基于GPS的分段式高程擬合實(shí)驗(yàn)及分析

張濤,陳夢(mèng),張丕亞

(山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東 青島 266000)

0 引 言

高程基準(zhǔn)在國(guó)民基礎(chǔ)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用,例如跨河橋梁建設(shè)中的高程基準(zhǔn)傳遞、礦區(qū)各級(jí)控制點(diǎn)的高程基準(zhǔn)傳遞[1].傳統(tǒng)的高程傳遞方法如靜力水準(zhǔn)法、動(dòng)力水準(zhǔn)法和常規(guī)大地測(cè)量等方法效率不高、精度低、且受測(cè)量環(huán)境影響較大[2].GPS測(cè)量技術(shù)具有全天候、快速、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn), GPS精密大地高測(cè)量精度可達(dá)毫米級(jí)[3],這就為GPS高程應(yīng)用提供了先決條件,于是如何將GPS測(cè)量得到的大地高轉(zhuǎn)換為高程通用的正常高成為關(guān)鍵問(wèn)題.

目前,GPS高程擬合的主要研究集中于利用諸如多項(xiàng)式曲面擬合、多面函數(shù)擬合、半?yún)?shù)擬合等模型進(jìn)行大地高與正常高的轉(zhuǎn)換[4].此外還有利用地面重力數(shù)據(jù)與GPS擬合模型相結(jié)合的組合法進(jìn)行高程擬合[5].以上方法大多專(zhuān)注于數(shù)學(xué)模型的選取與應(yīng)用,因此有模型計(jì)算經(jīng)驗(yàn)性和重力數(shù)據(jù)分布不均勻等問(wèn)題[6],本文在常用GPS高程擬合模型的基礎(chǔ)上,利用部分礦區(qū)GPS測(cè)量數(shù)據(jù),采用了分段式高程擬合的方法.通過(guò)計(jì)算得出:合理分段擬合高程的方法相較于整體式傳遞具有一定的優(yōu)越性.

1 高程擬合原理及方法

GPS測(cè)量所得高程為以參考橢球面為基準(zhǔn)的大地高(H),我國(guó)工程使用的高程為以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高(h).似大地水準(zhǔn)面與參考橢球之間的差距稱(chēng)為高程異常(h),則H與h存在如下關(guān)系:

H=h+ξ.

(1)

高程異常(ξ)主要通過(guò)函數(shù)擬合獲取,常用函數(shù)擬合方法有二次曲線法、二次曲面法、多面函數(shù)法等.

1.1 二次曲面法

曲面擬合法是認(rèn)為高程異常在一定范圍內(nèi)變化平緩的前提下,將高程異常在一定范圍內(nèi)近似看作是個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的曲面函數(shù),用這個(gè)擬合函數(shù)計(jì)算其他GPS點(diǎn)高程異常,進(jìn)而求取正常高[7].

在曲面擬合法中,設(shè)點(diǎn)的高程異常ξ和平面位置坐標(biāo)x,y有如下關(guān)系:

ξ=f(x,y)+ε.

(2)

式中:f(x,y)為ξ的中趨勢(shì)值,即擬合出的似大地水準(zhǔn)面;ε為擬合殘差[8].

對(duì)于f(x,y)通常取一個(gè)n次插值多項(xiàng)式函數(shù)

f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+

a5y2+…+anxn.

(3)

式中:a0,…，an為擬合系數(shù)；x,y為點(diǎn)的平面坐標(biāo).

式(2)的矩陣形式為

ξ=XA+ε，

(4)

式中:ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T;

A=(a0，a1，…，an)T；

ε=(ε1，ε2，…，εn)T；

對(duì)于每個(gè)已知點(diǎn)都可以列出上述方程.依最小二乘法原理,在∑ε=min條件下可解得擬合系數(shù)A=(XTX)-1(XTξ).將求得的α代入式(7)中便可求得插值點(diǎn)位的ξ,從而得到待測(cè)點(diǎn)的正常高.

其中,假定測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面為二次曲面,取式(7)的前六項(xiàng)使其更符合似大地水準(zhǔn)面的描述.則表達(dá)式為

f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+

a5y2.

