相約導(dǎo)數(shù)三類不等式問題

■江蘇省太倉市明德高級中學(xué) 王佩其

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究不等式問題是一類重要的題型，其實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性。此類題型將函數(shù)、不等式緊密結(jié)合起來，考查同學(xué)們綜合解決問題的能力，屬于較難的題目。下面讓我們一起來探究三類利用導(dǎo)數(shù)破解的不等式問題。

一、利用導(dǎo)數(shù)解不等式

例1函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)=2，對任意x∈R，f(x)+f'(x)＞1，則不等式exf(x)＞ex+1的解集為____。

解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)-ex，利用它的單調(diào)性解不等式。

因為g'(x)=ex·f(x)+ex·f'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)]-ex＞ex-ex=0，所以g(x)=exf(x)-ex為R上的增函數(shù)。

又因為g(0)=e0·f(0)-e0=1，所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)＞g(0)，解得x＞0。

故不等式的解集為{x|x＞0}。

點評：求解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解原不等式。

二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例2已知函數(shù)f(x)=ex-x2。

(1)求曲線f(x)在x=1處的切線方程;

解析：(1)f'(x)=ex-2x，由題設(shè)得f'(1)=e-2，f(1)=e-1。

故f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1。

(2)f'(x)=ex-2x，f″(x)=ex-2，故f'(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，+∞)上單調(diào)遞增。所以f'(x)≥f'(ln2)=2-2ln2＞0，f(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(0，1]時，f(x)max=f(1)=e-1。

f(x)過點(1，e-1)，且y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1，故可猜測:當(dāng)x＞0，且x≠1時，f(x)的圖像恒在切線y=(e-2)x+1的上方。

證明:當(dāng)x＞0時，f(x)≥(e-2)x+1。

設(shè)g(x)=f(x)-(e-2)x-1，x＞0，則g'(x)=ex-2x-(e-2)，g″(x)=ex-2。

因此，g'(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln

2，+∞)上單調(diào)遞增。

又g'(0)=3-e＞0，g'(1)=0，0＜ln2＜1，故g'(ln2)＜0。所以存在x0∈(0，ln2)，使得g'(x0)=0。

因此，當(dāng)x∈(0，x0)∪(1，+∞)時，g'(x)＞0;當(dāng)x∈(x0，1)時，g'(x)＜0。故g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增。

又g(0)=g(1)=0，故g(x)=ex-x2-(e-2)x-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號。

點評：1.解本題的關(guān)鍵是第一問結(jié)論對第二問的證明鋪平了路，只需證明。所以利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時，要進行適當(dāng)?shù)淖冃危貏e是變形成與第一問相似或相同形式時，將有利于快速證明。

2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略

(1)構(gòu)造差函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，根據(jù)差函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式。

(2)根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)。一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。

三、導(dǎo)數(shù)與不等恒成立問題

例3已知函數(shù)f(x)=x2-2xalnx，g(x)=ax。

(1)求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的極值;

解析：(1)F(x)=x2-2x-alnx+ax，則F'(x)=，并且F(x)的定義域為(0，+∞)。

極大值F(x)極小值=

綜上可知:當(dāng)a≥0時，F(xiàn)(x)極小值=a-1，F(xiàn)(x)無 極 大 值;當(dāng)-2＜a＜0時，F(xiàn)(x)極大值=），F(xiàn)(x)極小值=a-1;當(dāng)a=-2時，F(xiàn)(x)沒有極值;當(dāng)a＜-2時，F(xiàn)(x)=a-1，F(xiàn)(x)=a-

極大值極小值-aln（-）。

存在x0∈（ 0 ，），使得x∈(0，x0)時，T'(x)＜0，T(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，故T(x0)＜T(0)=0，即當(dāng)x∈(0，x0)時，h(x)＜0，不滿足條件。

點評：已知不等式恒成立時求參數(shù)取值范圍問題，如果能夠分離參數(shù)，則分離參數(shù)后可以把問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，在分離參數(shù)時，不能一次分離則可以進行分類處理；如果不能分離，則采用分類討論思想，利用導(dǎo)數(shù)分別考察構(gòu)造的新函數(shù)的最值情況。