復(fù)合材料層合板自由振動分析的無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法

陳莘莘， 李 鶴

（華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌330013）

1 引 言

復(fù)合材料層合板［1］在工程實際中的應(yīng)用日益增多，對其進行自由振動分析一直是計算固體力學(xué)研究的重要課題之一。相對于經(jīng)典層合板理論，一階剪切變形理論［2］能更好地描述板的橫向剪切變形，從而在板殼結(jié)構(gòu)分析中得到了廣泛的應(yīng)用。

隨著電子計算機的廣泛應(yīng)用，有限元法在復(fù)合材料層合板的分析問題中得到了廣泛的應(yīng)用［3，4］。但有限元法分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)在前處理時的網(wǎng)格劃分工作量巨大。為了擺脫網(wǎng)格的束縛，近年來發(fā)展迅速的無網(wǎng)格法［5，6］不需要在求解域內(nèi)劃分用于確定插值函數(shù)的單元網(wǎng)格，引起了國際計算力學(xué)界的高度重視。目前具有代表性的無網(wǎng)格方法主要有無單元 Galerkin法［7，8］、自然單元法［9，10］、無網(wǎng)格局部 Petrov－Galerkin 法［11，12］和 重 構(gòu) 核 粒 子 法［13，14］等。其中，無網(wǎng)格局部 MLPG（Petrov-Galerkin）法是一種比較流行的無網(wǎng)格方法，這種方法允許試函數(shù)和權(quán)函數(shù)取自不同的函數(shù)空間，并且不需要用于數(shù)值積分的背景網(wǎng)格，是一種真正的無網(wǎng)格法。但是，由于移動最小二乘近似形函數(shù)不滿足插值性質(zhì)，這種無網(wǎng)格方法在施加本質(zhì)邊界條件時必須進行特殊處理。無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法［15，16］是近年來提出的一種基于自然鄰接點插值的MLPG方法，不僅具有自然單元法易于施加本質(zhì)邊界條件的優(yōu)點，而且還融合了MLPG法的一些優(yōu)良特性。該方法借助成熟的Delaunay三角化，不論對區(qū)域內(nèi)部節(jié)點還是邊界節(jié)點都可以簡單快速地構(gòu)造出多邊形子域。目前，該方法在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［17－19］。

鑒于無網(wǎng)格法的優(yōu)越性，許多學(xué)者［20－23］都致力于無網(wǎng)格法分析復(fù)合材料層合板的靜力和動力問題，但是基于無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法的復(fù)合材料層合板振動問題尚未見報道。本文采用局部加權(quán)余量法詳細(xì)推導(dǎo)了無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法在復(fù)合材料層合板自由振動分析中的理論公式，并給出了相應(yīng)的數(shù)值實現(xiàn)過程。最后，通過數(shù)值算例驗證了本文方法應(yīng)用于復(fù)合材料層合板自由振動分析的有效性和合理性。

2 自然鄰接點插值

考慮平面區(qū)域上的一組離散節(jié)點，其集合為N＝｛x1，x2，…，xM｝。對任一節(jié)點xI，其一階 Voronoi結(jié)構(gòu)可定義為

式中d（x，xI）為點x與節(jié)點xI之間的距離。顯然，每個TI表示的是以節(jié)點xI為最近離散節(jié)點的空間點位置的集合。

在一階Voronoi結(jié)構(gòu)內(nèi)，插值一個任意點x，把平面重新劃分為二階Voronoi結(jié)構(gòu)TIJ。在每一個二階Voronoi結(jié)構(gòu)TIJ中，節(jié)點xI為最近鄰接點，節(jié)點xJ為次近鄰接點，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為

從幾何上講，TIJ實際是以節(jié)點xI為最近點，節(jié)點xJ為次近點的空間點位置集合。二維平面節(jié)點數(shù)n＝7的一階Voronoi結(jié)構(gòu)和待插點x的二階Voronoi結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)Sibson插值的定義［9］，形函數(shù)I（x）的計算公式為

式中 AI（x）為二階Voronoi結(jié)構(gòu)TxI的面積，A（x）為一階Voronoi結(jié)構(gòu)Tx的面積。

定義了各節(jié)點的插值函數(shù)后，點x的位移函數(shù)可以表達(dá)為

式中 uI（I＝1，2，…，n）是點x周圍n個自然鄰接點的節(jié)點位移，I（x）為對應(yīng)節(jié)點的形函數(shù)。

3 復(fù)合材料層合板的基本方程

如圖2所示，厚度為h的纖維增強復(fù)合材料層合板，其中面與x-y坐標(biāo)面重合。基于一階剪切變形理論，板內(nèi)任一點的三個位移分量可表示為

式中u0，v0和w0分別為中面 （z＝0）沿x，y和z軸方向的位移，θx和θy分別是橫向法線變形后在xz平面和yz平面上的轉(zhuǎn)角。

圖1 任意點x的二階Voronoi結(jié)構(gòu)Fig.1 Second-order Voronoi cell about x

小變形條件下，板的應(yīng)變ε＝［εxεyγxy］T可由式（5）表示為

橫向剪切應(yīng)變矢量γ＝［γxzγyz］T為

式中εm，κ和γ分別為薄膜應(yīng)變、曲率和切應(yīng)變。

復(fù)合材料層合板的廣義內(nèi)力為

式中

對于無阻尼自由振動問題，基于一階剪切變形理論的復(fù)合材料層合板控制方程為［2］

4 離散方程的導(dǎo)出

將復(fù)合材料層合板的中面用N個節(jié)點離散，則平衡方程（17～19）的局部弱形式可以表達(dá)為

圖2 復(fù)合材料層合板Fig.2 Sketch map of laminated composite plate

利用散度定理，方程（20a）可變?yōu)?/p>

如圖3所示，無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法的子域ΩIs是由圍繞節(jié)點I的Delaunay三角形TIi構(gòu)成。在每個Delaunay三角形TIi中，采用有限元的三角形線性單元形函數(shù)NI作為權(quán)函數(shù)，則無阻尼自由振動問題式（21）可以簡化為

