兩類平面并聯(lián)機構(gòu)凱恩動力學(xué)建模與比較研究

宋軼民，金雪瑩，梁?棟，孫?濤

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兩類平面并聯(lián)機構(gòu)凱恩動力學(xué)建模與比較研究

宋軼民1，金雪瑩1，梁?棟2，孫?濤1

(1. 天津大學(xué)機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300354；2. 天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300387)

研究了冗余驅(qū)動平面4-RR并聯(lián)機構(gòu)與非冗余驅(qū)動平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)的剛體動力學(xué)建模及其性能比較.首先，從運動學(xué)角度出發(fā)，推導(dǎo)了兩種機構(gòu)的運動學(xué)逆解模型. 其次，基于Kane方程和多體理論，提出了一種模塊化建模方法. 該方法簡捷、高效，可有效簡化動力學(xué)建模過程，并可獲得結(jié)構(gòu)緊湊的系統(tǒng)動力學(xué)模型，對于控制策略的構(gòu)建極為便利. 最后，在MATLAB編程環(huán)境下，分別從運動學(xué)與動力學(xué)性能指標、逆剛體動力學(xué)仿真等方面對兩種機構(gòu)進行了比較分析，驗證了冗余驅(qū)動在規(guī)避奇異、提升系統(tǒng)動態(tài)性能等方面的有效性，為后續(xù)基于模型的控制策略設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ).

并聯(lián)機構(gòu)；Kane方程；冗余驅(qū)動；動力學(xué)

近年來，少自由度并聯(lián)機構(gòu)已在許多領(lǐng)域得到較為廣泛的應(yīng)用，原因是其具有剛度高、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強、動態(tài)性能好、控制便捷等優(yōu)點[1]．但是，并聯(lián)機構(gòu)較小的工作空間和工作空間內(nèi)較多的奇異點是制約其性能的關(guān)鍵因素[2-3]．因此，如何有效規(guī)避工作空間內(nèi)的奇異點，擴大無奇異工作空間，使其運動性能得以充分發(fā)揮，值得去做一些深入研究．

動力學(xué)模型是動態(tài)特性分析和控制的基礎(chǔ)．常用的動力學(xué)建模方法包括牛頓-歐拉(Newton-Euler)?法[4]、拉格朗日(Lagrange)法[5]、凱恩(Kane)法[6-7]、虛功原理法[8]等．這幾種方法建立的動力學(xué)模型表達形式各不相同，但在本質(zhì)上并無差別．Newton-Euler法物理意義明確，但因涉及鉸鏈內(nèi)力計算，導(dǎo)出的計算格式不宜作為控制的模型．Lagrange法在串聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)建模中應(yīng)用較廣，其特點是無需計算系統(tǒng)鉸鏈內(nèi)力(力矩)，可得到形式較為簡捷的動力學(xué)方程．但是，Lagrange法是基于分析力學(xué)，需做較多偏導(dǎo)運算，一定程度上會增大建模工作量．Kane法兼具矢量力學(xué)與分析力學(xué)的特點，其將廣義速率定義為運動學(xué)變量，采用偏速度與偏角速度建立系統(tǒng)的自由度空間(可運動方向的空間)，將力投影在偏速度與偏角速度的空間上，不會出現(xiàn)理想的約束反力，有利于計算機的輔助運算．Bhattacharya等[9]基于Lagrange方程分別建立并聯(lián)機構(gòu)各支鏈與動平臺的動力學(xué)模型，而后將其組合，并借助運動學(xué)映射關(guān)系進行坐標變換，得到了系統(tǒng)的動力學(xué)模型．Zubizarreta等[10]利用上述方法對傳感器冗余的平面并聯(lián)機構(gòu)進行了動力學(xué)建模．Cheng等[6]應(yīng)用Kane方程建立了3SPS＋1PS并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型并進行了仿真分析. Kane方法在建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型時，具有簡捷、高效的優(yōu)點且有利于基于模型的控制策略的構(gòu)建．然而，目前有關(guān)該方法在冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模中的應(yīng)用則少有報道．

平面并聯(lián)機構(gòu)雖然結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉，但應(yīng)用廣泛，其中平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)[11]是最具代表性的構(gòu)型之一，其可應(yīng)用于電子封裝、精密定位等[12]先進制造領(lǐng)域．而在此基礎(chǔ)上衍生出的平面4-RR并聯(lián)機構(gòu)[13]由于增加了一條對稱冗余驅(qū)動支鏈，其可有效克服傳統(tǒng)平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)的第二類奇異，改善運動性能，因此日益受到重視．本文擬研究上述兩類機構(gòu)的高效動力學(xué)建模問題及其動態(tài)性能比較．首先，建立兩類機構(gòu)的運動學(xué)逆解模型；其次，基于Kane方程和多體理論，提出一種模塊化建模方法，并據(jù)此建立上述兩類機構(gòu)的剛體動力學(xué)模型；最后，對上述機構(gòu)進行運動學(xué)與剛體動力學(xué)性能的分析與對比，并借助多體軟件驗證所提方法和結(jié)論的正?確性．

