三個需要破解初中生對負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的困惑

劉清清 李祖友 田卉 盛家喜

【摘 要】 針對《正數(shù)和負(fù)數(shù)》的教學(xué)案例進(jìn)行調(diào)查分析，并以此提出問題.在課前調(diào)研學(xué)生對負(fù)數(shù)認(rèn)識，重視學(xué)生已有的認(rèn)知，在此基礎(chǔ)上生長和延伸新知，從表達(dá)實際問題的需要、數(shù)學(xué)運算的需要、繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要三個角度理解“為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”.經(jīng)過前后調(diào)研分析，說明學(xué)生對負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)不再困惑.

【關(guān)鍵詞】 ?課前調(diào)研;學(xué)生的認(rèn)知;負(fù)數(shù)學(xué)習(xí);調(diào)研對比

1 ?問題背景

在現(xiàn)行的九年義務(wù)教育第二階段（下稱小學(xué)），學(xué)生已經(jīng)學(xué)了負(fù)數(shù)，到了第三階段（下稱初中），繼續(xù)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù).滬科版七年級上冊第一課即是《正數(shù)和負(fù)數(shù)》.截止到2019年8月21日，在中國知網(wǎng)“文獻(xiàn)全部分類”下“主題”中搜索“正數(shù)和負(fù)數(shù)”，共出現(xiàn)47篇文章，其中關(guān)于“正數(shù)和負(fù)數(shù)”教學(xué)方面的文章共有30篇，小學(xué)類有18篇，初中類有12篇.翻閱這30篇的文章，可以發(fā)現(xiàn)，對于《正數(shù)和負(fù)數(shù)》的教學(xué)基本遵循同一個教學(xué)流程，即：教師展示溫度計、海拔高度、收支情況等→形成概念→理解負(fù)數(shù)→例題→學(xué)生練習(xí).筆者反思：既然學(xué)生已經(jīng)步入初中，若初中的課堂只是小學(xué)課堂的復(fù)述，意義何在？初中生在小學(xué)階段對負(fù)數(shù)了解的深度和廣度，需要在新課之前進(jìn)行調(diào)研.故此，在《正數(shù)和負(fù)數(shù)》起始，筆者進(jìn)行了一次簡易的調(diào)查.

2 ?問題提出

筆者所授課的班級人數(shù)共42人，入班測評平均成績81分（滿分100分），在講授《正數(shù)和負(fù)數(shù)》之前展示表1調(diào)研內(nèi)容，當(dāng)場收集數(shù)據(jù).由表1，對于負(fù)數(shù)，學(xué)生的認(rèn)知并不是一張白紙，90.4%的學(xué)生對負(fù)數(shù)已經(jīng)熟知，只有9.6%的學(xué)生對負(fù)數(shù)感到陌生.83.3%的學(xué)生不知道“為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”，由此可見，學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)最大的障礙是對負(fù)數(shù)的理解以及學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的需求.從表1中可以看到，“0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)”已然不是學(xué)生的難點，難點在對0所蘊(yùn)含“基準(zhǔn)”的認(rèn)識.依據(jù)調(diào)研，若忽視學(xué)生的學(xué)情，忽視中小學(xué)銜接，那么本節(jié)課的學(xué)習(xí)只會淪為小學(xué)課堂的“復(fù)制品”，學(xué)生對負(fù)數(shù)的認(rèn)識水平依然停留在小學(xué)階段，仍然解決不了學(xué)生心中困惑：為什么要學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)？小學(xué)和初中階段對負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)到底區(qū)別在哪？

3 ?問題解決的依據(jù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[1]（以下簡稱《課標(biāo)》）對小學(xué)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)提出以下的要求：在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量.由此可見，小學(xué)已經(jīng)了解了負(fù)數(shù)，并根據(jù)情境能夠正確書寫負(fù)數(shù).課標(biāo)對初中學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)沒有具體的羅列出來，但是負(fù)數(shù)歸屬于有理數(shù)，課標(biāo)對有理數(shù)的要求是：理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能夠比較有理數(shù)的大小.由此對比，初中學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)不同于小學(xué)，兩者的教學(xué)重點不同.小學(xué)的教學(xué)的重點在于會讀、會寫.初中的教學(xué)重點是理解、會表示，體現(xiàn)知識的螺旋式上升.

