孿生素數(shù)猜想的一個簡單證明

葉雉鳩

（陜西財經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院會計一系，陜西 咸陽 712000）

0 引言

縱觀孿生素數(shù)猜想的諸多論述，孿生素數(shù)展現(xiàn)的規(guī)律是一個不斷擴(kuò)展衍變的過程。這一過程很難用普通的代數(shù)式來進(jìn)行描述或者表示，所以其證明就很難用初等數(shù)論的方法來精確地完成。本文通過IF函數(shù)值的測試發(fā)現(xiàn)其衍變趨勢過程具有不減的單調(diào)性。如果這一單調(diào)性通過數(shù)學(xué)機(jī)械化能夠演算，則孿生素數(shù)猜想的研究可以推進(jìn)一步了。

定義集合和函數(shù)：

IF函數(shù)是指Excel中的一個邏輯函數(shù)。IF函數(shù)表達(dá)的意思是當(dāng)滿足某條件時，返回一個值，否則返回另一個值。

1 孿生素數(shù)猜想的充分條件

孿生素數(shù)猜想成立的充分條件：對于任意大于10 的正整數(shù)a（a≥11，a∈N），若同余式方程組（1）恒無正整數(shù)解，則孿生素數(shù)猜想成立[1]。

注意：由于要證明孿生素數(shù)存在無窮多組，只要在pb所約的最大數(shù)域空間存在孿生素數(shù)即可，所以（1-1）中方程式的個數(shù)要取最大值，即。a表示式分子上的pb+1是比pb大的下一個素數(shù)。

2 （1）中無解方程式個數(shù)的統(tǒng)計函數(shù)

如何來統(tǒng)計（1）中無解方程式個數(shù)？這要分兩個步驟：首先要設(shè)法判定特定方程式無解，其次對所有無解方程式進(jìn)行數(shù)量統(tǒng)計。

如何判定特定方程式無解？比如（1）中的第一個方程(2×4)2-1≡0（modp01）是否無解，可以應(yīng)用Excel的IF函數(shù)來進(jìn)行判斷。

如何對（1）中所有無解方程式進(jìn)行數(shù)量統(tǒng)計？那就是要對（1）中每個方程式的IF函數(shù)的值進(jìn)行相加。這時，可以得到一個數(shù)論函數(shù)（2）。

（2）中u,v均為奇素數(shù)，

以pb＝3為例，

以pb＝5為例，

3 IF函數(shù)的值

IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)函數(shù)是今天人們尚不熟悉的函數(shù)。幸運(yùn)的是，這個IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)函數(shù)可以通過手工計算其大小，只是費(fèi)時一些，所以針對IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)進(jìn)行機(jī)械計算是可行的。作者是用Excel表來進(jìn)行計算。借助Excel表格計算得出IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)的值如表1所示。

表1 IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)函數(shù)值表

表1中IF函數(shù)值的發(fā)展趨勢如圖1所示。

圖1 測試（1）中無解方程式個數(shù)的值

從表1中IF函數(shù)值的發(fā)展趨勢來看，IF(3,5,7,…,pb|(2a)2-1)的值具有“不下降”的趨勢。

4 IF函數(shù)非0性的證明

用Excel表格容易測算得出

根據(jù)能否整除的特性可知：

為了直觀的表現(xiàn)這一非零性的證明技巧，幫助人們準(zhǔn)確把握這一數(shù)論函數(shù)，我們隨便選擇一個pb，比如pb=29，展示如下：

當(dāng)pb=29時，所對應(yīng)的IF函數(shù)賦值如（11）所示。

5 IF函數(shù)的一個逼近估計的下限

5.1 IF函數(shù)Excel計算表的分析

用來計算IF函數(shù)的Excel表格具有以下三大特點(diǎn)：

3、對“方程式左邊的值”取模3到模pb的同余區(qū)域的各列縱向進(jìn)行分析觀察，會發(fā)現(xiàn)各列的同余數(shù)遵循嚴(yán)格的周期性，周期長度為各列所對應(yīng)的模，而且各列余數(shù)縱向非0的概率是。

