直線方程的“關(guān)系學(xué)”

■隋俊禮

直線方程怎么求? 利用 “關(guān)系”是關(guān)鍵。平行關(guān)系,垂直關(guān)系,相交關(guān)系等都是求解直線方程的突破口,下面舉例說(shuō)明。

一、利用平行關(guān)系求直線方程

例1求過(guò)點(diǎn)A(1,-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程。

解法1：因?yàn)橐阎本€的斜率為,所求直線與已知直線平行,所以所求直線的斜率也是-。根據(jù)點(diǎn)斜式,可得所求直線的方程為2x+3y+10=0。

解法2：設(shè)與直線2x+3y+5=0平行的直線方程為2x+3y+λ=0(λ≠5)。由于此直線過(guò)點(diǎn)A(1,-4),所以2×1+3×(-4)+λ=0,解得λ=10,可得所求的直線方程為2x+3y+10=0。

說(shuō)明：一般地,與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+λ=0(λ≠C),其中λ為待定系數(shù)。

二、利用垂直關(guān)系求直線方程

例2求過(guò)點(diǎn)A(2,-3)且與直線2x+y-3=0垂直的直線方程。

解法1：由直線2x+y-3=0的斜率為-2,可得其垂線的斜率為,所以所求直線的方程為x-2y-8=0。

解法2：設(shè)所求垂線的方程為x-2y+c=0。因?yàn)榇酥本€過(guò)點(diǎn)A(2,-3),所以2+6+c=0,即c=-8。故與2x+y-3=0垂直的直線方程為x-2y-8=0。

說(shuō)明：解法1采用的是直接法,解法2采用的是待定系數(shù)法,這兩種方法同學(xué)們都必須熟練掌握。

三、求經(jīng)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程

例3直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)另外兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點(diǎn),求直線l的方程。

解法1：由題意可得由此解得交點(diǎn)為(-1,-2)。又該直線過(guò)原點(diǎn)(0,0),所以所求直線l的方程為y=2x。

解法2：設(shè)經(jīng)過(guò)兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0 交點(diǎn)的直線系方程為(2x+3y+8)+λ(x-y-1)=0。該直線過(guò)原點(diǎn),將點(diǎn)(0,0)代入可得λ=8。故所求直線l的方程為2x-y=0。

說(shuō)明：已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 相交,經(jīng)過(guò)兩條相交直線的交點(diǎn)的直線系(不含l2)方程為,當(dāng)λ=0時(shí)表示直線l1,注意此方程不能表示直線l2。

四、利用距離公式求直線方程

例4過(guò)A(-4,0),B(0,-3)兩點(diǎn)作兩條平行線,求滿足下列條件的兩條直線方程:兩條平行線間的距離為4。

解：當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí),直線方程分別為x=-4,x=0,這時(shí)滿足題意;

當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程分別為y=k(x+4),y=kx-3,即kx-y+4k=0,kx-y-3=0。由題意可得,解得,可知所求的直線方程分別為

說(shuō)明：求直線方程,往往會(huì)忽視斜率不存在這種 “特例”而產(chǎn)生漏解,數(shù)形結(jié)合法可幫助我們突破這個(gè)思維誤區(qū)。