聚焦圓與方程問(wèn)題

■賈善振 楊春青 班大菊

圓的方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系是圓與方程問(wèn)題學(xué)習(xí)的重點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn)。下面舉例分析。

一、求圓的方程

例1已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,1),AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0,AC邊上的高BH所在的直線方程為y=0。

(1)求△ABC的頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo)。

(2)若圓M經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A,B,P(m,0),且斜率為1的直線與圓M相切于點(diǎn)P,求圓M的方程。

解：(1)因?yàn)锳C邊上的高BH所在的直線方程為y=0,所以直線AC的方程為x=0。又直線CD的方程為2x-2y-1=0,所以由此解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為,則AB的中點(diǎn)),代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以點(diǎn)B(2,0)。

(2)由點(diǎn)A(0,1),B(2,0),可得圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0,注意到BP也是圓M的弦,所以圓心在直線x=上。設(shè)圓心M的坐標(biāo)為,因?yàn)閳A心M在直線4x-2y-3=0 上,所以2m-2n+1=0。因?yàn)樾甭蕿? 的直線與圓M相切于點(diǎn)P,所以kMP= -1,由此可得m-2n-2=0。 由上解得,m= -3,n=。所以圓心M,半徑MA=。故所求圓M的方程為x2+y2+x+5y-6=0。

方法點(diǎn)撥：求圓的方程主要有兩種方法:幾何法和待定系數(shù)法。

二、直線與圓的位置關(guān)系

例2已知圓C1:x2+(y+2)2=4與圓C2:(x-4)2+y2=4。

(1)若直線mx-y+(m-1)=0(m∈R) 與圓C1相交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),求|AB|的最小值。

(2)直線x=3 上是否存在點(diǎn)P,滿足經(jīng)過(guò)點(diǎn)P有無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,并且直線l1被圓C1所截得的弦長(zhǎng)等于直線l2被圓C2所截得的弦長(zhǎng)? 若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)直線mx-y+(m-1)=0(m∈R)過(guò)定點(diǎn)M(-1,-1)。

當(dāng)|AB|取最小值時(shí),AB⊥C1M,可得|C1M|== 2。故|AB|min=

(2)設(shè)點(diǎn)P(3,a)。當(dāng)斜率不存在時(shí),顯然不符合題意。當(dāng)斜率存在時(shí),l1:y=k(x-3)+a,即為kx-y+a-3k=0,l2:y=(x-3)+a,即為x+ky-ak-3=0,所以由題意可知,d1=d2,所以可得(9-a2)k2-(12+4a)k+a2+4a+3=0對(duì)任意實(shí)數(shù)k成立,所以解得a=-3。

故存在點(diǎn)P(3,-3),滿足題意。

方法點(diǎn)撥：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定的。也可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或三角問(wèn)題,證明是恒定的。