基于精化鋸齒理論的功能梯度夾心微板靜彎曲模型

楊子豪， 賀 丹

（沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽110136）

1 引 言

精化鋸齒理論（RZT）是一種適用于傳統(tǒng)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的特殊分層理論［1］。該理論的優(yōu)勢在于，能夠同時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測多層結(jié)構(gòu)的全局響應(yīng)和局部行為，并具有包含高度不均勻夾心結(jié)構(gòu)在內(nèi)的廣闊適用范圍。隨著該理論研究的延伸，Iurlaro等［2］首次將RZT推廣至功能梯度夾心結(jié)構(gòu)，并對(duì)兩種不同結(jié)構(gòu)的功能梯度夾心板進(jìn)行了靜力彎曲和自由振動(dòng)分析。結(jié)果表明，RZT能夠精確預(yù)測多種載荷和邊界條件作用下的板最大彎曲撓度／自振頻率、面內(nèi)位移及應(yīng)力分布。

近年來，功能梯度材料（FGMs）的應(yīng)用已從宏觀結(jié)構(gòu)拓展至微觀裝置［3］和系統(tǒng)中［4，5］。傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)理論由于不能合理解釋微結(jié)構(gòu)中大量存在的材料尺度效應(yīng)現(xiàn)象［6，7］，而不能用來對(duì)微／納米功能梯度梁／板結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)建模。陳萬吉等［8］在修正偶應(yīng)理論［9］的基礎(chǔ)上提出了一種能夠描述微尺度層合結(jié)構(gòu)中尺度效應(yīng)的各向異性修正偶應(yīng)力理論（AMCST），并基于該理論開展了一系列對(duì)微尺度層合結(jié)構(gòu)［10－12］的力學(xué)性能分析。

本文首次嘗試在RZT的基礎(chǔ)上結(jié)合AMCST，建立能夠同時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測功能梯度夾心微板彎曲撓度、局部位移和應(yīng)力分布的靜彎曲模型。模型中引入兩個(gè)用于描繪功能梯度夾心結(jié)構(gòu)微觀特性的正交材料尺度參數(shù)（MLSPs），使其具備了能夠描述由結(jié)構(gòu)微觀各向異性引起的兩個(gè)正交方向上不同程度尺度效應(yīng)的能力。

2 新修正偶應(yīng)力理論

在AMCST中，應(yīng)變張量的定義與傳統(tǒng)理論相同，曲率張量重新定義為

式中 ui為平動(dòng)位移，ωi＝eijkuk，j／2為轉(zhuǎn)動(dòng)位移。本構(gòu)關(guān)系定義為

式中σij和Cijkl分別為應(yīng)力張量和剛度矩陣系數(shù)，mij為偶應(yīng)力張量，Gi（i＝1，2，3）為正交各向異性彈性體不同方向上的剪切模量，i（i＝1，2）則為兩個(gè)正交方向上的MLSPs。

3 RZT功能梯度夾心微板

微尺度功能梯度夾心板的坐標(biāo)系、中性面以及幾何尺寸如圖1所示?？梢钥闯?，z為板內(nèi)一點(diǎn)距板幾何形心面的距離；x軸在板幾何形心面上與z軸垂直；微板的長度、寬度和總厚度分別定義為a，b和2h。

3.1 RZT位移場

以一階剪切板位移場為基礎(chǔ)函數(shù)，通過對(duì)面內(nèi)位移添加分層Zigzag函數(shù)，實(shí)現(xiàn)模擬更真實(shí)變形情況的Zigzag型位移場：

式中u，v和w分別為板內(nèi)一點(diǎn)沿x，y和z軸方向上的位移；u0和v0為幾何形心面位移；θx和θy分別為微板截面繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角；角標(biāo)k對(duì)應(yīng)于第k層單層板的相應(yīng)變量；（α＝x，y）為Zigzag函數(shù)，對(duì)于功能梯度單層，其為高度非線性函數(shù)；φα（α＝x，y）為峰值函數(shù)；（α＝x，y）可視為相對(duì)于均質(zhì)梁／板位移場而應(yīng)用到層合結(jié)構(gòu)中的修正項(xiàng)。

圖1 功能梯度夾心微板Fig.1 Sketch of the FG sandwich micro-plate

根據(jù)工程應(yīng)變分量的表達(dá)方式，板的橫向剪切應(yīng)變分量表示為

3.2 本構(gòu)關(guān)系

經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，全局坐標(biāo)系下第k層正交各向異性單層板的本構(gòu)關(guān)系為σ（k）＝Q（k）ε（k）。其中，Q（k）＝T（k）TC（k）T（k）為全局剛度矩陣。T（k）為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣［8］；C（k）為忽略橫法向應(yīng)力的局部剛度矩陣：

