淺析“天體運(yùn)動(dòng)”考題的破題技巧

林穎亮 莊慶華

摘 要：“天體運(yùn)動(dòng)”是高考?？嫉膬?nèi)容，但學(xué)生做題效果并不理想，個(gè)別甚至無(wú)從下手破題，為了深刻理解萬(wàn)有引力定律的本質(zhì)，并且靈活應(yīng)用定律解決天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。高考復(fù)習(xí)上，應(yīng)深化學(xué)生的認(rèn)知，遵循學(xué)生的認(rèn)知，連貫性、條理性的幫助學(xué)生抓住主要特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：天體運(yùn)動(dòng);破題;開(kāi)普勒定律;萬(wàn)有引力定律;向心力;圓周運(yùn)動(dòng);重力

一、 正確認(rèn)知“開(kāi)普勒三大定律”

開(kāi)普勒三大定律，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到——正視天體本來(lái)的運(yùn)動(dòng)是橢圓軌跡的，但是這橢圓比較接近正圓;而且由于開(kāi)普勒第二定律（面積定律），中學(xué)階段為了簡(jiǎn)化天體的實(shí)際復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生更好地理解天體運(yùn)動(dòng)，對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看成圓形，太陽(yáng)放置于圓心位置。模型簡(jiǎn)化后，原本某行星有差別的線速度和角速度都大小不變，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那么，開(kāi)普勒第三定律就可以表述為“行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)半徑的立方與自身公轉(zhuǎn)周期的平方成正比”，不同行星繞同一個(gè)中心天體（太陽(yáng)），則該比值相等。

【例題1】 （2018安徽一模）已知地球和火星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為

R1和R2（公轉(zhuǎn)軌跡近似為圓），若把行星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積與其所用時(shí)間的比值定義為掃過(guò)的面積速率，則地球和火星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積速率之比是（ ）

A. R1R2

B. R1R2

C. R2R1

D. R2R1

解析：由題干“公轉(zhuǎn)軌跡近似為圓”，可知地球和火星的運(yùn)動(dòng)可以看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)椤暗厍蚝突鹦抢@太陽(yáng)公轉(zhuǎn)”，可知地球和火星是繞同一個(gè)中心天體太陽(yáng)做運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律R31T21=R32T22知，運(yùn)動(dòng)的周期之比T1T2=R31R32，在一個(gè)周期內(nèi)掃過(guò)的面積之比為S1S2=πR21πR22=R21R22，因?yàn)閽哌^(guò)的面積速率為ST，因此掃過(guò)的面積速率之比為R1R2，故B項(xiàng)正確，A、C、D均錯(cuò)誤。

二、 正確理解“萬(wàn)有引力定律”

（一） 萬(wàn)有引力定律的大小與兩物體球心距的平方成反比

課本或教輔經(jīng)常寫(xiě)成F=Gm1m2r2，為了讓學(xué)生正確而深刻理解這個(gè)定律，應(yīng)在課上適度調(diào)整下公式F=Gm1m2L2，L為兩個(gè)質(zhì)量物體的球心距（或球心與質(zhì)點(diǎn)距離、兩質(zhì)點(diǎn)間距離）。

【例題2】 （多選）（2018全國(guó)Ⅰ）人類第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星（ ）

A. 質(zhì)量之積

B. 質(zhì)量之和

C. 速率之和

D. 各自的自轉(zhuǎn)角速度

答案：BC

思維引導(dǎo)：設(shè)兩顆中子星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1、R2。由題干可知雙中子星存在引力，所以要寫(xiě)正確的萬(wàn)有引力Gm1m2L2才有辦法繼續(xù)做下去，如果寫(xiě)成Gm1m2R21或Gm1m2R22，則題目肯定做錯(cuò)。

注意：當(dāng)中心天體不動(dòng)時(shí)，兩物體間的距離與做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的軌道半徑r數(shù)值上相等。

（二） 明確“天體運(yùn)動(dòng)”的破題核心

1. 萬(wàn)有引力提供向心力

當(dāng)能從題目中判定出運(yùn)動(dòng)天體或衛(wèi)星不與中心天體接觸、且做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以用“萬(wàn)有引力提供向心力”解題。

在上面【例題2】中，由題干中找到“每秒轉(zhuǎn)動(dòng)”可知做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有Gm1m2L2=

m12πT2R1、Gm1m2L2=m22πT2R2，聯(lián)立各式解得m1=4π2R2L2GT2，

m2=4π2R1L2GT2，可得m1+m2=4π2L3GT2，但由于R1、R2未知，無(wú)法求出質(zhì)量之積，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確。C、D選項(xiàng)略。

2. 萬(wàn)有引力提供重力

①當(dāng)能從題目中判定中心天體不自轉(zhuǎn)或者自轉(zhuǎn)很慢時(shí)，就可以用“萬(wàn)有引力提供重力”解題;②當(dāng)能明確了中心天體的半徑R，重力加速度g時(shí)，也可以用“萬(wàn)有引力提供重力”解題。

【例題3】 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的（忽略其自轉(zhuǎn)影響）（ ）

A. 14

B. 4倍

C. 16倍

D. 64倍

本道題字?jǐn)?shù)少，但是信息多。學(xué)生不知如何入手。正確思維應(yīng)是分別設(shè)地球與該星球相應(yīng)的物理量如M1、ρ、g1、R1以及M2、ρ、g2、R2等物理量，從題干中的“忽略其自轉(zhuǎn)影響”可知萬(wàn)有引力提供重力GMmR2=mg，則天體表面的重力加速度g=GMR2，又知ρ=MV=3M4πR3，所以

M=9g316π2ρ2G3。

答案：D

3. 萬(wàn)有引力同時(shí)提供向心力與重力

當(dāng)能從題目中判定中心天體自轉(zhuǎn)不可忽略，且物體在中心天體表面的非南北兩極點(diǎn)時(shí)，物體的重力由萬(wàn)有引力提供，同時(shí)該物體隨中心天體的自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以，萬(wàn)有引力同時(shí)提供向心力與重力。

【例題4】 （2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ）假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。地球的密度為（ ）

A. 3π（g0-g）GT2g0

B. 3πg(shù)0GT2（g0-g）

C. 3πGT2

D. 3πg(shù)0GT2g

解析：物體在地球的兩極時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，GMmR2=mg0，物體在赤道上時(shí)，在赤道上由于物體隨地球一起自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力提供重力與向心力，GMmR2=m2πT2R+mg，以上兩式聯(lián)立解得地球的密度ρ=3πg(shù)0GT2（g0-g）。故選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。

天體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)內(nèi)容都較為抽象、涉及的知識(shí)面較為廣泛、習(xí)題類型多樣，學(xué)生因沒(méi)有牢固的知識(shí)基礎(chǔ)、正確的分析方法，在做天體運(yùn)動(dòng)習(xí)題時(shí)，茫然、懼怕、抵觸;然而，只要幫助學(xué)生找到題目具體的切入點(diǎn)，掌握了經(jīng)典題型的破題技巧，難題迎刃而解。

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作者簡(jiǎn)介：林穎亮，莊慶華，福建省廈門(mén)市，廈門(mén)市杏南中學(xué)。