1?運動學(xué)分析

1.1?位置逆解分析

圖1?兩類平面并聯(lián)機構(gòu)示意

???(1)

???(2)

根據(jù)機構(gòu)的幾何約束關(guān)系可得

???(3)

(4)

其中

式中和分別為冗余驅(qū)動平面4-RR并聯(lián)機構(gòu)動、靜平臺中心點到其鉸鏈中心點的距離．

與冗余驅(qū)動平面4-RR并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)逆解推導(dǎo)過程相仿，非冗余驅(qū)動平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解可表示為

?(5)

1.2?速度逆解分析

對式(2)關(guān)于時間求1階導(dǎo)數(shù)，整理后可得

???(6)

對式(3)關(guān)于時間求1階導(dǎo)數(shù)，經(jīng)整理，可得

???(7)

???(8)

履行相仿手續(xù)，可求得非冗余驅(qū)動平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣為

???(9)

篇幅所限，、中各元素具體表達式不再列出．

2?動力學(xué)建模

2.1?Kane方程

Kane方程被描述為對應(yīng)于每一個廣義速率的廣義主動力與廣義慣性力之和為零，即有

(10)

2.2?系統(tǒng)動力學(xué)方程

動力學(xué)模型對于并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)性能分析和控制器設(shè)計具有重要意義．為提高效率，提出一種模塊化建模方法，將機構(gòu)虛擬切割為支鏈子模塊和動平臺子模塊，選取主動關(guān)節(jié)輸入向量、被動關(guān)節(jié)向量和末端執(zhí)行器參考點輸出向量為系統(tǒng)廣義坐標，進而基于Kane方程，建立各子模塊的動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，借助增廣拉格朗日乘子法[14]，構(gòu)建系統(tǒng)的完備動力學(xué)模型．建模流程如圖2所示．針對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，應(yīng)用該方法建立的系統(tǒng)動力學(xué)模型中含有被動關(guān)節(jié)的冗余信息，同時結(jié)合冗余驅(qū)動，可有效避免因坐標奇異帶來的動力學(xué)模型失效問題．

圖2?動力學(xué)建模流程

以冗余驅(qū)動平面4-RR機構(gòu)為例，闡述建模過程．首先在支鏈末端關(guān)節(jié)位置處進行虛切，獲得開鏈系統(tǒng)，如圖3所示．對于支鏈建模，不失一般性，以任意支鏈為例進行分析．

圖3?機構(gòu)任意分支示意

依據(jù)上述建模思想，定義系統(tǒng)廣義坐標向量為

令慣性坐標系下、、軸的單位方向向量分別為、、，則支鏈中兩桿件的角速度為

支鏈中桿件的質(zhì)心位置矢量可表示為

對之關(guān)于時間求導(dǎo)，得到支鏈中兩桿件的質(zhì)心速度為

???(11)

由式(11)可得支鏈中各桿件的質(zhì)心偏速度為

???(12)

此外，各桿件的偏角速度為

???(13)

進一步對質(zhì)心位置方程關(guān)于時間求2階導(dǎo)數(shù)，得到桿件的質(zhì)心加速度為

??(14)

因此，作用于支鏈中各桿件的廣義慣性力為

???(15)

依據(jù)Kane方程，開鏈系統(tǒng)中任意支鏈的動力學(xué)方程可寫為

上式可表示為如下緊湊形式：

???(16)

動平臺為獨立運動剛體，其動力學(xué)方程可表示為

???(17)

將支鏈動力學(xué)方程式(16)與動平臺動力學(xué)方程式(17)進行組集，可得開鏈系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

???(18)

根據(jù)機構(gòu)運動學(xué)關(guān)系，機構(gòu)的閉鏈約束方程可表示為如下矩陣形式：

?????(19)

對式(19)關(guān)于時間求1階導(dǎo)數(shù)，可得系統(tǒng)的速度約束方程為

???(20)

???(21)

進一步對閉鏈約束方程式(19)關(guān)于時間求導(dǎo)后，寫為如下形式：

???(22)

將式(22)代入式(20)，可得

???(23)

???(24)

基于式(24)所示關(guān)系，可消掉上式中的廣義約束力項，得到簡化形式的系統(tǒng)動力學(xué)方程為

???(25)

上式可簡記為

???(26)

對于冗余驅(qū)動平面4-RR并聯(lián)機構(gòu)，因其驅(qū)動力矩數(shù)目大于系統(tǒng)動力學(xué)方程數(shù)目，需進行優(yōu)化求解，為便于實際控制，借助最小二范數(shù)法[3]，可將該機構(gòu)的逆動力學(xué)解表示為

