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    《二項式定理》易錯題歸類剖析

    2019-01-11 05:23:55江蘇省宿豫中學丁先寶
    關鍵詞:展開式二項式易錯

    ■江蘇省宿豫中學 丁先寶

    二項式定理是中學數(shù)學不可或缺的組成部分,它是初中學習的多項式乘法的延續(xù),是排列組合的直接應用,也與概率理論中的二項分布有著密切關系,是高考熱點隨機變量及其分布的基礎。掌握好二項式定理既可以為學習多項式的變形起到很好的作用,也可以為進一步學習概率統(tǒng)計做好必要的知識儲備。二項式定理是高考的必考內(nèi)容,題型多為選擇題、填空題,偶爾出現(xiàn)在解答題中。一般考查二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)、展開式系數(shù)、某項或者項數(shù)等,甚至有時還會與其他數(shù)學知識綜合考查。整體難度不大,屬于完全可以掌握的知識。如果有好的解題方法和意識,做到基礎知識扎實,重難點明確清晰,規(guī)避易錯問題,就會收到事半功倍的效果!

    易錯題型1:混淆二項式系數(shù)和項的系數(shù)

    在二項展開式中,利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題,須注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。二項式系數(shù)是二項展開式中各項所含有的組合數(shù),即,而項的系數(shù)是各項的字母變量的系數(shù),這兩個概念是既有區(qū)別又有聯(lián)系的,如果在解題中不注意區(qū)分,就很容易出錯。

    例1的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則n 的取值所構成的集合為____。

    錯解分析:由已知條件可得,化簡可得n2-5n+2=0,此方程無整數(shù)解,故沒有滿足條件的n 值。

    上述解法顯然是審題不清,沒有弄清二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別。在解此類問題時,關鍵要抓住二項式(a+b)n的展開式的通項是指展開式的第r+1項,因此展開式中第1,2,3,…,n 項的二項式系數(shù)分別是

    正解:由題設,得,即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去)。故答案為{8}。

    易錯題型2:混淆二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項

    例2已知的展開式中,第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)之比為10∶1,求展開式中系數(shù)最大的項。

    錯解分析:由題意知,第五項系數(shù)為24,第三項的系數(shù)為則有

    上述解法顯然是錯誤地認為展開式中的二項式系數(shù)最大項就是展開式中系數(shù)的最大項,混淆了兩個概念。

    正解:由題意知,第五項系數(shù)為第三項的系數(shù)為則有所以n=8。

    設展開式中的第r 項,第r+1項,第r+2項的系數(shù)分別為2r+1,若第r+1項的系數(shù)最大,則解得5≤r≤6,

    易錯題型3:二項式(a+b)n的展開式的通項中,因a 與b 的順序顛倒而出錯

    例3若的展開式中,第五項是常數(shù),則中間項是第幾項?

    錯解分析:的展開式中的第五項是由第五項是常數(shù),得解得所以題目無解。

    上述解法顯然是顛倒了(a+b)n的展開式中a 與b 的順序,所以項也隨之發(fā)生變化,最終導致出錯。

    正解的展開式中的第五項是由第五項是常數(shù),得即n=16,則展開式中的中間項是第9項。

    易錯題型4:利用賦值法求解時出錯

    二項式定理的一個典型應用——賦值法,在使用賦值法時,令a,b 等于多少,應就具體問題而定,有時取“1”,有時取“-1”,或其他值。

    例4已知(1-2x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求a1+a2+…+a100的值。

    錯解分析:由二項展開式系數(shù)的性質(zhì)可知,(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n。顯然,a0就是展開式中的=1,因此a1+a2+…+a100的值為2n-1。

    上述解答顯然忽略了a0,a1,a2,…,a100是項的系數(shù),而不是二項式系數(shù),從而導致錯誤。

    正解:由二項展開式的結構特征可知a0,a1,a2,…,a100是項的系數(shù),而不是二項式系數(shù)。觀察式子特征,如果x=1,則等式右邊為a0+a1+a2+…+a100,出現(xiàn)所求式子的形式,而a0就是展開式中的=1,因此(1-2×1)100=a0+a1+a2+…+a100,即1=1+a1+a2+…+a100,所以a1+a2+…+a100=0。

    易錯題型5:利用逆向思維解決二項式時出錯

    例5在多項式的展開式中,含x6的項的系數(shù)為____。

    錯解分析:原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1,所以x6項的系數(shù)為0。

    上述解法顯然忽視了n 的范圍,得出的結果是在n 不等于6 的前提下得到的,而這個條件并不是已知的。

    正解:原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1。

    所以 當n ≠6 時,x6項的系數(shù)為0;當n=6時,x6項的系數(shù)為1。

    二項式定理的學習是很有樂趣的,學生不僅能從中感受到對初中知識的延伸和拓展,也能感受到類似“楊輝三角”的數(shù)學美。高考中,二項式定理的試題難度并不高,但是因為“會而不對,對而不全”,而導致學生數(shù)學成績提高受到限制,這也成為學生和老師揮之不去的痛,所以每個人都應該想辦法解決這個問題。平時學習中,對二項式定理的基礎知識和易錯、易混的典型問題給予足夠的重視,在易錯點上給予更多的關注,以及針對性的訓練,那么就一定能做到“會而對,對而全”。

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