探究中顯理性思維 直觀下揭數(shù)學(xué)本質(zhì)

任靜 祝峰

摘?要：數(shù)學(xué)高考以素養(yǎng)為導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)理性思維的考查.在探究2019年天津卷第8題的過(guò)程中，可以表現(xiàn)出學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，能感受數(shù)學(xué)的理性思維.本文利用幾何直觀揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)后對(duì)其作不同變式，以發(fā)散思維鍛煉問(wèn)題解決能力.

關(guān)鍵詞：試題賞析;試題探究;試題變式

作者簡(jiǎn)介：任靜（1986-），女，安徽濉溪人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué);

祝峰（1974-），男，安徽濉溪人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

1?問(wèn)題提出

2016年，教育部考試中心開(kāi)始高考評(píng)價(jià)體系的研究工作，明確了“立德樹(shù)人，服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”的考查目標(biāo)和“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求，即“一核四層四翼”?[1][2].高考評(píng)價(jià)體系中確立學(xué)科素養(yǎng)為考查目標(biāo)，標(biāo)志著中國(guó)高考正實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變[3].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[4].這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)整體，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、數(shù)學(xué)育人價(jià)值的集中體現(xiàn).數(shù)學(xué)學(xué)科高考對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行抽象和概括，提出了高考數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)，包括理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化四個(gè)方面.與課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心素養(yǎng)相比，高考數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)更符合教育測(cè)量規(guī)律，更具有高考特點(diǎn)，更利于實(shí)現(xiàn)高考的教育、評(píng)價(jià)和導(dǎo)向功能[5].

通過(guò)對(duì)具體高考試題的賞析、探究及變式，體會(huì)高考試題對(duì)課程目標(biāo)和高考考查目標(biāo)中的核心素養(yǎng)、學(xué)科素養(yǎng)的考查方式和重點(diǎn)，對(duì)強(qiáng)化高考備考復(fù)習(xí)的針對(duì)性，提高復(fù)習(xí)效率應(yīng)有所幫助.本文以2019年天津卷理科第8題為例，在論證過(guò)程中體會(huì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等方面的考查要求;在借助幾何直觀揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)后，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈兪?，以期在教學(xué)中發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升問(wèn)題解決能力.

2?試題呈現(xiàn)

題目?（2019年天津卷理科第8題）已知a∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+2a，x≤1，x-alnx，x>1，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為（?）.

A.[0，1]??B.[0，2]??C.[0，e]??D.[1，e]

3?試題欣賞

試題在函數(shù)情境下，以導(dǎo)數(shù)、函數(shù)性質(zhì)、不等式知識(shí)為載體，在基礎(chǔ)知識(shí)交匯處精心設(shè)計(jì).不等式恒成立是常規(guī)題型，構(gòu)思于分段函數(shù)之上，圍繞高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用展開(kāi)，獨(dú)具匠心，別有一番新意.考生需整合自身基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵、提出等價(jià)問(wèn)題，作出認(rèn)真分析，去除非本質(zhì)因素，通過(guò)幾何直觀，才能最終接近并揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

在素養(yǎng)導(dǎo)向視角下審視這道試題，對(duì)考生核心素養(yǎng)予以全面考查.數(shù)學(xué)抽象現(xiàn)于“特值檢驗(yàn)”“構(gòu)造等價(jià)問(wèn)題模型”;幾何直觀下的“數(shù)形結(jié)合”;“分類討論”中嚴(yán)密的邏輯推理;參數(shù)和變量混合處理過(guò)程的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，巧妙地把內(nèi)隱于考生思維品質(zhì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)外顯于可視的解題行為中.

試題情境熟悉平和，條件簡(jiǎn)單清晰，表達(dá)言簡(jiǎn)意賅，構(gòu)思巧妙，有效規(guī)避“題型”“套題”.在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，以能力立意，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法、淡化解題技巧，在樸實(shí)中重“四基”，常規(guī)中考“四能”.此題在2019年高考數(shù)學(xué)試題中獨(dú)樹(shù)一幟，對(duì)高考備考有引領(lǐng)示范作用，亦是教學(xué)中提升學(xué)生核心素養(yǎng)的貼切范例和難得的素材.

4?試題探析

4.1?特值排除

解法1?若a=0，f（x）=x2，x≤1，x，x>1.此時(shí)不等式f（x）≥0在R上恒成立，排除D;

若a=e，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=x2-2ex+2e，注意到此時(shí)f（x）≥f（1）=1>0，不等式成立;

當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=x-elnx，f?′（x）=1-ex=x-ex，所以f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，在[e，+∞）上單調(diào)遞增.所以f（x）≥f（e）=e-e=0，故a=e時(shí)成立，排除A，B，故選擇C.

