地月空間對稱自由返回軌道設(shè)計(jì)與分析

彭坤 孫國江 王平 徐明

(1 中國空間技術(shù)研究院載人航天總體部，北京 100094) (2 北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

隨著“深空之門”(Deep Space Gateway)地月空間站方案的逐步完善[1]，國際各航天機(jī)構(gòu)已將進(jìn)入地月空間作為推動載人深空探測發(fā)展新的興趣點(diǎn)，而地月空間人員往返運(yùn)輸途徑則是研究的重點(diǎn)。不同于地月空間貨運(yùn)任務(wù)，人員往返運(yùn)輸首先要考慮人員安全性。自由返回軌道由于其不需要額外變軌僅借助月球引力自動返回地球的特性，能保證航天器發(fā)生故障后航天員安全返回地球，而被廣泛應(yīng)用于“阿波羅”(Apollo)載人登月工程的地月轉(zhuǎn)移過程中。Apollo-13任務(wù)[2]正是利用自由返回軌道的特性，使3名宇航員最終安全返回地球。Apollo-13任務(wù)[3]全面驗(yàn)證了自由返回軌道的正確性，被美國人稱為“一次成功的失敗”。我國于2014年發(fā)射的探月三期飛行試驗(yàn)器也采用了繞月自由返回軌道，并成功返回地球。

自由返回軌道的研究開始于20世紀(jì)Apollo計(jì)劃時(shí)期，文獻(xiàn)[4]采用雙二體模型和圓錐曲線拼接方法求解繞月自由返回軌道。隨后文獻(xiàn)[5]結(jié)合圓錐曲線拼接和多體模型設(shè)計(jì)繞月自由返回軌道并進(jìn)行參數(shù)對比。2010年，國內(nèi)文獻(xiàn)[6]基于雙二體假設(shè)給出了自由返回軌道設(shè)計(jì)流程。文獻(xiàn)[7]基于雙二體模型先采用粒子群算法進(jìn)行全局優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]在雙二體模型下以能量匹配計(jì)算初值，完成了自由返回軌道發(fā)射彈道拼接和落點(diǎn)位置匹配。文獻(xiàn)[9]在雙二體假設(shè)下通過4段二體軌道拼接完成自由返回軌道初值設(shè)計(jì)，用序列二次規(guī)劃求解精確軌道和滿足停泊軌道入軌相位的窗口。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[8]求解思路基礎(chǔ)上采用序列二次規(guī)劃構(gòu)造兩層迭代格式進(jìn)行求解。除了雙二體模型外，圓型限制性三體模型也廣泛應(yīng)用于自由返回軌道求解。文獻(xiàn)[11-12]基于圓型限制性三體模型定義了對稱自由返回軌道，并系統(tǒng)研究了自由返回軌道的軌道優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[13]以對稱自由返回軌道為基礎(chǔ)，通過改變近月點(diǎn)z軸方向的位置和速度求解滿足不同出發(fā)點(diǎn)、近月點(diǎn)和返回點(diǎn)高度的自由返回軌道。偽狀態(tài)模型[14-15]也可用于自由返回軌道初值求解。此外，文獻(xiàn)[16]根據(jù)自由返回軌道的對稱特性，直接在高精度模型中搜索自由返回軌道。

以上文獻(xiàn)大多針對飛行時(shí)間為6天左右的Apollo式自由返回軌道，沒有對整個(gè)地月空間不同近地點(diǎn)高度、不同近月點(diǎn)高度以及不同飛行時(shí)間的自由返回軌道進(jìn)行全面分析。文獻(xiàn)[17]在三體模型給出不同類型對稱自由返回軌道的地月轉(zhuǎn)移入射速度增量和飛行時(shí)間等軌道參數(shù)特性，但較少討論其軌道生成方法。文獻(xiàn)[18]以二體模型初值猜測和三體模型數(shù)值計(jì)算逐步生成滿足近月點(diǎn)高度和再入約束的自由返回軌道，但求解過程較復(fù)雜。

為研究整個(gè)地月空間多類型自由返回軌道特性，本文直接在三體模型下進(jìn)行求解，飛行時(shí)間由終端點(diǎn)航跡角自動確定，依據(jù)自由返回軌道對稱特性僅將近月點(diǎn)的地心旋轉(zhuǎn)系y軸速度作為控制變量，基于月球逃逸速度估計(jì)控制變量初值。同時(shí)，提出不同地心和月心運(yùn)行方向的對稱自由返回軌道搜索策略，采用微分修正算法進(jìn)行求解并分析不同近地點(diǎn)高度和近月點(diǎn)高度下自由返回軌道的軌道特性，以選擇適合地月空間人員運(yùn)輸任務(wù)的自由返回軌道類型。

