-L分解的基本思想是組合互不相關(guān)的隨機(jī)系數(shù)描述確定性函數(shù)的線性形式，其利用獨(dú)立的隨機(jī)變量集合進(jìn)行隨機(jī)過(guò)程研究[12]。K-L分解的主要特征在于隨機(jī)過(guò)程的主要能量相干結(jié)構(gòu)只需少量的展開(kāi)項(xiàng)就可以描述。

K-L分解是定義在概率空間(x, y, z)和有界區(qū)間D上的實(shí)值隨機(jī)過(guò)程u(x)，均值函數(shù)為u(x)，對(duì)于任意x∈D，其有限方差E[u(θ, x)－u(x)]2是有界的，則隨機(jī)過(guò)程可表示為：

由Mercer定理[13]，隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)C(x1,x2)可以分解為：

式中C(x1, x2)表示協(xié)方差函數(shù)；fi(x1)表示變量x1的特征函數(shù)；fi(x2)表示變量x2的特征函數(shù)。

λi、fi(x)可以通過(guò)Fredholm積分方程得：

1.4 基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的C-P模型正交展開(kāi)[2]

基于概率特征的研究，基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的隨機(jī)展開(kāi)是旨在用少量的隨機(jī)變量來(lái)反映隨機(jī)過(guò)程，其形式等同于K-L分解。

C-P模型的地震譜密度函數(shù)如式（4）所示，其參數(shù)取值如表1～3所示，其相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)為 ：

式中π表示圓周率；Ai(τ)表示第i項(xiàng)正交展開(kāi)項(xiàng)，i=1, 2,3, 4。

其中Ai(τ)的表達(dá)式為：

式中ωi表示第i階自振頻率，r/s。

表1 C-P模型譜強(qiáng)度取值表

表2 C-P模型參數(shù)取值表[14-15]

表3 展開(kāi)項(xiàng)數(shù)和截?cái)嘞鄶?shù)的取值表

因此，反映地震隨機(jī)過(guò)程的C-P模型的正交展開(kāi)為：

Fi(t)的計(jì)算式為：

式中Ts表示地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間，s；N表示展開(kāi)項(xiàng)數(shù)；n表示截?cái)囗?xiàng)數(shù)；ηn+1表示能量能效系數(shù)；φi,n+1表示地震位移過(guò)程相關(guān)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)特征向量的第n+1行元素；ψn(t)表示歸一化的Hartley正交基函數(shù)。

2 地震的隨機(jī)場(chǎng)

地震在空間變化主要指相干效應(yīng)行波效應(yīng)和場(chǎng)地效應(yīng)。由于地震波在傳播中引起能量在空間中相干性損失，稱為相干效應(yīng)。行波效應(yīng)指地震波以有限速度引起的相位差變化，其本質(zhì)上是地震波到達(dá)結(jié)構(gòu)每個(gè)位置處的滯后的響應(yīng)變化。局部場(chǎng)地效應(yīng)指不同土層性質(zhì)對(duì)地震波的影響，當(dāng)?shù)卣鸩ǖ某掷m(xù)時(shí)間、地震的頻譜特性以及地震的強(qiáng)度差異大時(shí)，局部場(chǎng)地影響尤為顯著。

2.1 隨機(jī)場(chǎng)的定義

隨機(jī)場(chǎng)是基于隨機(jī)過(guò)程的概念，是時(shí)間場(chǎng)域在空間場(chǎng)域上的推廣。二者的不同之處在于隨機(jī)過(guò)程是時(shí)變的隨機(jī)現(xiàn)象，其基本自變量是時(shí)間（t）。隨機(jī)場(chǎng)的基本自變量是結(jié)構(gòu)的空間坐標(biāo)位置（x）。當(dāng)H(x)表示為一個(gè)隨機(jī)變量，即隨機(jī)場(chǎng)為在場(chǎng)域參數(shù)集上的隨機(jī)變量系[16]。