(5)

1.2 多面函數(shù)法

多面函數(shù)擬合法的基本思想:任何不規(guī)則的數(shù)學(xué)表面與不規(guī)則的圓滑表面,總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面總和,以任意精度逼近[9-10].其表達(dá)式為

(6)

式中：ai為待定參數(shù);Q(x,y,xj,yj)為核函數(shù),常用的核函數(shù)為

Q(x,y,xj,yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+σ2]K,

(7)

式中,δ為光滑因子,當(dāng)K取1/2時(shí)模型為正雙曲面函數(shù),當(dāng)K為-1/2時(shí)模型為倒雙曲面函數(shù).

設(shè)有n個(gè)已知點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),選其中m(m≤n)個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(j=1,2,3,…,m)為核函數(shù)核心點(diǎn),令Q(x,y,xj,yj)=f(xi,yi,xj,yj),則有:

(8)

其誤差式的向量式為

V=Qα-ξ,

(9)

依據(jù)最小二乘原理可得:

α=(QTQ)-1QTξ.

(10)

2 高程傳遞實(shí)驗(yàn)

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本次試驗(yàn)采用某礦三等高程基準(zhǔn)傳遞測(cè)量數(shù)據(jù),測(cè)量方法采用C級(jí)GPS靜態(tài)測(cè)量與三等水準(zhǔn)測(cè)量相結(jié)合的方式.測(cè)區(qū)整體呈西高東低的走勢(shì),但高程差異不大即地形起伏不大.GPS網(wǎng)形如圖1所示,經(jīng)網(wǎng)平差與水準(zhǔn)平差計(jì)算后的各點(diǎn)大地高與正常高如表1所示.

點(diǎn)號(hào)大地高/m正常高/m高程異常/m點(diǎn)號(hào)大地高/m正常高/m高程異常/m K116.252 212.449 83.802 4K910.784 96.824 23.960 7 K219.512 15.803 53.708 5K1210.4336.436 33.996 7 K314.994 211.101 83.892 4K1310.639 86.653 63.986 2 K411.154 27.163 3.991 2K1410.609 96.672 53.937 4 K58.494 7 4.499 3.995 7K158.599 34.704 13.895 2 K611.885 87.999 83.886 K167.778 63.840 53.938 1 K711.161 47.238 93.922 5K177.068 33.105 43.962 9 K87.350 8 3.404 3.946 8

2.2 高程傳遞方案

GPS網(wǎng)形即可以作為一個(gè)整體來(lái)處理,也可以切分成幾部分處理[11].本次實(shí)驗(yàn)采用兩種方式進(jìn)行高程傳遞,即以擬合模型為基礎(chǔ)的分兩段式傳遞與以擬合模型為基礎(chǔ)的整體式傳遞,其中K1、K2、K3、K4、K5、K8、K12、K13、K14、K15為已知點(diǎn),K6、K7、K9、K16、K17為檢核點(diǎn).

2.2.1 分段式高程擬合

根據(jù)表1中各點(diǎn)高程異常可知,K1、K2、K3、K4、K14、K6點(diǎn)所在區(qū)域高程異常變化不是十分平穩(wěn)的,而其余部分區(qū)域的高程異常變化相對(duì)穩(wěn)定.故以K4點(diǎn)為界,針對(duì)左側(cè)區(qū)域高程異常變化較大的特點(diǎn)選擇多面函數(shù)擬合法,右側(cè)高程異常變化平緩區(qū)域則選用二次曲面函數(shù)擬合法.

1) 采用多面函數(shù)擬合法,以K1、K2、K3、K4、K14五個(gè)核心點(diǎn)擬合出K6點(diǎn)的高程異常并依式(1)得到其正常高;因K4、K6兩點(diǎn)距離較近且地形起伏不大,可利用K4點(diǎn)已知高程異常結(jié)合水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果檢驗(yàn)K6點(diǎn)的傳遞精度.

