高考中函數(shù)含參量不等式恒成立問題的解題*

江蘇省揚州大學數(shù)學科學學院(225002) 于丹丹 濮安山

一、直接求導，確定參數(shù)范圍

在做過大量函數(shù)相關(guān)問題后，學生們一定會意識到求導對于這類題型的重要性，一般情況下，“求導”的步驟是學生們一定會想到的，然而求導后呢，該如何判斷和處理呢?

(一)參數(shù)看成已知，根據(jù)極值點判斷

例1已知函數(shù)f(x) = a(x2-1)-ln x，若f(x) ≥0，在[1,+∞)上恒成立，求a 范圍.

思路探索f(x) ≥0 在[1,+∞)上恒成立，那么就可以轉(zhuǎn)化為在[1,+∞)求函數(shù)f(x)的最小值， 使其最小值大于等于零即可.求函數(shù)最大值問題，也就是對該函數(shù)求導，之后觀察導函數(shù)，確定極值點，通過極值點與x 的取值范圍確定參數(shù)范圍進行討論，進而判斷函數(shù)取最大值時x 的值，從而求出參數(shù)范圍.

解

1)當a ≤0 時，f′(x) ＜0，所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，當x ＞1 時，則有f(x)＜f(1)=0，與題干矛盾，舍去.

該題無需對原函數(shù)或是導函數(shù)進行變換轉(zhuǎn)化， 直接進行求導， 通過觀察導函數(shù)小于零(或大于零)， 對參數(shù)進行分情況討論， 進而確定參數(shù)符合題意的范圍.在09年全國高考II 卷(文) 中就有這樣一道題： 已知函數(shù)-(1+a)x2+4ax+24a(a ＞1)，1)討論f(x)的單調(diào)性; 2)x ≥0，f(x) ＞0 恒成立，求a 范圍.這道題中的2)問采用的思路就是直接進行求導，觀察導函數(shù)的形式，分情況討論，從而確定參數(shù)的范圍.其實這類函數(shù)的導函數(shù)都比較特殊，導函數(shù)中一般存在二次函數(shù)的形式，可以通過二次函數(shù)的特殊性，對參數(shù)進行分情況討論，進而得出結(jié)論.這種策略是較為簡單易懂的，若是導函數(shù)較為復(fù)雜該如何處理呢?我們看下面這樣一道例題.

(二)充分理解題目，注意兩問間聯(lián)系

例2(2010年高考全國I 卷理科) 已知函數(shù)f(x) =ex-1-x-ax2.

1) a=0 時，求f(x)單調(diào)區(qū)間;

2) x ≥0 時，f(x)≥0 恒成立，求a 范圍.

思路探索直接對這個函數(shù)求導，會發(fā)現(xiàn)，導函數(shù)中存在指數(shù)函數(shù)又存在一次函數(shù)，本身確定極值點很困難，更無法利用極值點來判斷參數(shù)范圍了，但是通過1)問中，我們可以得到f(0) = 0，再結(jié)合我們的原函數(shù)的導函數(shù)，選取對我們有用的信息，從而對參數(shù)分情況討論，確定范圍.

解1) a = 0 時，函數(shù)為f(x) = ex-1-x，導函數(shù)為f′(x) = ex-1，當x ∈(-∞,0)時，f′(x) ＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x ∈(0,+∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

2) 對原函數(shù)求導為f′(x)=ex-1-2ax，

①由1) 中知道ex≥1+x， 當且僅當x = 0 時等號成立(且ex為指數(shù)函數(shù)， 呈“爆炸”式增長).所以導函數(shù)f′(x) = ex-1-2ax ≥x-2ax = (1-2a)x， 且x ≥0.當1-2a ≥0， 即時， f′(x) ＞0， 函數(shù)f(x) 在區(qū)間[0,+∞)單調(diào)遞增，則有當x ∈[0,+∞)時，f(x)≥f(0)=0，符合題意;

②由ex＞1+x(x0)，可得e-x＞1-x(x0)，當1-2a ＜0，即時，f′(x) ＜ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)，故當x ∈(0,ln 2a)時，f′(x) ＜0，而f(0) = 0，于是當x ∈(0,ln 2a)時，f(0) ＜0 與題干矛盾.綜上，

這類題型在高考中一般有兩到三問的情況，且每一問并不是孤立的，隨著問題的深入，是一步步遞進的過程，存在一定連續(xù)性，有時前面一問的解答會為后面的問題提供一定的思路或是思考空間.因此，在做這類題目時，應(yīng)將各個問題連貫起來，逐步推進，達到最優(yōu)解題效率.

