是根據(jù)勾股定理還是勾股定理逆定理—人教版八年級下冊一內(nèi)容的商榷

浙江省臨海市五中(317000)黃法華 洪方日

1.起因

在教人教2013年版八年級下冊第十七章《勾股定理》時(shí),會教到:判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形的問題.以前筆者也沒在意教材是否有問題,在2016年教到此內(nèi)容時(shí)發(fā)現(xiàn),教材中由邊的關(guān)系判定不是直角三角形的依據(jù)是“根據(jù)勾股定理”的說法有問題,筆者認(rèn)為應(yīng)該用“根據(jù)勾股定理的逆定理”.于是筆者致電教材的一編者,說教材第32頁與33頁各有一處用詞不當(dāng),以后就沒就此話題再聯(lián)系.今又教到此內(nèi)容,教材依舊,說明編者沒有認(rèn)同筆者的意見,特提出商榷.

2.教材

為了說明問題,現(xiàn)摘錄教材第32頁與33頁部分內(nèi)容于下:

例1 判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形:

(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.

分析根據(jù)勾股定理及其逆定理,判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形,只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.

解(1)因?yàn)?52+82=225+64=289,172=289,所以152+82=172,根據(jù)勾股定理的逆定理,這個(gè)三角形是直角三角形.

(2)因?yàn)?32+142= 169+196 = 365,152= 225,所以132+142152,根據(jù)勾股定理,這個(gè)三角形不是直角三角形.

3.商榷內(nèi)容

(1)上述分析中的:“根據(jù)勾股定理及其逆定理”應(yīng)劃掉“及其”;(2)在解(2)中的:“根據(jù)勾股定理”應(yīng)改為“根據(jù)勾股定理逆定理”.

4.商榷理由

4.1 勾股定理是已知直角不能用來判定直角

命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

命題2如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

命題1 經(jīng)推理證明后即為勾股定理,命題2 經(jīng)推理證明后即為勾股定理逆定理.勾股定理的作用是已知直角三角形確定三邊的關(guān)系或已知兩邊求第三邊,它的前提是已知三角形是直角三角形,很明顯它不是用來判斷不是直角三角形的.勾股定理逆定理的作用是已知△ABC的邊滿足a2+b2=c2,來判定這個(gè)三角形是直角三角形.而對于△ABC滿足a2+b2c2,(c是最大邊),從合情的角度來說可根據(jù)勾股定理逆定理來判定△ABC不是直角三角形,從嚴(yán)格來說勾股定理逆定理也沒有說明△ABC不是直角三角形.若從嚴(yán)格的角度要求還需證明命題3.

命題3如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b22(c為最大邊),那么這個(gè)三角形不是直角三角形.

命題3 的證明:假設(shè)△ABC為直角三角形,則最大邊c為斜邊,那么有a2+b2=c2,這與已知a2+b22矛盾,所以假設(shè)不成立,即假設(shè)的反面成立,因此△ABC不是直角三角形.

4.2 持根據(jù)勾股定理觀點(diǎn)剖析

筆者曾向一位資深同事請教上述問題,他的觀點(diǎn)是從命題角度來解釋,命題1 與命題3 是逆否命題,它們是等價(jià)的,即命題1 與命題3 同時(shí)成立,所以根據(jù)命題3(成立)即是“根據(jù)勾股定理判定不是直角三角形”.命題3 是命題2 的否命題,原命題成立而它的否命題不一定成立.如原命題:被4 整除的數(shù)是偶數(shù)(是成立的);它的否命題:不被4 整除的數(shù)不是偶數(shù)(不成立).所以根據(jù)命題3(成立)而不用“根據(jù)勾股定理逆定理判定不是直角三角形”.

4.3 教師教學(xué)現(xiàn)狀急需搞清這一問題

筆者了解了現(xiàn)在教師在教這一問題的情況,主張用“根據(jù)勾股定理”的有(1)如上述教師,明確堅(jiān)持自己的主張;(2)認(rèn)為乘法分配律可逆用,這里也可以;(3)書中這么說的,相信專家.主張用“根據(jù)勾股定理逆定理”的有(1)認(rèn)為書中明顯錯(cuò)誤,就自己改了;(2)覺得書中不合理,還是改了合理些; (3)教時(shí)沒注意課本,講課時(shí)就改了,覺得挺自然的.還有就是覺得分不清,講課時(shí)干脆不用,跳過根據(jù)直接下結(jié)論.

4.4 依據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合原則應(yīng)根據(jù)勾股定理逆定理

根據(jù)量力性原則,教材編寫者不會在《勾股定理》這一章中增加一個(gè)定理(命題3),在此前提下討論是用根據(jù)勾股定理還是用根據(jù)勾股定理逆定理,二者必取其一.筆者認(rèn)為,同事的觀點(diǎn)涉及高中內(nèi)容,對初中學(xué)生不好解釋,況且命題1 的逆否命題也不能說是勾股定理,從邏輯上說也太牽強(qiáng)了,學(xué)生也根本無法理解.所以筆者不認(rèn)同同事的觀點(diǎn).從學(xué)生角度看,勾股定理是用來求直角三角形邊的,勾股定理逆定理是用來判定是否是直角三角形的,決不能用已知直角(的定理)來判定不是直角.命題2 的合情推理就可得到命題3(成立),用“根據(jù)勾股定理逆定理判定不是直角三角形”雖有不嚴(yán)謹(jǐn),但合情,它符合嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合原則;用“根據(jù)勾股定理判定不是直角三角形”既不嚴(yán)謹(jǐn),也不合情.因此,筆者堅(jiān)持認(rèn)為,教材第32頁與33頁各有一處用詞不當(dāng).