同理，對無阻尼自由振動問題式（20b，20c）可以簡化為

為便于進行數(shù)值計算，把方程（22～24）改寫成矩陣形式，有

式中

圖3 局部多邊形子域Fig.3 Local polygonal sub-domains

由于只對空間域進行離散，求解域Ω內(nèi)任一點x處的位移u0＝［u0v0w0θxθy］T可由式（4）表示為

式中

將式（29）代入式（25～27），可得復(fù)合材料層合板自由振動分析的離散控制方程為

式中 U ＝［uT01， uT02，…，uT0N］T，K 和 M 分別為整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，可具體表示為

式中

方程（31）的解可以假設(shè)為

式中ω為振動頻率，U為振型函數(shù)，t為時間變量，t0為初始時間。將式（41）代入式（31）可得

式（42）若要有非零解，則其系數(shù)矩陣行列式必須為0，即det（K－ω2M）＝0，其特征值和特征向量分別對應(yīng)復(fù)合材料層合板的固有頻率ω和振型向量U。

5 數(shù)值算例

為了驗證本文的無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法進行復(fù)合材料層合板自由振動分析的有效性，對兩個典型算例進行了計算和對比分析。假設(shè)復(fù)合材料層合板每層厚度相同，且由均勻線彈性復(fù)合材料構(gòu)成。剪切修正因子取為α＝π2／12，材料參數(shù)取為E1／E2＝（10，20，30，40），G12＝G13＝0.6E2，G23＝0.5E2，v12＝0.25，ρ＝1。矩形復(fù)合材料層合板常見的邊界條件如下。

垂直于x軸的簡支邊：u0＝w0＝θy＝0

垂直于y軸的簡支邊：v0＝w0＝θx＝0

固支邊：u0＝v0＝w0＝θx＝θy＝0

5.1 四層復(fù)合材料層合方板

考慮邊長a＝1.0m，厚度h＝0.2m的四邊簡支對稱復(fù)合材料層合方板（0／90／90／0）。為了研究收斂性，在計算時分別采用了17×17，19×19和21×21三種規(guī)則的節(jié)點布置方案。彈性模量比變化時的無量綱固有頻率 （ω＝（ωa2／h））計算結(jié)果列于表1。為了進行對比，表1還給出了文獻［2］的精確解。由表1可知，采用無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法時，各種節(jié)點布置方案均有較高的計算精度，證明了本文方法的有效性。

5.2 三層復(fù)合材料層合方板

為了進一步考察本文方法的適應(yīng)性，考慮邊長a＝1.0m，厚度為h，彈性模量比為E1／E2＝40的三層對稱正交復(fù)合材料層合方板（0／90／0）。采用25×25節(jié)點分布對不同厚跨比h／a的方板在四邊簡支（SS）、四邊固支（CC）和兩對邊簡支、另兩對邊固支（SC）邊界條件下進行數(shù)值計算。前三階無量綱化頻率＝（ωa2／π2），計算結(jié)果列入表2，其中D0＝E2h3／12（1－v12v21）。為了進行對比，表2還給出了文獻［24］的計算結(jié)果。由表2可知，兩種不同方法所得結(jié)果吻合較好，進一步驗證了本文方法的有效性。

表1 四層復(fù)合材料層合板的固有頻率（ω）Tab.1 Fundamental frequency（ω）of the 4-layer laminated composite plates

表2 三層復(fù)合材料層合板的前三階無量綱化頻率）Tab.2 First three dimensionless frequency）of the 3-layer laminated composite plates

表2 三層復(fù)合材料層合板的前三階無量綱化頻率）Tab.2 First three dimensionless frequency）of the 3-layer laminated composite plates

B.C. h／a模態(tài)1 2 3 0.05 SS 0.1 0.2 Liew［24］ 6.138 8.888 15.110 Present 6.144 9.006 15.558 Liew［24］ 5.166 7.757 12.915 Present 5.129 7.802 12.844 Liew［24］ 3.594 5.769 7.397 Present 3.544 5.811 7.245 0.05 CC 0.1 0.2 Liew［24］ 10.953 14.028 20.388 Present 10.886 14.153 20.975 Liew［24］ 7.411 10.393 13.913 Present 7.310 10.451 13.669 Liew［24］ 4.447 6.642 7.700 Present 4.401 6.722 7.562 0.05 SC 0.1 0.2 Liew［24］ 6.890 11.246 18.664 Present 6.932 11.491 19.356 Liew［24］ 5.871 9.454 13.340 Present 5.860 9.590 13.152 Liew［24］ 4.137 6.474 7.664 Present 4.120 6.576 7.532

6 結(jié) 論

無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法是一種計算公式簡便、計算精度和計算效率均十分優(yōu)良的數(shù)值方法。這種方法不僅充分發(fā)揮了無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin法的優(yōu)點，而且形函數(shù)的計算不涉及矩陣求逆，更沒有人為參數(shù)的選擇問題。

基于一階剪切變形理論，本文首次詳細(xì)推導(dǎo)了無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法應(yīng)用于復(fù)合材料層合板自由振動分析的計算公式，并編制了相應(yīng)的計算程序。算例分析表明，無網(wǎng)格自然鄰接點Petrov-Galerkin法是復(fù)合材料層合板自由振動分析的一種有效可行的方法，具有計算精度高和前處理簡單等優(yōu)點。