二、轉(zhuǎn)化變換，構(gòu)造函數(shù)

做這類題型幾乎都需要求導來完成，學生們可能會產(chǎn)生一定的固定思維，就是面對該類函數(shù)問題，首先想到的就是對原函數(shù)求導，之后在進行下一步的判斷.不是說這種方法不對，可以肯定的是，需要求導，然而具體在哪步求導，什么時候求導，求導的目的是什么，一定要做到“心中有數(shù)”，同時構(gòu)造函數(shù)如何來構(gòu)造呢?

(一)分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)

分離參數(shù)是的一般想法就是將函數(shù)進行轉(zhuǎn)換，將參量分離出來，之后將參量相對的另一側(cè)構(gòu)造成一個新的函數(shù)，根據(jù)參量大于等于(或小于等于)最大值(或最小值)的形式，轉(zhuǎn)化為求構(gòu)造函數(shù)的最值問題，進而求導，求出最值，解決該問題.

例3已知函數(shù)f(x)=x ln x.

1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

解1) 略.2) 由于恒成立， 所以成立， 等價于構(gòu)造函數(shù)則令g′(x) = 0， 得所以當時， g′(x) ＜0，g(x) 單調(diào)遞減; 當時， g′(x) ＞ 0， g(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)g(x) 在處取得最小值， 即因此所求的k 的取值范圍是(-∞,1-ln 2).

我們會注意到分離參數(shù)一般是構(gòu)造一個新函數(shù)，那分離參數(shù)一定是僅構(gòu)造一個函數(shù)嗎?

例4已知函數(shù)f(x)=x ln x-mx2.

1)m=0，求f(x)的單調(diào)性;

解1) 略.2) 已知于是變形為從而即0 ＜ln x-mx ＜x-1， 整理得令則即g(x)在上是減函數(shù).所以令則當時，h′(x) ＞0， 即h(x)單調(diào)遞增; 當x ∈(e,e2)時， h′(x) ＜0，即h(x)單調(diào)遞減.而所以因此m 的范圍為

由此，對于該類解題運用分離參數(shù)的方式一般需要注意的有三點： 一是在分離參數(shù)的時候，一般不涉及不等式變號的問題;二是移項整理后，構(gòu)造的新函數(shù)一定存在最大值或是最小值(這里的最值只要是閉區(qū)間中存在最值即可);三是在運算過程中是較為簡潔易算的.滿足以上三個條件即可運用分離參數(shù)的方法(說明： 第二個條件是必須滿足的，第三個是最優(yōu)解題要求).分離參數(shù)的方法中， 我們不應(yīng)慣性思維，僅需構(gòu)造一個函數(shù)才采用這個方法，應(yīng)該根據(jù)題干條件，適當運用該方法，開拓思維.

(二)整體移項，構(gòu)造差函數(shù)

構(gòu)造差函數(shù)的思想是將不等式兩端的式子均轉(zhuǎn)化到一側(cè)，形成大于零(或是小于零)的形式，之后構(gòu)造新的函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求最值問題，在進行求解.

例5(2007年高考全國I 卷理科) 已知函數(shù)f(x) =ex-e-x.

1) 求證： f′(x)≥2;

2) 對于任意x ≥0，都有f(x)≥ax，求a 的范圍.

思路探索對于2)問， 經(jīng)過上面分離參數(shù)的方法介紹，是滿足第一點的，分離參數(shù)a，不影響不等號的判斷，但是，分離后會發(fā)現(xiàn)，新函數(shù)較為復(fù)雜且對其求導后，無法表示出極值點或是最值，因此不采用分離參數(shù)的方法.

解1)f′(x)=ex+e-x，由于2，故f′(x)≥2(當且僅當x=0 時，等號成立).

2) 令g(x) = f(x)-ax， 即g(x) = ex-e-x-ax， 則g′(x)=ex+e-x-a，由1)問知ex+e-x≥2.

①若a ≤2， 當x ＞0 時， g′(x) = ex+ e-x- a ＞2-a ≥0，故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以，x ≥0 時，g(x)≥g(0)=0，即f(x)≥ax 成立.