評(píng)析?從應(yīng)試的角度看，上述過(guò)程簡(jiǎn)便、快捷、準(zhǔn)確，俗稱“特值法”“排除法”.這是由客觀題的形式所決定的一種探究過(guò)程，通過(guò)特例歸納，獲得合情結(jié)論.這是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)最樸素、最原始的表現(xiàn)，但并不是說(shuō)“特例歸納，獲得合情結(jié)論”是低能級(jí)的抽象素養(yǎng)表現(xiàn)，它是數(shù)學(xué)抽象的開(kāi)始，是抽象素養(yǎng)的一種高水平的表現(xiàn)，是揭示復(fù)雜問(wèn)題情境中數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效手段.相信命題團(tuán)隊(duì)在這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置上定有考查學(xué)生這方面抽象素養(yǎng)表現(xiàn)的考量.

4.2?分段討論

f（x）≥0在R上恒成立等價(jià)于：“x≤1時(shí)，x2-2ax+2a≥0恒成立”且“x>1時(shí)，x-alnx≥0恒成立”，下面分別予以討論.

4.2.1?x2-2ax+2a≥0在（-∞，1]上恒成立

思路1?二次函數(shù)模型

方法1?考查二次函數(shù)f（x）=x2-2ax+2a，x∈（-∞，1]，只需f（x）min≥0.

當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）min=f（1）=1>0，符合f（x）≥0;

當(dāng)a<1時(shí)，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2a≥0，得0≤a≤2，故0≤a<1.

綜上所述，a≥0.

評(píng)析?二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的一個(gè)函數(shù)，其與二次不等式、二次方程密切相關(guān).二次不等式在x∈（-∞，1]恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)給定區(qū)間求最值問(wèn)題，由于對(duì)稱軸不確定，導(dǎo)致需分類說(shuō)明.

思路2?分式函數(shù)模型

x=1時(shí)，不等式化為1≥0，此時(shí)a∈R.

x<1時(shí)，不等式等價(jià)于2a≥x2x-1，設(shè)g（x）=x2x-1，只需2a≥g（x）max.對(duì)于g（x）max的求解，可作如下不同考慮：

方法2?（利用基本不等式）g（x）=x2x-1=x2-2x+1+2x-2+1x-1=（x-1）+1x-1+2.

因?yàn)閤-1<0，所以g（x）=（x-1）+1x-1+2≤-2?（x-1）×1x-1+2=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

所以g（x）max=0，即2a≥0，故a≥0.

方法3?（利用二次函數(shù)）當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=0;

當(dāng)x≠0時(shí)，g（x）=11x-1x2，x∈（-∞，0）∪（0，1]，所以1x∈（-∞，0）∪[1，+∞）.

視1x-1x2為1x的二次函數(shù)，有1x-1x2∈（-∞，0]，故g（x）≤0，可見(jiàn)g（x）max=0，所以a≥0.

方法4?（利用導(dǎo)數(shù)）因?yàn)間′（x）=x（x-2）（x-1）2，所以g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，在[0，1）單調(diào)遞減，所以g（x）max=g（0）=0，即a≥0.

方法5?（整體觀察）注意到x2≥0，x-1<0，所以g（x）≤0，所以a≥0.

評(píng)析?把x視為變量，a視為參數(shù)，把參數(shù)和變量分離到不等號(hào)的兩邊，轉(zhuǎn)化為2a≥x2x-1，俗稱“參變分離”.把恒成立不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)固定函數(shù)最值的求解，從而避開(kāi)了分類討論.對(duì)函數(shù)g（x）=x2x-1最值的求解，方法多樣，如上所述.

4.2.2?x-alnx≥0在（1，+∞）上恒成立

方法1?（利用條件所給函數(shù)）只需f（x）min≥0，f（x）=x-alnx，x>1，則f?′（x）=1-ax=x-ax.

當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)閒?′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）為增函數(shù).所以f（x）>f（1）=1>0，即a≤1符合條件;

當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閒（x）在（1，a）單調(diào)遞減，在[a，+∞）單調(diào)遞增.所以f（x）min=f（a）=a-alna≥0，解得1

綜上所述，x>1時(shí)，x-alnx≥0恒成立，有a≤e.

方法2?（參變分離構(gòu)造新函數(shù)）當(dāng)x>1時(shí)，x-alnx≥0等價(jià)于a≤xlnx.

令φ（x）=xlnx，只需a≤φ（x）min.

而φ′（x）=lnx-1（lnx）2，可見(jiàn)，φ（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，在[e，+∞）單調(diào)遞增，故φ（x）min=φ（e）=e.

所以a≤e.

方法3?（構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)）原不等式等價(jià)于x≥alnx，x∈（1，+∞）恒成立，只需直線y=x在y=alnx的圖象的上方.

當(dāng)a≤0時(shí)，顯然不等式成立;當(dāng)a>0時(shí)，直線y=x與y=alnx的圖象相切時(shí)（如圖1），設(shè)切點(diǎn)為（x0，alnx0），此時(shí)x0=alnx0，ax0=1，解得a=e，所以a≤e.

綜上所述，a∈[0，e]，選擇C.

