多群體機(jī)械振子中的奇異態(tài)

魏高榮

【摘 要】研究多群體機(jī)械振子系統(tǒng)中的奇異態(tài)和等分相位的相同步。本文通過(guò)調(diào)節(jié)群體間節(jié)拍器自然頻率和耦合強(qiáng)度來(lái)研究多群體的集體動(dòng)力學(xué)特性。在多群體環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)群體個(gè)數(shù)為3時(shí)，隨著耦合強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)會(huì)逐漸出現(xiàn)等分相位的相同步，奇異態(tài)和完全同步;而當(dāng)群體個(gè)數(shù)超過(guò)3時(shí)，奇數(shù)群體系統(tǒng)會(huì)隨著耦合強(qiáng)度的增大，逐漸出現(xiàn)等分相位的相同步，奇異態(tài)，等分相位的相同步，奇異態(tài)，完全同步;偶數(shù)群體隨著耦合強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)反向相位的相同步，奇異態(tài)，等分相位的相同步，奇異態(tài)，完全同步。在多群體鏈狀網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)群體個(gè)數(shù)為3時(shí)，隨著耦合強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)會(huì)逐漸出現(xiàn)反向同步，奇異態(tài)，完全同步;而當(dāng)群體個(gè)數(shù)超過(guò)3時(shí)，系統(tǒng)的相圖會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜。通過(guò)觀察序參量在復(fù)平面上的分布圖、序參量的隨時(shí)演化圖以及歸一化的角頻率圖，我們將對(duì)不同動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，并給出了不同節(jié)拍器頻率下，調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度時(shí)兩種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲邢到y(tǒng)不同動(dòng)力學(xué)區(qū)域的相圖。

【關(guān)鍵詞】奇異態(tài);機(jī)械振子;相位同步

中圖分類(lèi)號(hào)： O437 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）36-0116-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.36.053

0 引言

近年來(lái)，關(guān)于Kuramoto相位振子模型的研究[1]揭示了“奇異態(tài)”的可能性，在同一時(shí)刻，系統(tǒng)中的一部分振子處于同步狀態(tài)而另一部分振子處于去同步狀態(tài)，這種集體的行為被Abrams[2]稱(chēng)為奇異態(tài)。奇異態(tài)最初是在非局部耦合振蕩器中發(fā)現(xiàn)的，后來(lái)在全局耦合振蕩器實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了奇異態(tài)。之后1980年Winfree[3]研究了振蕩同步問(wèn)題，這是奇異態(tài)問(wèn)題關(guān)鍵性工作。自此，大量同步現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)。關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)同步理論的研究，以及對(duì)各種隨機(jī)干擾源和不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞耐椒治龊脱芯?，為奇異態(tài)奠定了大量的理論基礎(chǔ)。

奇異態(tài)在光學(xué)實(shí)驗(yàn)，生物實(shí)驗(yàn)以及機(jī)械實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證。在2013年，Martens和他的實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)兩個(gè)群體的機(jī)械振子耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)奇異態(tài)[4]，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)反向同步，當(dāng)耦合強(qiáng)度逐漸增大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)奇異態(tài)。Hagerstrom通過(guò)液晶光調(diào)制器實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了光學(xué)耦合映射晶格中的奇異態(tài)。2016年，Blaha[5]和他的研究團(tuán)隊(duì)在Martens工作基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了三群體鏈狀的機(jī)械振子系統(tǒng)，來(lái)研究奇異態(tài)。Omli等人在機(jī)械擺實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了處于混沌狀態(tài)的奇異態(tài)行為。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)每個(gè)群體中的節(jié)拍器只有三個(gè)時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生奇異態(tài)。此外，當(dāng)群體間的耦合不對(duì)稱(chēng)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)很容易出現(xiàn)奇異態(tài)。H.Ulrichs等人在實(shí)驗(yàn)中對(duì)節(jié)拍器的同步與混沌也有一些新的發(fā)現(xiàn)，推動(dòng)了復(fù)雜系統(tǒng)關(guān)于同步理論的研究。

本文主要研究環(huán)狀多群體和鏈狀機(jī)械振子拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中的奇異態(tài)和等分相位的相同步?？紤]到振蕩器自然頻率和耦合系數(shù)不同，我們將固定群體間的振蕩器自然頻率，通過(guò)調(diào)整耦合系數(shù)和節(jié)拍器的參數(shù)與本征頻率來(lái)觀察奇異態(tài)和等分相位的相同步。本文首先給出系統(tǒng)的模型和初始條件，然后通過(guò)調(diào)整參數(shù)和群體數(shù)量來(lái)分析我們的數(shù)值模擬結(jié)果，最后總結(jié)從我們的數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)的相關(guān)現(xiàn)象。