???(27)

對于非冗余驅(qū)動平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)，效仿上述冗余驅(qū)動平面4-RR并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)推導(dǎo)過程，可建立其動力學(xué)模型為

???(28)

因非冗余驅(qū)動平面3-RR并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動力矩數(shù)等于系統(tǒng)動力學(xué)方程數(shù)，故其逆動力學(xué)具有唯一解

???(29)

3?動態(tài)性能比較研究

3.1?運動學(xué)性能

給出兩類機構(gòu)的尺寸和質(zhì)量參數(shù)如表1[11]所示.為便于比較分析，設(shè)定兩類機構(gòu)支鏈中各桿件的尺度參數(shù)一致，動、靜平臺相應(yīng)尺寸亦一致．

表1?機構(gòu)的尺度和質(zhì)量參數(shù)

Tab.1?Dimensions and mass parameters of mechanism

圖4?3-RRR并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)性能圖譜

圖5?4-RRR并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)性能圖譜

3.2?動力學(xué)性能

動力學(xué)性能是評價機構(gòu)高速性能和加減速特性的重要技術(shù)指標．廣義慣性橢球(GIE[18])和動態(tài)可操作性橢球(DME[19])可用來評價機器人的局部動力學(xué)映射特征．在此，以DME為理論依據(jù)，基于前面所建立的剛體動力學(xué)模型，進一步考察兩類并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)性能．考慮到加減速時，與加速度有關(guān)項將起主導(dǎo)作用，定義系統(tǒng)慣性矩陣的條件數(shù)倒數(shù)(動態(tài)靈巧度)為評價系統(tǒng)動力學(xué)性能的局部指標．

動態(tài)靈巧度指標定義為

圖6?3-RRR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)性能圖譜

圖7?4-RRR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)性能圖譜

3.3?逆剛體動力學(xué)仿真

圖8?3-RRR并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動力矩

圖9?4-RRR并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動力矩

3.4?多體軟件驗證

圖10?多體軟件仿真模型

圖11?不同時刻構(gòu)型圖

圖12?末端執(zhí)行器跟蹤軌跡

4?結(jié)?論

(1) 在對機構(gòu)進行運動學(xué)分析的基礎(chǔ)上，借助Kane方程和多體理論，提出了一種高效的模塊化建模方法，該方法可有效應(yīng)對含復(fù)雜閉鏈約束機構(gòu)的動力學(xué)建模問題，降低建模復(fù)雜度．

(2) 將包含廣義約束力的系統(tǒng)動力學(xué)模型向約束雅克比矩陣的零空間方向投影，消掉了廣義約束力項，所得模型結(jié)構(gòu)緊湊、形式簡捷，對于提高未來動力學(xué)控制策略的設(shè)計和執(zhí)行效率具有重要意義．

(3) 基于運動學(xué)與動力學(xué)靈巧度指標全面比較研究了兩類機構(gòu)的性能，在此基礎(chǔ)上，針對不同運動軌跡開展了逆剛體動力學(xué)仿真，直觀揭示了冗余驅(qū)動在克服系統(tǒng)奇異和提升動態(tài)性能方面的有效性．

(4) 開發(fā)了冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的多體物理仿真模型，并基于一種動力學(xué)前饋方法實施仿真，驗證了理論模型的正確性和有效性．

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(責任編輯：金順愛)

Kane-Formulation-Based Dynamic Modeling and Comparative Study on Dynamic Performance of Two Kinds of Parallel Robots

Song Yimin1，Jin Xueying1，Liang Dong2，Sun Tao1

(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education， Tianjin University，Tianjin 300354，China； 2. School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China)

In this study，we compared the rigid body dynamics of 4-RR and 3-RR parallel robots. First，we derived inverse kinematics models for both parallel robots. Second，based on the Kane formulation and multibody theory，we developed a modular modeling method，which is concise and efficient to simplify the dynamic modeling process effectively. Using this method，a dynamic system model with a compact format can be achieved，which is very suitable for the construction of a control strategy. Ultimately，using MATLAB software，we performed inverse dynamic simulations and comparatively analyzed the two parallel robots with respect to their kinematic and dynamic performance indices. The results suggest that a redundantly actuated parallel robot can effectively avoid singularities and enhance the dynamic performance of a system compared to one that is non-redundantly actuated. These findings lay a theoretical foundation for the future design of model-based control strategies.

parallel mechanism；Kane formulation；redundant actuation；dynamics

10.11784/tdxbz201805028

TH112.1

A

0493-2137(2019)02-0173-10

2018-05-15；

2018-07-05.

宋軼民（1971— ），男，博士，教授.

宋軼民，ymsong@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51475321).

the National Natural Science Foundation of China(No. 51475321).