2.2 隨機(jī)場(chǎng)模型

對(duì)于空間地震模型，功率譜矩陣為[17]：

式中[S(iωe)]表示功率譜矩陣；Sii(iωe)表示地震動(dòng)的功率譜密度，其描述了地震場(chǎng)中各點(diǎn)地震動(dòng)的自身頻域特性及各點(diǎn)間頻率特性的對(duì)比關(guān)系，i=1, 2, 3…n,m，m2/s3；ωe表示地震頻率，r/s。

式中Smn(iωe)表示m、n兩點(diǎn)的地震功率譜密度，m2/s3；｜ρmn｜表示部分相干效應(yīng)，｜ρmn｜≤ 1；表示行波效應(yīng)，dmn表示m、n兩點(diǎn)的距離，m；v表示視波速度，m/s。

2.3 大跨度結(jié)構(gòu)隨機(jī)場(chǎng)模型

從宏觀角度上看，隨機(jī)場(chǎng)為地震隨空間變化的過(guò)程。近年來(lái)，隨著強(qiáng)震觀測(cè)臺(tái)陣記錄的增加，研究學(xué)者提出了利用統(tǒng)計(jì)回歸來(lái)得到相干函數(shù)模型以表述地震的隨機(jī)場(chǎng)[18-19]。

在頻域下定義地震A、B兩點(diǎn)空間相干程度的函數(shù)，即地震空間上的相關(guān)性可以引入相干函數(shù)，定義如下：

式中γAB(d, ω)表示相干函數(shù)；SAB(ωe)表示A、B兩點(diǎn)互功率譜，m2/s3；SAA(ωe)、SBB(ωe)分別表示 A、B 兩點(diǎn)的自功率譜，m2/s3； θAB(ωe)表示A、B兩點(diǎn)的行波效應(yīng)的相干角，（°）。

地震的相干函數(shù)是結(jié)構(gòu)兩點(diǎn)間的互功率譜經(jīng)過(guò)自功率譜標(biāo)準(zhǔn)化得到[20]。相干函數(shù)多數(shù)是基于地震臺(tái)關(guān)于大量的地震統(tǒng)計(jì)記錄得到的，一般可分為：經(jīng)驗(yàn)相干模型、理論相干模型、半經(jīng)驗(yàn)半理論相干模型。

選用由Luco和Wong[21]提出的具有普適性也是應(yīng)用最為廣泛的半理論半經(jīng)驗(yàn)的相干模型：

式中γp(ωe, d)表示半理論半經(jīng)驗(yàn)的相干函數(shù)；α表示相干衰減參數(shù)，取值為（2～3）×10－4s；d表示任意兩點(diǎn)的距離，m。

所研究的長(zhǎng)輸管道的有阻尼自振頻率為：

式中ωξ表示管道有阻尼的自振頻率，r/s；表示單位長(zhǎng)管道質(zhì)量，kg/m；表示單位長(zhǎng)度管道周圍的剛度系數(shù)；K表示管道軸向剛度，N/m；l表示管道的長(zhǎng)度，m；ξi表示第i階振型阻尼比。

3 考慮場(chǎng)地條件的隨機(jī)時(shí)空地震載荷

由相干函數(shù)和功率譜密度函數(shù)就可以得到具有時(shí)空效應(yīng)的地震載荷。因此具有時(shí)空特性的地震載荷譜密度函數(shù)為：

式中S(t, d, ω)表示具有時(shí)空特性的地震載荷譜密度函數(shù)；κ表示局部場(chǎng)地放大系數(shù)，其取值如表4所示[22]；g(t)表示三階段非平穩(wěn)包絡(luò)函數(shù)。

表4 局部場(chǎng)地放大系數(shù)表

進(jìn)行地震載荷的非平穩(wěn)性處理得到[23]：

式中y(t)表示非平穩(wěn)處理后的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

三階段非平穩(wěn)包絡(luò)函數(shù)常用于實(shí)際工程[24]：

式中t1表示峰值上升段時(shí)間，s；t2表示峰值下降段時(shí)間，s；c表示峰值的衰減系數(shù)。

則考慮了局部場(chǎng)地效應(yīng)的任意一點(diǎn)z的加速度為：

式中az(t)表示考慮了場(chǎng)地效應(yīng)的z點(diǎn)加速度值，m/s2。

4 隨機(jī)時(shí)空地震下埋地壓力管道的響應(yīng)分析

4.1 管道在多點(diǎn)地震激勵(lì)下響應(yīng)分析

4.1.1 計(jì)算假定[25]

