基于無(wú)矩理論的凹版印刷機(jī)運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)特性及穩(wěn)定性

武吉梅 邵明月 田 振 雷文姣 王 硯

1．西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安, 710048 2．西安理工大學(xué)印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，西安, 710048 3．西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，西安, 710048

0 引言

印刷過(guò)程中，中間印刷滾筒對(duì)薄膜的約束可視為薄膜的中間支承，不同的支撐位置對(duì)薄膜的振動(dòng)特性有影響,因此，研究具有中間剛性支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的振動(dòng)問(wèn)題，對(duì)控制印刷過(guò)程中薄膜的振動(dòng)及提高印品的套印精度具有重要的意義。

近年來(lái)，軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題的研究已經(jīng)取得較大成果，但對(duì)具有中間支承的薄膜的振動(dòng)和穩(wěn)定性的研究很少。TANG等[1-3]分別對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)的弦線、黏彈性梁、薄板的橫向振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。MA等[4]采用有限差分法離散動(dòng)力學(xué)方程，研究了變密度運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)控制問(wèn)題。WANG等[5]運(yùn)用薄板理論和二維黏彈性本構(gòu)關(guān)系，研究了軸向運(yùn)動(dòng)的壓電黏彈性板的動(dòng)力學(xué)特性和穩(wěn)定性。SHINA等[6]應(yīng)用哈密頓原理建立了無(wú)滑動(dòng)邊界條件下運(yùn)動(dòng)薄膜的微分方程，研究了軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的面內(nèi)和面外的動(dòng)力學(xué)特性。吳曉[7]采用解析法研究了無(wú)軸向運(yùn)動(dòng)速度且具有中間支承的薄膜的橫向振動(dòng)特性。MARYNOWSKI[8]采用二維流變理論，建立了軸向運(yùn)動(dòng)的黏彈性薄膜材料的動(dòng)力學(xué)模型。劉金堂等[9]采用微分求積法，研究了受面內(nèi)載荷作用的軸向運(yùn)動(dòng)薄板的橫向振動(dòng)問(wèn)題。趙鳳群等[10]對(duì)四邊固支矩形運(yùn)動(dòng)薄膜的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。NGUYEN等[11-12]研究了具有軸向運(yùn)動(dòng)速度的薄膜的橫向振動(dòng)特性和控制問(wèn)題。WU等[13-14]運(yùn)用振動(dòng)理論和達(dá)朗貝爾原理，分別研究了多輥支承的軸向運(yùn)動(dòng)紙帶和彈性邊界下運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)特性。

本文通過(guò)研究，將單剛性支承薄膜拓展到若干剛性支承情況下薄膜的橫向振動(dòng)特性及穩(wěn)定性問(wèn)題，分析具有剛性支承時(shí)系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率與張力、速度之間的關(guān)系曲線，給出薄膜穩(wěn)定工作的臨界速度及工作范圍。

1 振動(dòng)模型的建立

圖1為具有中間支承印刷薄膜的工作示意圖。對(duì)于機(jī)組式凹版印刷機(jī)，I1、I2、I3為壓印滾筒，P1、P2、P3為印版滾筒。高速運(yùn)動(dòng)的薄膜從幾組滾筒之間的接觸表面通過(guò)，完成多色套印印刷。印刷過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的薄膜類(lèi)承印物遵循薄膜振動(dòng)理論，將中間印刷滾筒對(duì)薄膜的作用作為薄膜的中間支承處理，并用線分布的約束反力代替，將印刷機(jī)第一色組和最后色組的印刷滾筒對(duì)薄膜的作用作為邊界條件處理，建立薄膜的動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 印刷薄膜工作簡(jiǎn)圖和受力簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of an axially moving membrane

如圖1所示，選取OXYZ坐標(biāo)系：以薄膜的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閄方向，該方向的運(yùn)動(dòng)速度為v；薄膜的寬度方向?yàn)閅方向；橫向振動(dòng)的位移方向?yàn)閆方向。a、b分別為兩組印刷滾筒間薄膜的長(zhǎng)度和寬度；ρ為單位面積薄膜的質(zhì)量；Tx為薄膜在X方向上受到單位長(zhǎng)度的拉力，N/m；Ty為薄膜在Y方向上受到單位長(zhǎng)度的拉力，N/m。

