基于中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)嘗試

江蘇省南京市第十三中學(xué) 袁 云

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，一種是直接從實物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，如幾何中的點、線、面等，算術(shù)中的自然數(shù)等。二是在原有的數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多層次的概括而形成。依據(jù)《普通中學(xué)數(shù)學(xué)課程標準》，要注意以下兩點：第一，基本概念和基本方法的理解和掌握。新課程要求“對一些核心概念和基本思想要貫穿中學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解”，新課程的實施關(guān)注“核心概念”，并要求“貫穿始終”。第二，注重聯(lián)系，提高對數(shù)學(xué)整體的認識。要求“教學(xué)應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會知識之間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力”。說明教學(xué)中以核心概念為載體，將中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容串聯(lián)起來，使學(xué)生獲得的知識更加具有系統(tǒng)性、廣泛性。

數(shù)學(xué)概念確有核心與非核心之分。例如，函數(shù)與函數(shù)的定義域這兩個數(shù)學(xué)概念，一個具有奠基性意義，另一個只是一類數(shù)學(xué)對象的約定俗稱，兩者的內(nèi)涵和外延相去甚遠。若把內(nèi)涵豐富的概念簡單化處理，則造成概念理解不到位；若把簡單的概念復(fù)雜化，則造成學(xué)生的負擔。中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念指中學(xué)數(shù)學(xué)概念主要的中心部分，是數(shù)學(xué)課程中的主要概念，是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的聯(lián)結(jié)點，由其反映的數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的紐帶，其他概念或由它生成或與它密切聯(lián)系的概念。對于數(shù)學(xué)核心概念的辨別主要幾個標準：第一，概念是否具有重要性，處于主干地位。第二，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)而言，是否具有重要性、不可或缺的基礎(chǔ)地位。第三，在數(shù)學(xué)上是否具有邏輯的連貫性和一致性，概念與其他概念之間的關(guān)聯(lián)程度及其在相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容中貫穿程度。對于學(xué)生而言，理清核心與非核心概念之間的聯(lián)系，能較好地把握數(shù)學(xué)知識之間的發(fā)展脈絡(luò)，在概念的發(fā)生發(fā)展的過程中挖掘其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

例如，對于橢圓的教學(xué)延續(xù)圓的研究順序，“定義-方程-性質(zhì)”。類比圓的定義，由平面內(nèi)到一個定點距離為定長的動點軌跡到平面內(nèi)到兩個定點距離之和為定值（強調(diào)定值要求）的動點軌跡。聯(lián)系都與到定點距離有關(guān)，而且動點滿足的條件都確定，所以都可以用直接法，通過“建系-設(shè)點-列式-化簡”得到軌跡方程。在研究幾何性質(zhì)過程中，類比圓怎樣研究和研究什么。首先通過觀察圖形直觀感受，得到結(jié)論，再從方程的角度進行驗證，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。之后研究其他方面，橢圓之所以是橢圓而不是圓，源于形狀，一樣是橢圓又分大小，同一個橢圓位置不一樣也不同，進而從大小、位置、形狀三個角度研究。

角度一：橢圓位置的確定。類比圓，圓的位置通過圓心的位置確定。橢圓則可以通過焦點的位置確定；二是交點（橢圓與坐標軸的交點），進而給出頂點定義，并且利用方程給出坐標，解釋頂點的含義。同時提出兩者都可以確定位置，兩者之間必然有聯(lián)系。如果給定四個頂點怎么找焦點，學(xué)生利用找出特征三角形，確定了焦點的位置。同時也合理地解釋了在求標準方程時，利用進行化簡的合理性和必要性，一并指出a，b，c的幾何意義。

角度二：橢圓的大小限制因素。類比圓，圓的大小可以通過半徑確定，圓的大小受到外切正方形的限制。從方程角度驗證出x，y的范圍。推廣到橢圓的頂點不僅確定了橢圓的位置，同時還限制了橢圓的大小，橢圓的大小受外切矩形的限制。接著從代數(shù)的角度論證，把頂點的限制轉(zhuǎn)化為坐標的限制，利用方程，移項求出x，y的范圍。

角度三：橢圓的形狀特點。觀察：類比圓具有對稱性，即是中心對稱又是軸對稱。從代數(shù)角度驗證：對于橢圓上任意一點，寫出關(guān)于中心或軸的對稱點，代入方程驗證，滿足方程則對稱，不滿足不對稱。二是橢圓的扁平程度的影響因素。學(xué)生首先想到a，b，若a定b變大，則圓一些，若b定a變小，則圓一些，若兩者都變，比值不變，則形狀不變，只改變大小，比值變大則圓一些。接著提出：b是后來引進的，能否由a，c 的關(guān)系確定橢圓的扁平呢？發(fā)現(xiàn)三者之間的聯(lián)系：，比值越大越扁。同時，引入離心率的概念確定a后，c越大，焦點距離中心位置越遠，橢圓越扁。

在學(xué)習(xí)完圓的知識，類比研究橢圓延續(xù)了學(xué)習(xí)的連貫性，接著研究雙曲線、拋物線也是一脈相承，首先是研究順序：定義—方程—性質(zhì)。研究方法：觀察-概括-驗證。既注重研究方法的一致性，又注意兩者之間的區(qū)別，使得后續(xù)的教學(xué)變得非常輕松而且效果好。為什么圓不作為核心概念而是選擇橢圓呢？其一，圓在初中大家就已經(jīng)接觸過了，圓的形狀很特殊也易于掌握。橢圓是圓錐曲線中最重要的對象，處于主干地位。其二，對于學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)而言，橢圓是圓錐曲線的開張篇起到承上啟下的作用。其三，在“圓-橢圓-雙曲線-拋物線-一般曲線”的知識的發(fā)展脈絡(luò)中，無論是知識還是研究方法，橢圓都處于核心地位，具有紐帶作用。

抓住數(shù)學(xué)的核心概念來開展教學(xué)，以核心概念為著眼點就不會在細枝末節(jié)上浪費時間，使得所有的教學(xué)直接指向數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身。抓住核心概念和其他概念的聯(lián)系，保持知識的連貫性，同時借助數(shù)學(xué)思維的模式和研究方法的一致性，讓學(xué)生的認知更加完整，知識掌握更加系統(tǒng)。