1）質(zhì)量集中于節(jié)點(diǎn)。

2）忽略地震轉(zhuǎn)動(dòng)分量影響。

3）絕對(duì)坐標(biāo)系相對(duì)地心靜止。

4）阻尼力與相對(duì)速度成正比。

4.1.2 運(yùn)動(dòng)方程

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程一般為：

由式（24）可以得到多點(diǎn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中[Mss]、[Css]、[Kss]分別表示結(jié)構(gòu)非支撐節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；[Mmm]、[Cmm]、[Kmm]分別表示結(jié)構(gòu)支撐節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；表示地震力作用下的向量；分別表示結(jié)構(gòu)非支撐節(jié)點(diǎn)的位移向量、速度向量、加速度向量分別表示結(jié)構(gòu)支撐節(jié)點(diǎn)的位移向量、速度向量、加速度向量；[Cms]、[Csm]和[Kms]、[Ksm]分別表示耦合的阻尼矩陣和剛度矩陣。

將式（25）進(jìn)一步化簡(jiǎn)可以得到多點(diǎn)地震激勵(lì)下的動(dòng)力平衡式：

利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值積分求解，并進(jìn)一步得到多點(diǎn)地震激勵(lì)下的管道應(yīng)力（σe），此時(shí)認(rèn)為其方向?yàn)檠毓艿垒S向[26]。

4.2 埋地壓力管道的響應(yīng)分析

對(duì)運(yùn)行埋地管道中通以內(nèi)壓時(shí)，此時(shí)管道的應(yīng)力可以用圓柱殼理論求解為[27]：

式中ε表示管道任意位置當(dāng)前壁厚，mm；D表示直徑，mm；E表示彈性模量，N/mm2；表示泊松比；p表示內(nèi)壓，MPa；w表示管壁上任意點(diǎn)的徑向位移，mm。

在輸壓的工況下，管道此時(shí)存在周向應(yīng)力（σΦ），軸向應(yīng)力（σx）和徑向應(yīng)力（σr）。當(dāng)管道作為薄壁結(jié)構(gòu)時(shí)，此時(shí)σr為0。在x=0時(shí)，σΦ最大，由上式可得[28-29]：

埋地長(zhǎng)輸管線因受土壤的阻力而不能自由伸長(zhǎng)，造成泊松應(yīng)力，如圖2所示。σx可描述為：

4.3 基于第四強(qiáng)度理論的管道失效準(zhǔn)則

第四強(qiáng)度理論，即von-Mises屈服失效準(zhǔn)則，被認(rèn)為是導(dǎo)致管材流動(dòng)失效為最大形狀變化比能的主要因素，故

圖2 壓力管道受力圖

式中σs表示第四強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值，MPa；σ1、σ2、σ3分別表示3個(gè)主應(yīng)力，MPa。

結(jié)合前面分析可以得到，地震作用下埋地壓力管道的響應(yīng)為：

5 數(shù)值模擬與分析

5.1 結(jié)構(gòu)模型與地震輸入

以某天然氣管段為研究對(duì)象，管道的參數(shù)如表5所示。設(shè)為近場(chǎng)地震，中等場(chǎng)地土，某次地震持續(xù)時(shí)間為5 s，按2/5進(jìn)行壓縮，壓縮后時(shí)間為2 s。

表5 管材X60基本參數(shù)表

強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)為：

參照本文參考文獻(xiàn)[30]地震數(shù)據(jù)，可得隨機(jī)時(shí)空變化的載荷為：

式中a(t)表示加速度，m/s2。

同理，當(dāng)考慮地震激勵(lì)為一致輸入時(shí)，根據(jù)式（20）可以得到一致激勵(lì)下地震載荷的譜密度函數(shù)：

式中S(t, ω)表示只考慮時(shí)間的功率譜密度，m2/s3。

根據(jù)式（20）、（21）、（34）可以得到一致激勵(lì)下的荷載：

5.2 基本參數(shù)

