高考中直線與圓的七大熱點(diǎn)題型剖析

■何 敏 劉大鳴(特級教師)

直線與圓的幾何性質(zhì)在解析法中的應(yīng)用,一直是高考命題的熱點(diǎn),凸顯了代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)和幾何性質(zhì)簡化運(yùn)算的本質(zhì)屬性。下面以近年高考題為載體,對直線與圓中的熱點(diǎn)題型進(jìn)行歸類剖析,希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

熱點(diǎn)1：求直線的傾斜角或斜率

例1(2014 年高考安徽卷)過點(diǎn)P(- 3,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )。

A.(0 ,6π] B.(0 ,3π]

C.[0 ,6π] D.[0 ,3π]

解：借助直線與圓的位置關(guān)系,利用幾何法構(gòu)建斜率的不等式求解。易知直線l的斜率存在,可設(shè)直線,即kx-y+ 3k-1=0。因?yàn)橹本€l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),所以圓心(0,0)到直線l的距離≤1,即k2- 3k≤0,解得0≤。依據(jù)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系,則直線l的傾斜角的取值范圍是應(yīng)選D。

評析：直線傾斜角的取值范圍為[0,π),把握直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時斜率的變化是解題的關(guān)鍵。

變式1：若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )。

A.[0 ,6π]∪[56π,π)

B.[0 ,6π]

C.[56π,π)

D.(0 ,6π)∪(56π,π)

提示：(方法1)由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),利用直線與圓有公共點(diǎn)可得圓心(1,0)到直線l的距離

(方法2)由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),代入圓的方程整理可得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,由Δ=4(1-3k2)≥0,解得。依據(jù)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系,則直線l的傾斜角的取值范圍是。應(yīng)選A。

熱點(diǎn)2：求圓的方程

例2(2018年高考天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為_____。

解：由圓經(jīng)過已知的三點(diǎn),利用待定系數(shù)法求解。設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,注意隱含條件D2+E2-4F＞0。由圓經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),可得解得由此可得所求圓的方程為(x-1)2+y2=1。

評析：一般地,與圓心和半徑有關(guān)的問題,選擇標(biāo)準(zhǔn)式;否則,選擇一般式。不論是選擇哪種形式,都要確定三個參數(shù),利用方程組求解。

變式2：已知以點(diǎn)(t∈R,且t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)O,B兩點(diǎn),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(1)求證:△OAB的面積為定值。

(2)設(shè)直 線y=-2x+4 與 圓C交 于 點(diǎn)M,N,若,求圓C的方程。

提示：(1)選擇標(biāo)準(zhǔn)方程求解。 因?yàn)閳A過原點(diǎn)O,所以r2=|OC|2=t2+。設(shè)圓C的方程為。令x=0得y1=0,y2=,令y=0得x1=0,x2=2t,則S△AOB=。故△OAB的面積為定值4。

當(dāng)t=2 時,圓心C的坐標(biāo)為(2,1),,此時點(diǎn)C到直線y=-2x+4的距離,可知圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn),符合題意;

湯翠在電腦上百度釘子戶這個詞，屏幕上出現(xiàn)了125，000，000 條相關(guān)結(jié)果。湯翠數(shù)學(xué)不太好，個十百千萬地?cái)?shù)了數(shù)，才知道是一億多條。第一條百度百科這樣解釋它：用來指代某些由于種種原因沒有拆遷，而又身處鬧市或開發(fā)區(qū)域的房屋。再后面是不計(jì)其數(shù)的“釘子戶”新聞。有一個真正的“釘子”戶，為防被強(qiáng)拆，在房頂上釘了一萬八千枚鐵釘。湯翠覺得很搞笑，她無論如何也沒想到，有一天自己竟然成了開發(fā)商眼中的釘子戶。

當(dāng)t= -2 時,圓心C的坐標(biāo)為(-2,,此時點(diǎn)C到直線y=-2x+4的距離,可知圓C與直線y=-2x+4不相交,可知t=-2不合題意。

故所求圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5。

熱點(diǎn)3：直線與圓相交關(guān)系中的弦長問題

例3(2018年高考新課標(biāo)卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0 相交于A,B兩點(diǎn),則=_____。

解：借助弦心距、半徑和半弦長構(gòu)成的直角三角形求解。已知圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,所以圓心為(0,-1),且半徑r=2。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,可得弦心距。利用圓中的弦長公式,可得

評析：利用圓的半徑,圓心到直線的距離(弦心距)以及半弦長構(gòu)成直角三角形是解答本題的關(guān)鍵。

變式3：已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2 相 交 于A,B兩 點(diǎn)(O為 坐 標(biāo) 原點(diǎn)),且△AOB為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)a的值為( )。

A.6或- 6 B.5或- 5

C.6 D.5

熱點(diǎn)4：直線與圓位置關(guān)系中的最值問題

例4(2018 年高考全國卷)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2 上,則△APB面積的取值范圍是( )。

A.[2,6] B.[4,6]

C.[ 2,3 2] D .[2 2,3 2]

解：已知三角形的底邊長為定值,當(dāng)頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動時,所求面積的取值范圍問題可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離的最值問題。由直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),可得點(diǎn)A(-2,0),B(0,-2),所以。 因 為 點(diǎn)P在 圓(x-2)2+y2=2上,所以圓心到直線x+y+2=0的距離為。由圓的幾何性質(zhì)可知,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d2的取值范圍為,即,則。應(yīng)選A。

評析：把握底邊長為定值和頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動的特征,可使所求問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)(圓心)到直線的距離的最值問題,這也是圓的幾何性質(zhì)確定的。

