初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用

江蘇省徐州市沛縣楊屯中學(xué) 徐正友

分類討論思想是一種十分關(guān)鍵的教學(xué)思想，更是一種核心的解題策略，其不僅體現(xiàn)了集零為整、化整為零的思想及整理分類的方法，并且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)象間的規(guī)律，可推動(dòng)學(xué)生正確、快速地找出解題線索，有助于學(xué)生解題能力的增強(qiáng)及思維能力的發(fā)展。由此可見，深入研究在初中數(shù)學(xué)解題中如何應(yīng)用分類討論思想的策略，具有重大的積極意義。

一、分類討論思想在解答應(yīng)用題題目中的應(yīng)用策略

例題：某家具廠的主要產(chǎn)品是桌子與椅子，其中桌子的定價(jià)是每張200 元，椅子的定價(jià)是每把40 元。為了提升銷售額，廠家設(shè)計(jì)了兩套促銷方案：①購一張桌子贈(zèng)一把椅子；②桌子及椅子都根據(jù)90%定價(jià)付款。但不能同時(shí)參與兩種促銷方案。假如一個(gè)家具店想采購桌子20 張、椅子若干把，請(qǐng)幫其設(shè)計(jì)一個(gè)最劃算的采購方案。

分析：因?yàn)轭}目中未給出家具店具體的采購椅子數(shù)，所以在設(shè)計(jì)方案的時(shí)候需要分類討論。

解題：假設(shè)家具店需要采購x把椅子，那么可設(shè)計(jì)的方案如下，方案一：20×200+20×（x-20）=40x+3200；方案二：90%×（20×200+40x）=36x+3600。假如y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400，那么當(dāng)0 ＜y的情況下，0 ＜4x-400，求得100 ＜x。從這里可以看出，設(shè)計(jì)的兩種采購方案中，方案二更合適。假如y=0，4x-400=0，x=100，那么兩種方案都可采用。假如0 ＞y，0＞4x-400，可求得100 ＞x＞20，此時(shí)方案一更劃算。由上面分類解題思路可知，假如家具店要采購的椅子數(shù)量超過20 把，但少于100 把的時(shí)候，方案一更劃算；如果采購椅子的數(shù)量為100 把的時(shí)候，兩種方案均可以；如果采購椅子的數(shù)量超過100 把的時(shí)候，方案二更劃算一些。

二、分類討論思想在解答圓類題目中的應(yīng)用策略

例題：已知兩圓的半徑分別是4 和6，求解兩圓相切時(shí)圓心距為多少。

分析：從題目中得知兩圓的位置關(guān)系為相切，如果兩圓外切，圓心距為10；如果兩圓是內(nèi)切關(guān)系，那么圓心距即為2。因此，兩圓的圓心距是10 或2。

解題：圓的位置關(guān)系是初中數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是常見的解題類型。由于題目中沒有明確說明半徑是4 和6 的兩圓具體為內(nèi)切關(guān)系還是外切關(guān)系，因此學(xué)生在解題中就應(yīng)運(yùn)用分類討論的方式分析各種條件下的解題結(jié)果，只有這樣，才能提高解題的全面性與準(zhǔn)確性。這就需要教師在解題中指導(dǎo)學(xué)生假設(shè)兩圓為內(nèi)切，計(jì)算出圓心距為6-4=2，假如兩圓是外切，圓心距為6+4=10，從而借助分類討論思想顯著提高學(xué)生的解題速度與解題正確率。

三、分類討論思想在解答函數(shù)類題目中的應(yīng)用策略

例題：與x有關(guān)的函數(shù)y=ax2+x+1（其中，a是常數(shù)），假如函數(shù)圖像和x軸存在一個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算常數(shù)a為多少？

分析：如果該函數(shù)是一次函數(shù)，a=0，可計(jì)算出其和x軸的交點(diǎn)是（-1，0）；如果此函數(shù)是二次函數(shù)，a不為0，可計(jì)算出a應(yīng)為0.25，且和x軸的交點(diǎn)為（-2，0）。

解題：在解答上述類型題目的時(shí)候，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握該題目的考點(diǎn)是結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的變化來確定存在的題型，需要應(yīng)用分類討論思想解題。因?yàn)楹瘮?shù)中存在變量a，也就是說a可能為任意數(shù)，所以學(xué)生在解題時(shí)應(yīng)分類討論a的取值。換句話說，教師應(yīng)引導(dǎo)初中生就a=0 與a≠0 的情況進(jìn)行分類討論。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生就a的取值進(jìn)行分析，接著進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生變換函數(shù)。具體來講，如果a=0，y=ax2+x+1 即為一次函數(shù)；如果a≠0，y=ax2+x+1 就是二次函數(shù)。由此可見，把分類討論思想應(yīng)用到函數(shù)題目的解答中，不僅可大幅簡(jiǎn)化解題內(nèi)容，而且還可推動(dòng)學(xué)生快速掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的不同點(diǎn)，從而在腦海中形成一個(gè)清晰的解題模式，最終快速而正確地解答出題目。

四、分類討論思想在解答不等式題目中的應(yīng)用策略

例題：求解h2-1 ＜（h-1）x。

分析：如果初中生在解題中不對(duì)h的取值加以分類討論，那么計(jì)算出的結(jié)果就是h+1 ＜x，為錯(cuò)誤結(jié)果。究其原因，是因?yàn)閔-1 不僅可等于0，而且可大于0。不同的分類條件下，計(jì)算出的結(jié)果也有較大的差異性。

解析：如果0 ＜h-1，也就是1 ＜h的時(shí)候，那么h+1 ＜x。假如0=h-1，可計(jì)算出h=0，此時(shí)不等式無解。假如0 ＞h-1，也就是1 ＞h，可以計(jì)算出h+1 ＞x。從上面的論述可以看出，如果1 ＜h，h+1 ＞1；如果h=1，不等式無解；如果1 ＞h，h+1 ＞x。由此可見，初中生在解不等式題目的時(shí)候，需要把分類討論思想普遍應(yīng)用其中的原因如下：①不等式具有很強(qiáng)的不確定性，導(dǎo)致學(xué)生無法一步解題。②不等式中存在很多變量。所以，在解不等式題目的時(shí)候，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生充分利用分類討論的解題思路，以便使得學(xué)生順利找出各種條件下題目對(duì)應(yīng)的結(jié)果，還可推動(dòng)學(xué)生更快、更準(zhǔn)地解題，從而大幅降低解題難度及解題錯(cuò)誤率，最終顯著提高初中生的不等式題目解題能力。

總之，把分類討論思想恰當(dāng)應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)解題中，是提高學(xué)生思維能力的有效形式，也是提升學(xué)生解題水平的關(guān)鍵措施。因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)匕逊诸愑懻撍枷胍霊?yīng)用題、方程、函數(shù)、圓等題目的解答中，以幫助學(xué)生更加全面與正確地解題，從而推動(dòng)學(xué)生解題能力及思維能力的快速發(fā)展，最終顯著優(yōu)化初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果。