一類非線性單邊值問題解的存在及一致衰減性

鐘 越，袁 倩

(成都文理學院，四川 成都 610101)

0 前言

本文討論如下一類帶非線性阻尼邊界條件的波動系統(tǒng)

具有非線性邊界條件的波動系統(tǒng)描述了彈性弦線的小振幅振動[2].近年來，帶阻尼邊界條件的基爾霍夫型波動系統(tǒng)解的存在及衰減出現(xiàn)在很多文獻中.Jiang[4]和Georgiev[12]運用Faedo-Galerkin近似和擾動能量方法研究了兩類系統(tǒng)的穩(wěn)定性；Cavalcantietal等[7，9]則對帶有記憶邊界條件的基爾霍夫波動系統(tǒng)進行了討論.Bae等[10]引入能量方程，研究了如下一類波動系統(tǒng)

其中‖?u‖2=文獻[10]利用Faedo-Galerkin近似方法得到了系統(tǒng)(2)解的存在性，同時運用擾動能量方法證明了(2)中解的一致衰減性.Yamada[1]研究了(2)中當?Ω=Γ0，φ=1時的情形.另外，Matsuyama[3]運用相同方法討論了當ε充分小時，如下初邊值問題解的漸近性質(zhì)

其中δ＞0，0＜ε≤1.此外，其他文獻[5，6，8，11-16]研究了非線性邊界條件下不同類型波動系統(tǒng)解的漸近性態(tài).當α=γ時，系統(tǒng)(1)改寫為

在初邊值滿足一定條件時，本文討論波動系統(tǒng)(4)解的漸近性態(tài).本文借鑒文獻[3]和[10]的研究方法，在系統(tǒng)(4)解的存在唯一性及一致衰減性證明中使用了Faedo-Galerkin近似方法和擾動能量方法.

1 預備知識

定義[10]

當α=γ時，定義系統(tǒng)(4)的能量方程為

假設(shè)如下條件成立

(A1)設(shè)u0，u1∈V∩H2(Ω)滿足

其中m0，m1，m2＞0.

本文的主要結(jié)果如下

定理1.1若(A1)，(A2)成立，則當α≥γ＞0且

其中u′=ut，u″=utt.

定理1.2若(A1)，(A2)成立，且

2 定理1.1的證明

取任意小的μ＞0，由假設(shè)條件(A2)，對任意不依賴于t的正數(shù)C0成立(1-μ)g(t)-μ‖g(t)‖L1(0，∞)＜C0g(t)

在(0，t)上對(9)積分，由Gronwall引理可得如下估計

其中M2＞0與m和ε無關(guān).

運用Pirard疊代，在初邊值條件下，系統(tǒng)(5)僅有唯一解存在于[0，Tm)中.由先驗估計(10)及(13)可知系統(tǒng)(5)在[0，Tm)中的唯一解可擴展到[0，∞)上，定理得證.

3 定理1.2的證明

4 結(jié)論

本文討論了一類帶非線性阻尼邊界條件的基爾霍夫型波動系統(tǒng)解的穩(wěn)定性，給出了能量的衰減狀態(tài).在前人研究的基礎(chǔ)上，本文將系統(tǒng)(4)中阻尼衰減項ut(x，t)的衰減系數(shù)由常數(shù)擴展為隨時間和位移變化而變化的函數(shù)ρ2(x，t)形式.在函數(shù)阻尼系數(shù)條件下，系統(tǒng)能量的衰減不僅和時間有關(guān)，也會受到位移影響，但基本衰減方式仍然以指數(shù)形式衰減.這亦是本文工作與其他工作的不同之處.當然，也可將這種擴展運用于強迫阻尼系統(tǒng)中，如非齊次波動系統(tǒng).