1 系統(tǒng)模型

在圓型限制性三體假設(shè)下建立航天器在地心旋轉(zhuǎn)系下的二維極坐標(biāo)動力學(xué)方程[19]

(1)

式中：(r,θ,vr,vθ)為地心旋轉(zhuǎn)系下航天器的極徑、極角、徑向速度和橫向速度(如圖1所示)；Rm=(r2-2drcosθ+d2)1/2為航天器的月心距，d=384 400 km為地月距離；μE和μM分別為地球和月球的引力常數(shù)；ω為月球公轉(zhuǎn)角速度。式(1)可作為自由返回軌道設(shè)計(jì)的狀態(tài)方程。

圖1 地心旋轉(zhuǎn)系

自由返回軌道的飛行過程如圖2所示：航天器從地球停泊軌道A點(diǎn)出發(fā)，施加地月轉(zhuǎn)移入射(Translunar Injection，TLI)速度增量ΔV，進(jìn)入自由返回軌道；航天器地月轉(zhuǎn)移飛行至近月點(diǎn)B時(shí)，距月面高度hB；航天器在月球附近借助月球引力改變飛行方向，之后沿月地轉(zhuǎn)移軌道返回近地點(diǎn)C，對應(yīng)的地面高度和航跡角分別為hC和γC。

圖2 自由返回軌道示意圖Fig.2 Sketch map of free-return trajectory

對于自由返回軌道，設(shè)出發(fā)近地點(diǎn)A的初始時(shí)刻為tA，近月點(diǎn)B時(shí)刻為tB，近地點(diǎn)C時(shí)刻為tC，則其初始條件和目標(biāo)約束可分別表示為

(2)

(3)

式中：RE和RM分別為地球和月球的半徑；γ為航天器相對地球的航跡角；R和V分別為地心慣性系下航天器的位置速度矢量；rm和γm為航天器相對月球的極徑和航跡角；Rm和Vm分別為月心慣性系下航天器的位置速度矢量。

2 對稱自由返回軌道設(shè)計(jì)

2.1 求解模型

對于對稱自由返回軌道，其出發(fā)點(diǎn)地心高度與返回點(diǎn)地心高度相等，航跡角均為0°。由文獻(xiàn)[19]可知，對稱自由返回軌道的近月點(diǎn)位于地心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系x軸上。相比于一般地月轉(zhuǎn)移軌道[20]，對稱自由返回軌道的近月點(diǎn)約束更嚴(yán)格，敏感性更強(qiáng)，如果直接設(shè)計(jì)近地點(diǎn)狀態(tài)，則收斂區(qū)間小，不易收斂。為此，本文以近月點(diǎn)參數(shù)作為控制變量，通過軌道逆推得到近地點(diǎn)狀態(tài)以匹配出發(fā)點(diǎn)軌道參數(shù)，以降低自由返回軌道搜索過程敏感性。

根據(jù)對稱自由返回軌道近月點(diǎn)位于地心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系x軸上的特性可知，θ(tB)=0，vr(tB)=0。將近月點(diǎn)高度約束作為初始條件，以月心逆行為例，則r(tB)=d+RM+hB。唯一不確定的狀態(tài)變量為vθ(tB)，可將其數(shù)值vθB作為控制變量。

為減少控制變量個(gè)數(shù)，提高搜索速度，不將近月點(diǎn)B到出發(fā)點(diǎn)A的軌道逆推的飛行時(shí)間tBA作為控制變量，而通過航天器相對地心的航跡角作為軌道逆推到出發(fā)點(diǎn)A的終止條件，如下式所示。

(4)

軌道逆推的終端約束為出發(fā)點(diǎn)的地心距r(tA)=RE+hA。通過以上轉(zhuǎn)換，可將對稱自由返回軌道求解轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，控制變量為vθB，目標(biāo)約束為r(tA)=RE+hA，狀態(tài)方程見式(1)，軌道逆推終止條件見式(4)。

2.2 初值估計(jì)