《課標(biāo)》還指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.《正數(shù)和負(fù)數(shù)》是章前第一課，起著引領(lǐng)全章學(xué)習(xí)，架構(gòu)本章知識脈絡(luò).《章起始課的教學(xué)實踐與思考》[2]文中提到，章建躍博士曾指出：章起始課要解決好兩個問題，一是獲得研究對象，二是構(gòu)建研究思路.開展章起始課的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生探索章節(jié)的知識框架，幫助學(xué)生了解全章知識概貌和涉及的數(shù)學(xué)思想方法，這對于學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的提高、學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、探究精神的養(yǎng)成都有很高的價值.故此，在學(xué)習(xí)《正數(shù)和負(fù)數(shù)》時，不僅讓學(xué)生認(rèn)識和理解負(fù)數(shù)，也要讓學(xué)生對本章內(nèi)容的編排做出全面的了解，這也是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的需要.在完成教學(xué)目標(biāo)的同時，讓學(xué)生明白“為什么要學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”以及本節(jié)知識在本章知識體系中的作用，讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)的整體性和系統(tǒng)性.

4 ?問題解決的一種嘗試

以調(diào)查為依托，用《課標(biāo)》作指導(dǎo)，筆者在負(fù)數(shù)教學(xué)中進(jìn)行如下的問題解決的嘗試.

教師：同學(xué)們，你們已經(jīng)認(rèn)識了負(fù)數(shù)，誰說一個負(fù)數(shù)？

學(xué)生1：-1.

教師：你能賦予-1一些生活意義嗎？

學(xué)生1：零下1℃.

教師：那相對應(yīng)的2，表示什么呢？

學(xué)生1：零上2℃.

教師：還有嗎？

學(xué)生2：海平面以上2米，海平面以下1米.

學(xué)生3：地上2樓，地下1樓.

教師：這些生活場景中，會出現(xiàn)負(fù)數(shù)的身影.請同學(xué)們看黑板，我們?nèi)Τ觥傲闵?、零下”“海平面以上、以下”“地上、地下”，這些的語句表達(dá)的意義是怎樣的？

學(xué)生4：都是相反的.

教師：是的.這些表示相反意義的量，通常用負(fù)數(shù)表示.所以表達(dá)實際問題的需要是學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的原因之一.負(fù)數(shù)是否只因生活中的需要才產(chǎn)生的呢？請看黑板上展示的幾個題目，你會解答嗎？①4x-4=20;②4x+4=20;③4x+20=4.

學(xué)生書寫，教師巡視，待學(xué)生完成，展示學(xué)生的結(jié)果，并板書完成表2.

教師：我們知道，正數(shù)加正數(shù)的和仍然是個正數(shù)，這個結(jié)果是確定的，是我們熟知的數(shù)，這說明加法運算總是可以進(jìn)行的.但是，正數(shù)減去正數(shù)結(jié)果卻是不確定的，得到的差可能是正數(shù)，可能會出現(xiàn)4-20=？的情形，是不夠減的，因此，減法運算在正數(shù)范圍內(nèi)是不一定總是可以運算的，或者說我們之前學(xué)習(xí)的正數(shù)和0的范圍已經(jīng)不能滿足運算的需要，因此，需要對數(shù)進(jìn)行擴(kuò)大，進(jìn)而引入了負(fù)數(shù).所以學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)也是數(shù)學(xué)運算的需要.

設(shè)計意圖 ?筆者課前調(diào)研了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，肯定了學(xué)生的認(rèn)知，并充分發(fā)揮學(xué)生對負(fù)數(shù)的認(rèn)知，以“-1”為引入，通過讓學(xué)生自己“賦予-1一些生活意義”及時總結(jié)，這正是“為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”的原因之一.這與教師主動展示溫度計、海平面、收支情況讓學(xué)生認(rèn)識不同.兩種教學(xué)方式從識記的角度來看，“賦予-1一些生活意義”是記憶的再現(xiàn)，而展示生活場景讓學(xué)生指認(rèn)是記憶的再認(rèn)，兩者所需要的思維量顯然不同，前者更能調(diào)動學(xué)生的思維，讓學(xué)生的思維處于積極主動的狀態(tài).而再認(rèn)的過程是小學(xué)階段應(yīng)該完成的.若是漠視這些，《正數(shù)和負(fù)數(shù)》只是小學(xué)課堂的重述，那么本節(jié)課的講解味同嚼蠟，舊調(diào)重彈，不能體現(xiàn)初中階段對負(fù)數(shù)理解的深度.再者，本節(jié)內(nèi)容作為起始課有著承前啟后的作用，前承小學(xué)負(fù)數(shù)后啟初中有理數(shù)，合理利用知識的銜接性，讓負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)順其自然，消除學(xué)生對初中學(xué)習(xí)的陌生感，增加學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)自信心，從心理上樹立初中學(xué)習(xí)就是小學(xué)的延伸和深入的觀念.選擇方程4x+20=4是有歷史原因的，請參閱張俊忠《初中數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法的探索與實踐——以人教版“正數(shù)和負(fù)數(shù)”為例》[3].方程4x+20=4的引入，形成學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的興趣.說明負(fù)數(shù)不僅僅是因為生活的需要，而且在數(shù)學(xué)探究上也有學(xué)習(xí)的必要，是因為兩者同時兼具，進(jìn)而對數(shù)域擴(kuò)大，也從不同層面理解“為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”，這正契合《課標(biāo)》的要求.

