點、線、面的位置關(guān)系易錯題剖析

■戴瑞祖 王菲菲 朱光明

解答點、線、面位置關(guān)系問題,要求邏輯思維的嚴密性較高,因此同學們?nèi)菀紫萑虢忸}誤區(qū),下面歸類剖析。

易錯類型1：位置關(guān)系的概念理解不清

兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行和異面三種情況。需要注意的是垂直不是一種位置關(guān)系,而是一種角度關(guān)系,兩條相互垂直的直線究竟是相交還是異面,是不明確的。

例1已知直線l和平面α,無論直線l和平面α具有怎樣的位置關(guān)系,在平面α內(nèi),總存在一條直線與直線l( )。

A.相交 B.平行

C.垂直 D.異面

錯解：應(yīng)選A 或B或D。

正解：若直線l∥平面α,則平面α內(nèi)的直線不可能與直線l相交;若直線l和平面α相交,則平面α內(nèi)的直線不可能與直線l平行;若直線l?平面α,則平面α內(nèi)的直線均與直線l共面,不可能異面。應(yīng)選C。

易錯類型2：對公理或定理的理解出錯

證明兩個平面平行,如果不滿足 “相交”,即使一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,也無法說明兩個平面平行。證明直線與平面垂直,需要說明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,若不滿足 “相交”,即使直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,也無法說明直線與平面垂直。在面面垂直的性質(zhì)定理中,要注意這條垂直直線滿足兩個條件,一是在平面內(nèi),二是垂直于交線,這兩個條件缺一不可。

例2已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點A∈α,A?l,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是( )。

A.AB∥m

B.AC⊥m

C.AB∥β

D.AC⊥β

錯解：應(yīng)選A 或B或C。

正解：由于直線m∥α,m∥β,所以直線m一定平行于α,β的交線l。又AB∥l,則AB∥m,A 正確。由于AC⊥l,所以AC⊥m也成立,B 正確。因為AB∥l,又A?l,所以直線AB不在平面β內(nèi),則AB∥β,C 正確。 對于D,雖然兩個平面α,β垂直,且AC⊥l,但由于直線AC不一定在平面α內(nèi),所以AC⊥β不一定成立,D 不正確。應(yīng)選D。

易錯類型3：空間角的概念理解不準確

空間角分為線線角,線面角和二面角。解決空間角問題的關(guān)鍵是要找到一個平面角去代替該空間角。

例3下列說法中正確的是____。(把你認為正確的序號都填上)

①兩個相交平面所組成的圖形叫作二面角;②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等;③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個半平面內(nèi)作射線所成的最小角;④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系。

錯解：不理解二面角的定義,造成多選。

正解：①中兩個相交平面組成了四個二面角,二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成的圖形,①不正確。②中a,b兩條異面直線所成的角為銳角或直角,二面角可能為鈍角,所以a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補,②不正確。③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱,③不正確。④正確。答案為④。