初值估計(jì)的精度直接影響自由返回軌道搜索的收斂性。本文以自由返回軌道近月點(diǎn)處月球逃逸軌道速度來近似估計(jì)控制變量vθB。

(5)

2.3 搜索策略

由于搜索流程大幅降低了自由返回軌道的敏感性，本文采用一般微分修正算法對自由返回軌道進(jìn)行求解

(6)

式中：M=?r(tA)/?vθB，可通過線性攝動法數(shù)值計(jì)算得出，k表示當(dāng)前迭代代數(shù)，k+1表示下一代迭代代數(shù)。

對于二維自由返回軌道，滿足相同近地點(diǎn)軌道高度和近月點(diǎn)軌道高度的軌道共有4種類型：地心順行月心逆行、地心逆行月心逆行、地心順行月心順行和地心逆行月心順行。(與地心旋轉(zhuǎn)系的旋轉(zhuǎn)方向相同為順行，反之為逆行。以圖2為例，其描繪的自由返回軌道為地心順行月心逆行軌道。)

對于月心順行和逆行的情況，本文通過設(shè)置近月點(diǎn)時(shí)刻的極徑大小來進(jìn)行區(qū)分：

(7)

對于地心順行和逆行的情況，使用出發(fā)點(diǎn)時(shí)刻極徑約束不能直觀進(jìn)行區(qū)分，本文設(shè)置如下形式的出發(fā)點(diǎn)極徑約束：

r*(tA)=Hz(tA)·r(tA)

(8)

式中：Hz(tA)為航天器在出發(fā)點(diǎn)時(shí)刻tA地心旋轉(zhuǎn)系下角動量單位矢量的z軸分量，其正負(fù)可表征地心的順逆行方向。通過以上定義，可通過修正的出發(fā)點(diǎn)極徑r*(tA)來區(qū)分地心順逆行：

(9)

2.4 算法流程

利用前述方法搜索自由返回軌道的步驟為：①根據(jù)自由返回軌道月心運(yùn)行方向和式(7)設(shè)置近月點(diǎn)初始狀態(tài)；②根據(jù)自由返回軌道地心運(yùn)行方向和式(9)設(shè)置近地點(diǎn)終端約束；③由式(5)進(jìn)行控制變量vθB初值估計(jì)；④以式(1)為狀態(tài)方程從近月點(diǎn)B軌道逆推至近地點(diǎn)A，計(jì)算近地距r*(tA)的誤差；⑤由式(6)修正控制變量vθB直至得到滿足目標(biāo)約束的自由返回軌道。最終得到的自由返回軌道即為指定月心和地心運(yùn)行方向的自由返回軌道。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 4種類型軌道搜索

設(shè)近地軌道高度hA=200 km，環(huán)月軌道高度hB=100 km，仿真動力學(xué)模型為圓型限制性三體模型(只含地球引力和月球引力)，采用以上自由返回軌道設(shè)計(jì)方法可快速搜索到4種不同地心和月心運(yùn)行方向的自由返回軌道，如表1和圖3～圖6所示。由仿真結(jié)果可知，月心順行自由返回軌道的飛行時(shí)間遠(yuǎn)大于月心逆行自由返回軌道，前者飛行軌跡長且遠(yuǎn)離地月空間，受太陽引力攝動影響更大；地心順行自由返回軌道的地月轉(zhuǎn)移入射速度增量略小于地心逆行自由返回軌道。

對于載人月球探測等需要再入地球的實(shí)際工程任務(wù)，自由返回軌道點(diǎn)A和點(diǎn)C不再對稱，此時(shí)C點(diǎn)為再入點(diǎn)，航跡角γC為再入角，并不為0。以本文對稱自由返回軌道求得的出發(fā)點(diǎn)A狀態(tài)(θ(tA),vθ(tA))作為初值，進(jìn)行微分修正迭代計(jì)算，即可得到滿足再入約束的自由返回軌道。以地心順行月心逆行軌道為例，對稱自由返回軌道狀態(tài)值為θ(tA)=227.24°，vθ(tA)=10.924 7 km/s。設(shè)再入高度hC=120 km，再入角γC=-6.0°，搜索到的滿足再入約束的自由返回軌道實(shí)際狀態(tài)值為θ(tA)=227.22°，vθ(tA)=10.924 8 km/s。由搜索結(jié)果知，初值非常接近真實(shí)值，搜索過程很快收斂。