以Abaqus作為有限元計(jì)算軟件。管土相互作用采用非線性的面—面接觸來(lái)建立三維有限元模型，剛度大的管道外壁選為主表面，剛度小的土體選為從表面，法向接觸行為采用“罰”接觸，摩擦系數(shù)選用0.5。管道由實(shí)體單元模擬，埋深為3 m，管段長(zhǎng)為200 m。土體由本構(gòu)關(guān)系為Drucker-Prager（D-P）模型的實(shí)體單元模擬。材料基本參數(shù)如表6所示。

5.3 有限元模型

模型中管道遠(yuǎn)端僅約束軸向位移。土體施加載荷的兩對(duì)稱表面和上表面自由，其他面均為對(duì)稱約束。選用C3D8R，即8節(jié)點(diǎn)線性六面體減縮積分單元[31]，管線鋼材的本構(gòu)模型選用Ramberg-Osgood模型[32]。模型的網(wǎng)格劃分如圖3所示。

5.4 有限元結(jié)果對(duì)比分析

建立3種工況，即一致激勵(lì)、非一致激勵(lì)和非一致非連續(xù)激勵(lì)，一致激勵(lì)是將長(zhǎng)輸管道作為“點(diǎn)”式結(jié)構(gòu)，不考慮空間特性；非一致激勵(lì)模擬的是考慮地震載荷時(shí)空特性的長(zhǎng)輸埋地壓力管道；非一致非連續(xù)激勵(lì)模擬的是在考慮長(zhǎng)輸埋地壓力遭受地震載荷的時(shí)空特性的同時(shí)，考慮放大空間的影響。

通過(guò)對(duì)3種工況的有限元模擬，可以得到管道應(yīng)力最大值處、中部以及端部的應(yīng)力對(duì)比（圖4～6）。

表6 材料基本參數(shù)表

圖3 網(wǎng)格劃分圖

圖4 管道應(yīng)力最大點(diǎn)對(duì)比圖

圖5 管道中部應(yīng)力對(duì)比圖

圖6 管道端部應(yīng)力對(duì)比圖

可以分析得出，在分析管道的最大應(yīng)力值和中部應(yīng)力值時(shí)，非一致激勵(lì)的應(yīng)力值大于一致激勵(lì)應(yīng)力值，表明在長(zhǎng)輸管道或者大跨度結(jié)構(gòu)的抗震分析時(shí)，研究空間作用對(duì)其的影響是很重要的；而非一致非連續(xù)的應(yīng)力值大于非一致激勵(lì)，則進(jìn)一步反映出空間作用的影響。而在端部，3種工況的應(yīng)力值則相差不大，這表明若將管道作為“點(diǎn)”式建筑，則其不存在載荷的空間影響效應(yīng)。

6 結(jié)論

1）利用隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)場(chǎng)，基于功率譜進(jìn)行了普適性的隨機(jī)時(shí)空地震載荷的耦合，建立了具有時(shí)空特性的非平穩(wěn)地震載荷模型。

2）對(duì)于大跨度結(jié)構(gòu)，在地震載荷的作用下，要考慮隨機(jī)時(shí)空地震載荷4個(gè)維度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。與一致激勵(lì)相比，由于客觀上存在地震載荷隨機(jī)空間的特征性質(zhì)，會(huì)引起大跨度結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果存在較大的差別。

3）建立了隨機(jī)時(shí)空地震載荷的模型，進(jìn)一步解決了實(shí)際地震作用下的大跨度結(jié)構(gòu)響應(yīng)問(wèn)題，對(duì)建立在地震作用下以長(zhǎng)輸管道為代表的大跨度結(jié)構(gòu)的響應(yīng)設(shè)計(jì)體系研究具有重要參考價(jià)值。