圖1 機(jī)械振子系統(tǒng)的理論模型示意圖

1 模型

我們?cè)谙惹暗囊恍C(jī)械振子拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)[5]的奇異態(tài)研究基礎(chǔ)之上，將兩群體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到三群體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，并在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行了多群體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的研究。圖1是三群體機(jī)械振子理論模型示意圖，模型有三個(gè)托盤(pán)，每個(gè)托盤(pán)可容納15個(gè)節(jié)拍器。k1、k2、k3表示群體間的耦合強(qiáng)度，Φ1、Φ2和Φ3表示群體1、2和3的偏角。

其動(dòng)力學(xué)方程由以下的方程進(jìn)行控制：

■

其中i表示每個(gè)種群中節(jié)拍器的數(shù)量。k1、k2和k3是耦合系數(shù)。■表示每個(gè)群體中節(jié)拍器的偏角。二階導(dǎo)代表慣量項(xiàng)，ω表示節(jié)拍器的特征頻率。μs和μm表示節(jié)拍器和托盤(pán)的耗散，θ0初始偏角，■特征頻率有關(guān)的參數(shù)。

2 數(shù)值模擬

前期我們做了很多組數(shù)值模擬進(jìn)行數(shù)據(jù)觀察，分別做了3群體，4群體，5群體，6群體，7群體，8群體9群體網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋽?shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。為了方便成果的展示，在本節(jié)中我們將選取3群體和6群體環(huán)狀結(jié)構(gòu)的機(jī)械振子網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，他們的初始條件分別為{DDS，DDDDS，DDDDDS}，其中S表示同步群體，D表示非同步群體，非同步群體中節(jié)拍器的初始偏角由隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成。每個(gè)群體中節(jié)拍器的數(shù)量都是15。我們使節(jié)拍器的初始位移角在區(qū)間[-19。，19。]內(nèi)隨機(jī)均勻分布，設(shè)定了同步群體的初始條件■。托盤(pán)和節(jié)拍器初始速度設(shè)為零，■，我們還設(shè)定k1=k2=k3=k。我們固定節(jié)拍器的頻率f，通過(guò)調(diào)節(jié)耦合系數(shù)k來(lái)觀察各群體機(jī)械振子網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)演化。

圖2

圖2不同耦合強(qiáng)度的3群體環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)演化圖。最左邊的一列是節(jié)拍器的隨時(shí)演化圖，中間一列是序參量Z在復(fù)平面上的分布圖，最右邊一列是序參量的模。（a），（b）和（c）k=4，等分相位的相同步;（d），（e）和（f）k=17.5，奇異態(tài);（g），（h）和（i）k=25完全同相同步。三個(gè)群體的顏色分別問(wèn)綠色，藍(lán)色和紅色。

首先，我們固定節(jié)拍器的自然頻率f=208bpm，通過(guò)調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度k來(lái)觀察系統(tǒng)的變化。在圖2（a）中，我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)群體以同樣的相位差2π/3分別同步，我們稱(chēng)為等分相位的相同步。為了測(cè)量各群體中機(jī)械振蕩器的相干度，我們引入了序參量Zσ（t）和序參量的模Z，其中σ=1，2，3分別1群體，2群體和3群體，當(dāng)序參量的模Z=1時(shí)，表示群體呈同步狀態(tài);當(dāng)序參量的模Z<1時(shí)，表示群體呈相干態(tài)。圖2（b）是序參量在復(fù)平面上的圖，Z1，Z2和Z3呈2π/3相位差均勻地落在圓上;在圖2（c）中可以觀察到，同步群體序參量的模Z3恒等于1（紅色），非同步群體序參量的模Z1（綠色），Z2（藍(lán)色）隨時(shí)間演化從0逐漸增長(zhǎng)到1，最終等于1。當(dāng)耦合強(qiáng)度k增長(zhǎng)到17.5時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為奇異態(tài)如圖2（d）所示，而圖2（e）和圖2（f）是k=17.5對(duì)應(yīng)的序參量和序參量的模。群體2和群體3的序參量落在圓上，群體1在群內(nèi)，相應(yīng)的序參量的模Z1在不停地震蕩，表明群體1是不同步的，而群體2和群體3是同步的。

我們繼續(xù)增加耦合強(qiáng)度k到25，系統(tǒng)進(jìn)入完全同步狀態(tài)，此時(shí)三個(gè)群體完全同步如圖2（g）所示，我們還可以從圖2（h）中也可以清楚地觀察到系統(tǒng)進(jìn)入完全同步狀態(tài)。