表1 4種類型自由返回軌道搜索結(jié)果

圖3 地心順行月心逆行對稱自由返回軌道Fig.3 Symmetrical free-return trajectory with prograde in perigee and retrograde in perilune

圖4 地心逆行月心逆行對稱自由返回軌道Fig.4 Symmetrical free-return trajectory with retrograde in perigee and retrograde in perilune

圖5 地心順行月心順行對稱自由返回軌道Fig.5 Symmetrical free-return trajectory with prograde in perigee and prograde in perilune

圖6 地心逆行月心順行對稱自由返回軌道Fig.6 Symmetrical free-return trajectory with retrograde in perigee and prograde in perilune

3.2 軌道特性分析

考慮到未來地月空間可能在不同軌道高度的近地軌道和環(huán)月軌道分別設(shè)置空間站，應(yīng)全面分析不同近地點(diǎn)高度和近月點(diǎn)高度的對稱自由返回軌道的軌道特性。首先，設(shè)近月點(diǎn)高度hB=100 km，近地點(diǎn)高度范圍為hA=200～35 786 km(LEO～GEO范圍)，分析4種類型對稱自由返回軌道的軌道參數(shù)隨近地點(diǎn)高度的變化情況，如圖7所示。由圖7(a)可知，地月轉(zhuǎn)移入射速度增量ΔV隨近地點(diǎn)高度的增加而逐漸降低，變化范圍約為3.2～1.1 km/s，4種類型軌道的ΔV數(shù)值相差不大。由圖7(b)可知，總飛行時(shí)間隨近地點(diǎn)高度的增加而逐漸增加，其中月心順行軌道飛行時(shí)間遠(yuǎn)大于月心逆行軌道，前者飛行時(shí)間范圍為27～38 d，后者飛行時(shí)間范圍約為6 d。

其次，設(shè)近地點(diǎn)高度hA=200 km，近月點(diǎn)高度范圍為hB=100～20 000 km，分析4種類型對稱自由返回軌道的軌道參數(shù)隨近月點(diǎn)高度的變化情況，如圖8所示。由圖8(a)可知，地月轉(zhuǎn)移入射速度增量ΔV隨近月點(diǎn)高度的增加而逐漸降低，變化范圍不大，約為3.16～3.14 km/s，前期地心逆行軌道ΔV較大，后期月心逆行軌道ΔV較大，但總體來說量級相差不大。由圖8(b)可知，月心順行軌道總飛行時(shí)間隨近月點(diǎn)高度的增加而逐漸減小，變化范圍約為30～10 d；月心逆行軌道總飛行時(shí)間隨近月點(diǎn)高度的增加而逐漸增加，變化范圍約為6～10 d。

圖8 對稱自由返回軌道的速度增量和飛行時(shí)間隨近地點(diǎn)高度變化曲線

4 結(jié)束語

本文針對載人月球探測任務(wù)和地月空間人員運(yùn)輸任務(wù)需求，基于圓型限制性三體模型提出了一種地月空間對稱自由返回軌道設(shè)計(jì)方法。該方法收斂速度快，單次搜索時(shí)間僅為2 s左右；魯棒性強(qiáng)，可適應(yīng)近地點(diǎn)高度200～35 786 km和近月點(diǎn)高度100～20 000 km大范圍變化的對稱自由返回軌道求解；同時(shí)可搜索出指定地心和月心運(yùn)行方向的自由返回軌道。利用該方法分析了不同近地點(diǎn)和近月點(diǎn)高度的自由返回軌道特性。結(jié)果表明：近地點(diǎn)高度主要影響地月轉(zhuǎn)移入射速度增量，近地點(diǎn)高度越高，速度增量越?。唤曼c(diǎn)高度主要影響飛行時(shí)間，近月點(diǎn)高度越高，月心逆行軌道飛行時(shí)間越長，而月心順行軌道飛行時(shí)間越短。

對于對稱自由返回軌道，月心逆行軌道飛行時(shí)間約為6 d，明顯低于月心順行軌道約30 d的飛行時(shí)間，更適合載人飛行的時(shí)間約束。同時(shí)，地心順行軌道所需地月轉(zhuǎn)移入射速度增量小，可節(jié)省變軌推進(jìn)劑消耗；且地心順行軌道能有效利用地球自轉(zhuǎn)速度，降低了對火箭運(yùn)載能力的需求。因此，地心順行月心逆行的自由返回軌道是地月空間人員運(yùn)輸軌道的最佳選擇。