2) 采用二次曲面擬合法,以第一段擬合出的K4點(diǎn)的擬合值代替K6點(diǎn)的高程異常并與K4、K5、K8、K12、K13、K15共七個(gè)已知點(diǎn)擬合出K7、K9、K16、K17四個(gè)待定點(diǎn)的高程異常進(jìn)而得到正常高.

2.2.2 整體式高程擬合

1)采用多面函數(shù)擬合法,以K1、K2、K3、K4、K5、K8、K12、K13、K14、K15為已知點(diǎn)進(jìn)行擬合,以K6、K7、K9、K16、K17為檢核點(diǎn).

2)采用二次曲面擬合法,以K1、K2、K3、K4、K5、K8、K12、K13、K14、K15為已知點(diǎn)進(jìn)行擬合,以K6、K7、K9、K16、K17為檢核點(diǎn).

分段傳遞高程結(jié)果與分別采用多面函數(shù)擬合法和二次曲面擬合法的整體擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,高程傳遞實(shí)驗(yàn)流程如圖2所示.

2.3 高程傳遞結(jié)果

利用MATLAB程序,對(duì)第一段和第二段分別采用多面函數(shù)法和二次曲面擬合法進(jìn)行擬合;對(duì)整體分別采用多面函數(shù)擬合與二次曲面擬合.分段擬合結(jié)果如表2所示,整體擬合結(jié)果如表3所示.

表2 分段擬合結(jié)果

表3 整體擬合結(jié)果

2.4 精度評(píng)定

1)內(nèi)符合精度

內(nèi)符合精度M內(nèi)有如下計(jì)算式:

(11)

式中:ε為參與計(jì)算的已知點(diǎn)的擬合殘差;n為參與計(jì)算的已知點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2)外符合精度

外符合精度M外有如下計(jì)算式:

(12)

式中:ε為參與計(jì)算的檢核點(diǎn)的擬合殘差;n為參與計(jì)算的檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù).

根據(jù)表2的擬合結(jié)果計(jì)算內(nèi)符合精度與外符合精度[13],計(jì)算結(jié)果如表4所示.

表4 各傳遞方法精度對(duì)比

2.5 結(jié)果分析

依表2,分段擬合中第一段最大擬合殘差為0.013 5 m,最小擬合殘差為0.001 7 m.K4點(diǎn)與K6點(diǎn)擬合結(jié)果相差0.001 2 m,相差較小,故可以用K4點(diǎn)的擬合值代替第二段中K6點(diǎn)的擬合值作為已知點(diǎn),第二段結(jié)果也間接表明K4已知點(diǎn)的穩(wěn)定性.第二段最大擬合殘差0.003 8 m,最小擬合殘差0.0014 m.

依表3,多面函數(shù)整體擬合結(jié)果中最大殘差為0.029 9 m,最小殘差為0.007 9 m.二次曲面整體擬合結(jié)果中最大殘差為0.042 1 m,最小擬合殘差為0.007 2 m.

依表4,無(wú)論是內(nèi)符合精度還是外符合精度,分段式高程傳遞精度均優(yōu)于采用多面函數(shù)擬合法和二次曲面函數(shù)擬合法的整體傳遞.

3 結(jié)束語(yǔ)

無(wú)論是二次曲面擬合法還是多面函數(shù)擬合法,抑或是其他更為復(fù)雜的擬合模型,其目的都是使GPS測(cè)量成為真正的全天候、快速、準(zhǔn)確的三維測(cè)量.結(jié)合以上基于GPS高程傳遞的實(shí)驗(yàn),可得到以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn):

1) 分段式高程擬合可以檢驗(yàn)高程傳遞過(guò)程中某些已知點(diǎn)的穩(wěn)定性,例如本次實(shí)驗(yàn)中利用較近的檢核點(diǎn)K6與已知點(diǎn)K4互相檢驗(yàn).

2) 二次全面函數(shù)擬合法并不適用于大范圍且高程異常變化不平穩(wěn)的區(qū)域擬合,而分段式高程擬合可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆侄蜗朔N模型的缺陷.

3) 結(jié)合具體工程實(shí)際情況,可以合理進(jìn)行分段并選擇最具適用性的函數(shù)模型.