式中 Ci（z）（i＝11，12，21，22，44，55，66）為宏觀彈性矩陣系數(shù)，1（z）和2（z）為兩個(gè)正交方向上的MLSPs。局坐標(biāo)系下的剛度矩陣系數(shù)；Gα（α＝x，y）為沿板厚度方向的常數(shù)，其物理意義為加權(quán)平均剪切剛度。因?yàn)椋絲，且由原則（1）可知

3.3 Zigzag函數(shù)

為了完全定義Zigzag函數(shù)，一些基于原始RZT的原則和公式得到應(yīng)用及擴(kuò)展［2］，（1）Zigzag函數(shù)在板的上下表面應(yīng)取值為0，即（z＝－h(huán)）＝（z＝h）＝0（α＝x，y）。其中，N代表板的頂層。（2）為達(dá)到精準(zhǔn)預(yù)測橫向剪切應(yīng)力的目的，RZT規(guī)定了斜率函數(shù)βα（k）（z）與各層剛度系數(shù)之間的關(guān)系為（z）（1＋（z））＝Gx，）（z）（1＋（z））＝Gy。其中，和為全

則加權(quán)平均剪切剛度Gα的完整表示式可通過對(duì)原則（2）兩邊沿z積分得到

式中zk和zk－1分別第k層單層板沿板厚度方向的上下界。由原則（1）和式（7）即可完全定義（z）。由于功能梯度材料沿厚度方向連續(xù)變化的特性，導(dǎo)致（z）不再為傳統(tǒng)層合或夾心結(jié)構(gòu)中的分層線性函數(shù)，而成為與功能梯度變化方式有關(guān)的分層非線性函數(shù)。

4 平衡方程和邊界條件

基于虛功原理推導(dǎo)本文模型的平衡方程和邊界條件。該原理可以表述為

邊界條件為

或φy＝

ny（Qyz＋Yy／x／2－Yxy／y／2）＝或w ＝

式中nx和ny為板邊界外法線方向余弦，且

5 算例分析

采用如圖2所示的功能梯度夾心微板，其上下表層為功能梯度材料；夾心為均質(zhì)材料且鋪設(shè)角為0°，即［FGM／0°／FGM］。雙向正弦載荷q＝q0sin（πx／a）sin（πy／b）。功能梯度微板材料屬性除 MLSPs和泊松比外，其他參數(shù)均假設(shè)沿板厚度方向遵循式（11）的e指數(shù)形式梯度變化。

式中 P0對(duì)應(yīng)于表1的工程彈性常數(shù)參考值，f（z）為分層功能梯度變化函數(shù)，

圖2 受雙向正弦載荷作用的功能梯度夾心微板Fig．2 FG sandwich micro－plate loaded a double sinusoidal load

表1 功能梯度夾心微板彈性常數(shù)Tab．1 Elastic constants of FG sandwich micro－plate

式中 P0對(duì)應(yīng)于表1的工程彈性常數(shù)參考值，f（z）為分層功能梯度變化函數(shù)，式中2h為板的總厚度，k為功能梯度指數(shù)。簡支板的邊界條件為x＝0，a∶v0＝w＝ w／ y＝θy＝φy＝Nx＝Mx＝Y(jié)yx＝＋／2＝0，y ＝0，b∶u0＝w＝ w／ x＝θx＝φx＝Ny＝My＝Y(jié)xy＝－／2＝0。位移試函數(shù)為w＝Wsin（πx／a）·sin（πy／b），｛u0，θx，φx｝＝｛U，Θx，Ψx｝cos（πx／a）sin（πy／b），｛v0θy，φy｝＝ ｛V，Θy，Ψy｝sin（πx／a）cos（πy／b）。將其代入式（10），便可得到完整位移函數(shù)。

5.1 尺度效應(yīng)

研究尺度效應(yīng)對(duì)功能梯度夾心微方板中力學(xué)行為的影響。為達(dá)到對(duì)比的目的，與參考文獻(xiàn)［2］一致的無量綱處理定義為

當(dāng)板跨厚比a／2h＝8時(shí)，尺度效應(yīng)對(duì)微板撓度的影響如圖3所示。圖中，橫坐標(biāo)分別代表不同尺度參數(shù)與微板半厚度h的比值；縱坐標(biāo)則為微板中心處最大無量綱撓度。功能梯度指數(shù)k在本算例中取值為5。