評(píng)析?不同視角下，有不同的解決思路.思路1參變混合求解，a與區(qū)間（-∞，1]的關(guān)系不確定，是導(dǎo)致討論的原因.為避開(kāi)討論，思路2進(jìn)行了參變分離，而思路3是基于幾何直觀考慮，給抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題幾何直觀，以揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

4.3?借助幾何直觀

解法3?對(duì)函數(shù)y=x2-2ax+2a，x∈（-∞，1]與y=x-alnx，x∈（1，+∞），在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出它們的圖象.

對(duì)于函數(shù)y=x2-2ax+2a的作圖需關(guān)注對(duì)稱軸位置以及在y上的截距;對(duì)于函數(shù)y=x-alnx，x∈（1，+∞），則需通過(guò)導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性并注意其極值的符號(hào)，通過(guò)對(duì)a的取值范圍不同進(jìn)行討論，可得不同情形下，函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖（如圖1-7，行文需要，具體討論不再贅述），從函數(shù)f（x）簡(jiǎn)圖可見(jiàn)，圖2，3，4，5，6均符合條件，可見(jiàn)a∈[0，e]，選擇C.

評(píng)析?直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)[4].直觀想象是數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ).在復(fù)雜的情境中，通常需要通過(guò)直觀想象對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，探尋問(wèn)題的本質(zhì)，在通過(guò)數(shù)學(xué)抽象或通過(guò)數(shù)學(xué)建模將其轉(zhuǎn)化為具體可解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題;在復(fù)雜的邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算中，也需要運(yùn)用直觀想象來(lái)理清邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算的思路，探尋邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算的方向和路徑，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化[6].分類討論中展示的是嚴(yán)密的邏輯推理過(guò)程，通過(guò)分析參數(shù)a的不同范圍取值對(duì)函數(shù)的影響，分別作出各種情形下的簡(jiǎn)圖.把不等式f（x）≥0在R上恒成立直觀化為函數(shù)圖象不出現(xiàn)在x軸的下方，從各種情況下的圖象可直觀地遴選出符合條件的情形，達(dá)到了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)揭示的目的.

5?試題變式

5.1?條件不變，改變?cè)O(shè)問(wèn)方式

對(duì)題目條件中所列函數(shù)，可以提出以下問(wèn)題：

變式1?已知a∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+2a，x≤1，x-alnx，x>1，解決以下問(wèn)題：

（1）若函數(shù)f（x）在R上無(wú)零點(diǎn)，則a的取值范圍為;

（2）若函數(shù)f（x）在R上有唯一零點(diǎn)，則a的取值范圍為;

（3）若存在x0∈R，使不等式f（x0）<0成立，則a的取值范圍為;

（4）若關(guān)于x的方程f（x）=0在R上有兩符號(hào)相異的根，則a的取值范圍為;

（5）若關(guān)于x的方程f（x）=0在R上有兩符號(hào)相同的根，則a的取值范圍為.

5.2?改變函數(shù)的分段點(diǎn)位置

條件中所給函數(shù)以x=1為界分為兩段，若改變函數(shù)的分段點(diǎn)，這個(gè)問(wèn)題則是另一番情境，可以通過(guò)幾何直觀揭示函數(shù)本質(zhì)特征后設(shè)置相類似的問(wèn)題.

變式2?已知a∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+2a，x≤0，x-alnx，x>0，解決以下問(wèn)題：

（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為;

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）>0在R上恒成立，則a的取值范圍為;

（3）若函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為;

（4）若函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為;

（5）若存在x0∈R，使不等式f（x0）<0成立，則a的取值范圍為.

在不偏離條件函數(shù)的基礎(chǔ)上，還可以對(duì)函數(shù)做多種不同的變式，比如函數(shù)可變式為f（x）=-x2+2ax-2a，x≤1，x-alnx-2，x>1，此時(shí)，亦可以先通過(guò)直觀把握清楚函數(shù)的特征，再設(shè)計(jì)相關(guān)的變式問(wèn)題，但需注意，有些問(wèn)題已經(jīng)沒(méi)有意義了，比如關(guān)于x的不等式f（x）≥0在R上不可能恒成立.

6?結(jié)束語(yǔ)

高考的命題往往高屋建瓴，立意高，入口寬，落點(diǎn)低.作為數(shù)學(xué)教師，要善于思考，積極探究，了解試題的背景，挖掘試題的本質(zhì)，才能居高臨下的教學(xué).特別是高考備考復(fù)習(xí)，要首先全面學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，不要存在任何僥幸心理，不要根據(jù)前一年試題盲目推斷當(dāng)年哪項(xiàng)內(nèi)容不考、哪項(xiàng)內(nèi)容必考.把握恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)節(jié)奏，不能只灌輸難題、反復(fù)刷題，應(yīng)留給學(xué)生思考的時(shí)間和空間.教師應(yīng)通過(guò)全面的復(fù)習(xí)教學(xué)，使學(xué)生了解知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，掌握解決問(wèn)題的工具;教師要教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，使學(xué)生能夠綜合運(yùn)用知識(shí)靈活解決問(wèn)題[7].教學(xué)過(guò)程應(yīng)依據(jù)具體問(wèn)題的特征，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng).提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，才是教學(xué)最重要的目的.

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（收稿日期：2019-09-05）