②若a ＞2， 當x ＞0 時， 方程g′(x) = 0 的正根為此時，若x ∈(0,x1)時，g(x)＜g(0)=0，即f(x)＜ax，與題設(shè)f(x)≥ax 矛盾.

綜上，滿足條件的a 的取值范圍是(-∞,2].

構(gòu)造差函數(shù)的思想也是做這類題的常見思想， 這類思想的本質(zhì)其實就是根據(jù)f(x) ≥0(f(x) ≤0)的形式等價于f(x)min≥0(f(x)max≤0)，之后求導，根據(jù)導函數(shù)的特點，選取參數(shù)適當?shù)姆秶M行討論，進而求解本題.這類思想也是較為容易的，不需要對原函數(shù)進行復(fù)雜轉(zhuǎn)化，然而對于有些問題采取這種方式卻是有些復(fù)雜，甚至會出現(xiàn)無法進行下一步運算的結(jié)果.此時我們可以采取另一種策略.

(三)化簡轉(zhuǎn)化，構(gòu)造部分函數(shù)

有些原函數(shù)較為復(fù)雜，直接采用上述方法，較為繁瑣，不易將問題解決，所以我們可以根據(jù)題干條件適當簡化原函數(shù)，進而在采取上述方法來解決，這類思想在運用上靈活性較強，對于學生來說也存在一定難度.

例6(2016年高考全國卷文科) 已知函數(shù)f(x) =(x+1)ln x-a(x-1).

1) 當a = 4 時，求曲線y = f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

2) 若當x ∈(1,+∞)時，f(x)＞0，求a 的取值范圍.

解1)略.2) 當x ∈(1,+∞)時，f(x) ＞0，即f(x) =(x+1)ln x-a(x-1)= (x+1)所以只需證令g(x) = ln x-則

當a ≤2 時，x2+2(1-a)x+1 ≥x2-2x+1 ＞0，所以g′(x) ＞0，則g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且g(1) = 0，因此g(x)＞g(1)=0.

當a ＞2 時，令g′(x)=0 得由x2＞1， 且x1x2= 1 得x1＜1，故當x ∈(1,x2)時，g′(x) ＜0，所以g(x)在(1,x2)時單調(diào)遞減，所以g(x)＜g(1)=0，與已知矛盾，舍去.

綜上，實數(shù)a 的取值范圍為(-∞,2].

這道題，原函數(shù)中有對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的乘積的形式，因此求導后，必然既有對數(shù)又有一次函數(shù)的形式，很難判斷導函數(shù)的正負或是極值點， 也就不能判斷參數(shù)的取值范圍，此方法很難進行，根據(jù)題目條件適當進行化簡，則使得問題簡單化，求導后的函數(shù)為二次函數(shù)的形式，更有助于我們的判斷.這種方法是較為難的，且也是高考中容易出現(xiàn)的，考察學生的綜合能力.在2010年高考全國卷I 文科試題中有這樣一道題： 已知f(x) = x(ex-1)-ax2，1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;2)x ≥0，f(x)≥0 時，求a 的范圍.在這道題中的2)也是同樣道理，原函數(shù)存在指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的乘積的形式，求導后，導函數(shù)中同樣存在指數(shù)與一次函數(shù)乘積形式，但是若提出x，函數(shù)就變?yōu)楹唵涡问?，且x 的范圍是大于等于零的，不影響不等式的判斷.這類題較難，需要學生有較強的綜合能力，但同時也提升學生面對問題時，能夠考察學生靈活運用所學知識的能力，鍛煉學生的思維.

三、總結(jié)

本篇文章主要探討函數(shù)中不等式恒成立問題中求參數(shù)取值范圍的內(nèi)容，面對這類題，一是可以直接進行求導，若導函數(shù)是二次函數(shù)或是一次函數(shù)，則可根據(jù)函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)范圍進行判斷，若較為復(fù)雜可聯(lián)系題干，找隱含條件并充分利用.二是原函數(shù)較為復(fù)雜，導函數(shù)也復(fù)雜，則采用構(gòu)造函數(shù)的思想，一般是分離參數(shù)法，構(gòu)造差函數(shù)和構(gòu)造部分函數(shù)的形式.并根據(jù)對題干的解讀，通過本文章的分析，決定選取哪個方法，從而解決問題.