圖3

圖3不同耦合強(qiáng)度的6群體環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)演化圖。前5個(gè)群體是非同步群體，他們的顏色分別為黑色，藍(lán)色，綠色，橙色和紫色，第6個(gè)群體是同步群體，他的顏色是紅色，節(jié)拍器的頻率f=160bpm。（a），（b）和（c）k=2，反相同步;（d），（e）和（f）k=7.5，等分相位的相同步;（g），（e）和（i）k=15.5，奇異態(tài);（j），（k）和（l）k=20，完全同相同步。

首先，我們?cè)O(shè)定k的值為2。在圖3（a）中，我們觀察到系統(tǒng)呈現(xiàn)反向同步，其中1，2，3群體和4，5，6群體分別同步。在圖3（b）中，我們發(fā)現(xiàn)Z1，2，3和Z4，5，6分別落在圓的兩側(cè)。其中6群體序參量的模Z6恒等于1，而Z1，2，3，4，5快速地從0增長(zhǎng)到1。我們繼續(xù)將耦合強(qiáng)度k增加到7.5，如圖3（d）所示，系統(tǒng)表現(xiàn)為等分相位相同步，系統(tǒng)的序參量以相位差為π/3分布在圓上。

我們繼續(xù)增加耦合強(qiáng)度k的值到15.5，系統(tǒng)表現(xiàn)為奇異態(tài)。如圖3（g）所示，紅色群體始終保持同步，而其余5個(gè)群處于混亂狀態(tài)。從序參量在復(fù)平面的圖中，我們發(fā)現(xiàn)紅色群體坐落在圓邊上，黑色和紫色群體完全在圓內(nèi)，而綠色藍(lán)色和橙色群體在圓邊界線周?chē)?我們觀察序參量的模圖3（i），黑色和紫色群體一直在1以下振蕩，而其余群體最終會(huì)達(dá)到1。最后，繼續(xù)增加k的值到完全同步狀態(tài)，此時(shí)所有群體都處于同步狀態(tài)。

圖4

圖4數(shù)值模擬相圖，（a）3群體鏈狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，初始條件是DDS;（b）3群體環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，初始條件是DDS;（c）6群體鏈狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，初始條件是DDSDDD;（d）6群體環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，初始條件是DDDDDS。顏色表示從數(shù)值模擬中推斷出的相位區(qū)域，紅色表示完全同步，綠色表示奇異態(tài)，橙色表示等分相位的相同步，紫色表示相干態(tài)，藍(lán)色表示反向同步。相圖的橫坐標(biāo)是耦合強(qiáng)度k，縱坐標(biāo)表示節(jié)拍器的自然頻率f。

圖4顯示了不同節(jié)拍器頻率下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和耦合強(qiáng)度的關(guān)系圖。左邊三幅圖是鏈狀網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，右邊三幅圖是環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。如圖4（a），（b）所示，在三群體鏈狀網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，隨著耦合強(qiáng)度的增加，鏈狀系統(tǒng)依次表現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，完全同步;而環(huán)狀依次表現(xiàn)為等分相位等相同步，奇異態(tài)，完全同步。隨著群體數(shù)目的增加，系統(tǒng)的相圖會(huì)變得復(fù)雜一些。如圖4（c），（d）所示，在鏈狀6群體拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，系統(tǒng)依次表現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，反向同步，奇異態(tài)，相干態(tài)，奇異態(tài)，完全同步;在環(huán)狀6群體拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，系統(tǒng)依次表現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，等分相位等相同步，奇異態(tài)，完全同步。

3 結(jié)論

在本文中，我們研究了多群體機(jī)械振子環(huán)狀拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和鏈狀拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。我們?cè)诃h(huán)狀群體數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)在奇數(shù)群體中，當(dāng)系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度足夠小時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為等分相位相同步，而在偶數(shù)群體中，系統(tǒng)則先表現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，然后才是等分相位相同步。對(duì)于3群體，系統(tǒng)會(huì)隨著耦合強(qiáng)度的增加依次表現(xiàn)為等分相位等相同步，奇異態(tài)，完全同步。當(dāng)系統(tǒng)的群體數(shù)量大于3時(shí)，奇數(shù)群體的相圖依次表現(xiàn)為等分相位的相同步，奇異態(tài)，等分相位等相同步，奇異態(tài)，完全同步;偶數(shù)群體相圖依次表現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，等分相位等相同步，奇異態(tài)，完全同步。

我們?cè)趯?duì)鏈狀群體數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于3群體，系統(tǒng)會(huì)隨著耦合強(qiáng)度的增加依次表現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，完全同步。群體數(shù)量超過(guò)3時(shí)，系統(tǒng)的相圖會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜，相圖區(qū)域則大體相同。如圖4（c）所示，隨著耦合強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)依次變現(xiàn)為反向同步，奇異態(tài)，反向同步，奇異態(tài)，相干態(tài)，奇異態(tài)，最后進(jìn)入完全同步。

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