從圖3可以看出，當(dāng)微板幾何形狀保持不變（a／2h＝constant）時(shí)，基于本文模型所預(yù)測的無量綱撓度總是小于RZT給出的結(jié)果，即捕捉到微結(jié)構(gòu)中實(shí)際抗彎剛度大于傳統(tǒng)理論預(yù)測值的尺度效應(yīng)現(xiàn)象。當(dāng)微板厚度與MLSPs在數(shù)值上接近時(shí)，尺度效應(yīng)顯著；尺度效應(yīng)隨著微板厚度的增加而逐漸減弱，當(dāng)微板幾何尺寸遠(yuǎn)大于材料尺度參數(shù)時(shí)，尺度效應(yīng)消失。此外，由尺度效應(yīng)引起的板彎曲剛度增強(qiáng)在兩個(gè)正交方向上程度不一［14］。這種由微觀各向異性導(dǎo)致的現(xiàn)象最終用引入兩個(gè)MLSPs的本文模型解釋，而修正偶應(yīng)力模型由于包含較少的材料尺度參數(shù)而不具備這種能力。

圖3 尺度效應(yīng)對(duì)微板撓度的影響Fig.3 Influence of the scale effect on micro-plate deflection

當(dāng)沿著兩個(gè)正交方向上的MLSPs均取值為0時(shí)，本文模型將退化為傳統(tǒng)RZT功能梯度夾心板模型。此時(shí)，基于本文模型得到的無量綱撓度、位移和應(yīng)力與文獻(xiàn)［2］的對(duì)比列入表2。值得注意的是，為得到更加精確的橫向剪切應(yīng)力，采用與文獻(xiàn)［2］一致的平衡方程積分方法。

由表2可知，當(dāng) 取值為0時(shí)，基于本文模型得到的板無量綱結(jié)果與傳統(tǒng)RZT的3D彈性解高度吻合，驗(yàn)證了模型宏觀部分的正確性和精確性。當(dāng)板厚度不變，跨厚比取不同值時(shí)，基于本文模型得到的面內(nèi)位移和應(yīng)力與基于傳統(tǒng)RZT得到的結(jié)果如圖4所示。圖中，橫坐標(biāo)為面內(nèi)位移／應(yīng)力；縱坐標(biāo)為沿板厚度方向坐標(biāo)。1和2在本算例中假定為h，功能梯度指數(shù)k在本算例中取值為5。

從圖4可以看出，當(dāng)板厚度一定且 ／h保持不變時(shí)，兩種板理論下微板面內(nèi)位移和應(yīng)力的差值（即尺度效應(yīng)的影響）將隨著板跨厚比的增加逐漸減小。

表2 功能梯度夾心微板結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of results of FG sandwichmicro-plate under different plate theory

圖4 尺度效應(yīng)對(duì)微板部分局部行為的影響Fig.4 Influence of the scale effect on partial local behaviors of micro-plate

5.2 功能梯度指數(shù)對(duì)尺度效應(yīng)的影響

圖5展示了功能梯度變化指數(shù)對(duì)微板尺度效應(yīng)產(chǎn)生的影響。橫縱坐標(biāo)分別代表功能梯度變化指數(shù)以及通過本文模型與傳統(tǒng)模型結(jié)果比值來表示的尺度效應(yīng)。其值越小，尺度效應(yīng)越明顯。

圖5 功能梯度指數(shù)k對(duì)尺度效應(yīng)的影響Fig.5 Influence of grading index kon the scale effect

可以看出，兩種板理論下板的無量綱撓度比值先緩慢增加，尺度效應(yīng)有所減弱；隨后比值迅速下降，尺度效應(yīng)顯著增強(qiáng)；當(dāng)功能梯度指數(shù)達(dá)到一定值后，比值不再隨k值的增加有明顯變動(dòng)，尺度效應(yīng)趨于穩(wěn)定。

6 結(jié) 論

（1）在RZT和AMCST的基礎(chǔ)上，建立能夠準(zhǔn)確預(yù)測功能梯度夾心微板全局響應(yīng)和局部行為且能夠描述尺度效應(yīng)的微板靜彎曲模型。通過引入兩個(gè)正交MLSPs，使模型具備了描述由材料微觀各向異性引起的不同方向尺度效應(yīng)的能力。

（2）在MLSPs與板幾何尺寸接近時(shí)尺度效應(yīng)顯著，而在幾何尺寸遠(yuǎn)大于MLSPs時(shí)消失；當(dāng)板厚度一定且 ／h保持不變時(shí)，由微板面內(nèi)位移和應(yīng)力反映出的尺度效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響隨著板跨厚比的增加逐漸減弱。此外，功能梯度指數(shù)對(duì)尺度效應(yīng)也有一定的影響。