教師：縱觀本章內(nèi)容：1.1正數(shù)和負(fù)數(shù);1.2數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值;1.3有理數(shù)的大小;1.4有理數(shù)的加減;1.5有理數(shù)的乘除;1.6有理數(shù)的乘方;1.7近似數(shù).本章共7小節(jié)內(nèi)容，全是圍繞有理數(shù)進(jìn)行.所以只有接受和理解負(fù)數(shù)才能學(xué)習(xí)好這些內(nèi)容，這是繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要.

設(shè)計意圖 ?通過本章的知識體系的整體介紹拉近了學(xué)生與本章的距離，增強(qiáng)了章節(jié)起始課學(xué)習(xí)重要性的認(rèn)識.同時總結(jié)了學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的三個需要：表達(dá)實際問題的需要;數(shù)學(xué)運算的需要;繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要.由以上三個原因?qū)W生對為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)不再迷茫.

5 ?問題解決的反饋

經(jīng)過前面的嘗試，學(xué)生對“為什么學(xué)習(xí)”的困惑是否有所改善呢？在完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)之后，筆者對42名學(xué)生進(jìn)行后測調(diào)研，調(diào)研的題目是表1的部分內(nèi)容，統(tǒng)計結(jié)果見表3.

表3中，88.1%的學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)是因為“數(shù)學(xué)運算的需要”，這是由于求解方程4x+20=4的過程中，4-20=？給學(xué)生造成強(qiáng)烈的沖擊，留下深刻的印象，有83.3%的學(xué)生對“為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”歸于“繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要”，說明表2起著重要的作用，學(xué)生已經(jīng)體會學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)對本章的影響，也從側(cè)面反映了學(xué)生對負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)主動與本章進(jìn)行關(guān)聯(lián)，初步體驗整體思想.在42人中有34人（81%）的學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)是因為“表達(dá)實際問題的需要”，均低于其他需求，可能與本節(jié)課的教學(xué)重點傾向有關(guān).經(jīng)過前測調(diào)研表1與后測調(diào)研表3對比，三個需要破解初中生對負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的困惑.

6 ?教學(xué)反思

首先，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)的知識是基礎(chǔ)，是初中學(xué)習(xí)的基石，小學(xué)教育與初中教育具有基礎(chǔ)性和聯(lián)系性.從表1中可以清晰地看出，90.4%的學(xué)生已經(jīng)熟知負(fù)數(shù)，并且已經(jīng)知道負(fù)數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用.從學(xué)生賦予-1的生活意義中可以窺探到，學(xué)生在小學(xué)是通過溫度計、海拔高度、電梯等認(rèn)識負(fù)數(shù)的.所以在教師在教學(xué)中應(yīng)該重視學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，不能無視學(xué)生的認(rèn)知，若不然，初中課堂就會變成小學(xué)課堂的“復(fù)述”，這是不可取的.其次，章起始課不能停留在僅僅概念的理解上，還要特別關(guān)注知識的生長點，關(guān)注知識的延伸點.本節(jié)課《正數(shù)和負(fù)數(shù)》的生長點在“賦予-1一些生活意義”，延伸點在表2，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的整體把握和宏觀認(rèn)識，把局部的數(shù)學(xué)知識置于整體知識的體系中，慢慢培養(yǎng)學(xué)生的整體性思維.最后，初中生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的難點是對負(fù)數(shù)的理解，因此要深層次、多角度的理解負(fù)數(shù)，從表達(dá)實際問題的需要、數(shù)學(xué)運算的需要、繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要三個方面破解初中生“為什么學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)”的困局.

參考文獻(xiàn)

[1] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：45-45.

[2] 李鵬燕.章起始課的教學(xué)實踐與思考[J].中國數(shù)學(xué)教育，2018（12）：11-14.

[3] 張俊忠.初中數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法的探索與實踐——以人教版“正數(shù)和負(fù)數(shù)”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（8）：22-25.