5.2 IF函數(shù)的逼近式

依據(jù)容斥原理[2]對IF函數(shù)進(jìn)行逼近估計得（15）的逼近式

5.3 IF函數(shù)逼近式的下限

下面對（15）逼近式的下限進(jìn)行推導(dǎo)

（15）的逼近值、（17）的下限值和IF函數(shù)值的發(fā)展趨勢如圖2所示。

圖2 逼近值、下限值和IF函數(shù)值

例如：當(dāng)pb=29時，所對應(yīng)的IF函數(shù)的逼近估計由（15）得（18）

（18）的30.80與（14）的30誤差僅為0.80。這個0.80的誤差一旦取整就是0，可見（15）的逼近估計的精確度還是很高的。

6 結(jié)論

如果各位認(rèn)可（9）或者（17）二者之一，“孿生素數(shù)猜想已經(jīng)成功證明了！”

如果各位質(zhì)疑（9）和（17），那么請用Excel表來繼續(xù)測算表1數(shù)據(jù)。盡管Excel計算工作量非常巨大，但是采用數(shù)學(xué)機(jī)械化方法就簡便得多?！八纳ɡ怼睌?shù)學(xué)機(jī)械化方法為我們開辟了道路。1976年6月，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾(Kenneth Appel)與哈肯(Wolfgang Haken)在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機(jī)上，用了1 200 h，作了100億個判斷，結(jié)果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。

附表1：IF(3,5,7,11|(2×83）2-1)的計算表

中國數(shù)學(xué)機(jī)械化方法[3]的代表人物有吳文俊、張景中、楊路、侯曉榮、王浩等人。一旦執(zhí)行機(jī)械證明，經(jīng)過上億次的驗算，進(jìn)一步確認(rèn)了IF(3,5,7,11,…|(2a)2-1)的值確實(shí)具有“不下降”趨勢，那么猜想成立就鐵定了。因為IF(3,5,7,…|(2a)2-1)≠0或者≥2就是指方程組（1）當(dāng)中至少存在一個或者兩個方程式無正整數(shù)解。至少存在一個或者兩個方程式無正整數(shù)解——就意味著，對于特定的pb，（1）的左端至少存在一對或者兩對孿生素數(shù)。

希望中國數(shù)學(xué)界同仁能夠增強(qiáng)中華民族的文化自信，討論2014年發(fā)表于《西昌學(xué)院學(xué)報》第4期上的證明[4]和上述證明。

注釋：

① 該公式在Excel表格中應(yīng)用時，要添上乘號*，調(diào)整為Excel識別的函數(shù)，以下同。

② 大家知道，由f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)所決定的函數(shù)f(x)=kx是奇函數(shù)，而且是一元線性函數(shù)。公式（9）所展示的IF函數(shù)(IF(3,5,7…pb|(2a+1)2-2(2a+1)))本身是偶函數(shù)，而且是非線性函數(shù)，故有（9）的不等式成立。

③ 請研究IF(3，5，7…pb|(2a)2-1)函數(shù)的計算表 (附表1：IF(3，5，7，11|(2×83)2-1)的計算表)，依據(jù)容斥原理，基于區(qū)間的連續(xù)性和以pb為模的同余的周期性，即可得出（15）。但是要注意，（15）忽略了容斥原理下的“層層取整”，同時（15）是基于完全剩余系和均勻分布這兩個基本假設(shè)所得出的，所以只能稱之為逼近估計。該逼近估計可以表明IF函數(shù)是遞增的。

④ 查看表1，當(dāng)pb=3時，IF函數(shù)值等于2——這好像與（17）相矛盾。其實(shí)不矛盾，原因是（17）所估計的區(qū)間是＝[2，11]＝[3，11]，而表1所對應(yīng)的（1）所估計的區(qū)間是[4，11]。