變式4：已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),若點(diǎn)M是圓x2+y2-2x+2y=0 上的動點(diǎn),則△ABM面積的最小值為_____。

提示：已知圓方程可化為(x-1)2+(y+1)2=2,其圓心為(1,-1),半徑r= 2。由于點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),所以=2 2。要求△ABM面積的最小值,即求圓上的動點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值,而圓心(1,-1)到直線AB:的距離為,△ABM的高的最小值為d=2 2- 2= 2,則△ABM面積的最小值為S△ABM=

熱點(diǎn)5：直線與圓相切中的最值問題

例5(2015年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____。

解法1：(幾何法)直線系m(x-2)-y-1=0,恒過定點(diǎn)(2,-1)。過點(diǎn)(2,-1)的直線與圓心為(1,0)的圓相切,當(dāng)且僅當(dāng)切線與過(1,0),(2,-1)兩點(diǎn)的連線垂直時,圓的半徑最大,此時有。故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

解法2：(代數(shù)法)構(gòu)造對鉤函數(shù)求解。由直線與圓相切的條件,可構(gòu)建半徑的函數(shù)。令函數(shù),利用對鉤函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)且僅當(dāng)m=1 時,u=m+取 最小值,此時半徑取最大值。故半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2。

解法3：通過換元,構(gòu)造二次方程,利用判別式求解。由題意可得,設(shè),則(t-1)m2-2m+t-1=0。由于m∈R,所以Δ=(-2)2-4(t-1)2≥0,解得0≤t≤2,所以dmax= 2。由此可得半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2。

評析：依據(jù)直線與圓相切的條件,構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的通法。當(dāng)半徑表示為關(guān)于m的函數(shù)后,利用對鉤函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(- ∞,-1)∪(1,+∞),減區(qū)間為(-1,0)∪(0,1)求解是本題的一大亮點(diǎn)。

變式5：若圓C:(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線2ax+by+2=0 對稱,則由點(diǎn)(a,b)向圓C所作切線長的最小值為( )。

A.1 B.2

C.5 D.7

提示：由題意可得,圓心坐標(biāo)為C(1,2),半徑r=1。因?yàn)閳AC:(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線2ax+by+2=0對稱,所以直線2ax+by+2=0 過圓心C(1,2),代入可得a+b=-1。又因?yàn)辄c(diǎn)(a,b)到圓心的距離為,所以由點(diǎn)(a,b)向圓作切線,其切線長為,代入a= -1-b,可得。應(yīng)選D。

熱點(diǎn)6：圓與圓的位置關(guān)系問題

例6(2016年高考山東卷)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a＞0)截直線x+y=0所得線段的長為2 2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )。

A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.相離

解：依據(jù)弦長待定參數(shù),研究兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系即可。由x2+y2-2ay=0(a＞0),可得x2+(y-a)2=a2(a＞0),所以圓M的圓心為(0,a),半徑r1=a。因?yàn)閳AM截直線x+y=0 所得線段的長為,所以,解得a=2。又圓N的圓心為(1,1),半徑r2=1,所以|MN|=,可得r1+r2=3,r1-r2=1。由r1-r2＜|MN|＜r1+r2,可知圓M與圓N相交。應(yīng)選B。

評析：利用幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系,就是判斷圓心距與兩圓半徑的和與差的大小關(guān)系。

變式6：圓心在直線x-y-4=0上,并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0交點(diǎn)的圓的方程為_____。

提示：設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-28λ-4=0,其圓心坐標(biāo)為,代入直線x-y-4=0,解得λ=-7。故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0。

熱點(diǎn)7：與圓有關(guān)的新定義問題

例7(2014年高考湖北卷)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)＞0,對任意a＞0,b＞0,若經(jīng)過點(diǎn)(a,f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b),例如,當(dāng)f(x)=1(x＞0)時,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù)。

(1)當(dāng)f(x)=_____(x＞0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù)。

(2)當(dāng)f(x)=_____(x＞0)時,Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)

(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)

解：設(shè)點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),則A,B,C三點(diǎn)共線。

(1)由c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的條件,由此尋求函數(shù)表達(dá)式。依題意可得c=ab,由A,B,C三點(diǎn)共線可得,即。由a＞0,b＞0,可化簡得,故可選擇函數(shù)f(x)=x(x＞0)。

(2)由Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的條件,由此尋求函數(shù)表達(dá)式。依題意可得,則。由a＞0,b＞0,可化簡得,故可選擇函數(shù)f(x)=x(x＞0)。

評析：理解平均數(shù),幾何平均數(shù)以及調(diào)和平均數(shù)的含義是解答本題的關(guān)鍵。依據(jù)新定義和三點(diǎn)共線的條件,探究兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,抽象概括出一般函數(shù)的表達(dá)式,這種逆向思維的解題方法,既考查軌跡的意義,又考查同學(xué)們綜合解決問題的能力。

變式7：已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的 “對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對任意x∈I,兩點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對稱。若h(x)是g(x)= 4-x2關(guān)于f(x)=3x+b的 “對稱函數(shù)”,且h(x)＞g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____。

提示：把所求問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系求解。函數(shù)g(x)的圖像表示圓的一部分,即x2+y2=4(y≥0)。 當(dāng)直線y=3x+b與半圓相切時,滿足h(x)＞g(x)。根據(jù)圓心(0,0)到直線y=3x+b的距離等于圓的半徑可得,解得b=2 10或b=-2 10(舍去)。

要使h(x)＞g(x)恒成立,需滿足b＞2 10,故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2 10,+∞)。