基于無(wú)矩理論[15]和D’Alembert原理得出軸向運(yùn)動(dòng)印刷薄膜橫向振動(dòng)偏微分方程：

q(x,y,t)

(1)

四邊固支薄膜的邊界條件為

(2)

2 特征方程的求解

設(shè)式(1)的解為

(3)

式中，U(x)是振型函數(shù)；ω為運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)頻率。

具有中間支承的印刷薄膜固有振動(dòng)時(shí)，中間支承的約束反力隨時(shí)間的變化規(guī)律與印刷薄膜的振動(dòng)規(guī)律相同。式(1)的分布載荷q(x,y,t)為薄膜沿Z方向所受均布外力，可表示為

(4)

(5)

式中，N為中間支承的個(gè)數(shù)；xi為第i個(gè)支承到Y(jié)軸距離；pi為第i個(gè)支承對(duì)薄膜的支承反力；δ(x-xi)為Dirac-delta函數(shù)，表示作用在(xi,y)位置上的支承反力。

設(shè)振型函數(shù)為

(6)

由四邊固支的邊界條件有

fm(0)=fm(a)=0m=1,2,…

(7)

將式(3)、式(4)、式(6)代入式(1)并整理得

(8)

(9)

對(duì)式(8)進(jìn)行Laplace變換得

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行Laplace逆變換，并代入式(7)可得

sin(λ(x-xi))g(x-xi)

(11)

將式(11)代入式(6)，然后再代入式(3)，得到具有中間支承四邊固支運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的固有振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)：

(12)

(13)

(14)

i,j=1,2,…,N

當(dāng)薄膜中間支承為彈性支承時(shí)，pj=-kjfm(xj),其中，kj為第j個(gè)彈性支承的剛度系數(shù)。由式(11)得到具有中間支承的運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)頻率特征方程：

(15)

3 數(shù)值計(jì)算分析

本文以陜西北人FR-300無(wú)軸傳動(dòng)高速機(jī)組式凹版印刷機(jī)的承印物薄膜為實(shí)例，計(jì)算分析具有中間剛性支承的運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的橫向振動(dòng)特性及穩(wěn)定性。該印刷機(jī)的基本參數(shù)如下：薄膜幅寬b=1.05 m，薄膜長(zhǎng)度a=3 m，薄膜速度v=5 m/s，薄膜張力Tx=90 N/m，Ty=10 N/m，密度ρ=0.07 kg/m2。

3.1 具有一個(gè)中間剛性支承

圖2所示為一個(gè)中間剛性支承的印刷薄膜，中間支承的位置與左端的距離為a/h，由式(13)可得中間具有一個(gè)剛性支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的振動(dòng)頻率特征方程：

(16)

圖2 中間一個(gè)剛性支承Fig.2 Single intermediate rigid support

由式(16)可得

(17)

由文獻(xiàn)[7]可知，沒(méi)有中間支承時(shí)的四邊固支薄膜橫向振動(dòng)頻率特征方程為

sin(λa)=0

(18)

h=2時(shí)，式(17)化為

(19)

具有一個(gè)剛性支承運(yùn)動(dòng)薄膜的中間支撐位置為x=1.5 m，則運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)圓頻率為

(20)

v=0時(shí)，無(wú)軸向速度薄膜的振動(dòng)圓頻率為

(21)

v=0時(shí)的振動(dòng)圓頻率表達(dá)式與文獻(xiàn)[7]中的中間一個(gè)剛性支承的薄膜振動(dòng)圓頻率表達(dá)式一致，由此說(shuō)明本文所用方法的正確性。

由式(20)、式(21)可求出v=5 m/s及v=0時(shí)的運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)圓頻率，分別用ωv=5和ωv=0表示，如表1所示。

表1 具有一個(gè)中間剛性支承薄膜的振動(dòng)圓頻率

由表1可知，v=5 m/s及v=0時(shí)的薄膜振動(dòng)圓頻率不同，因此，軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)印刷薄膜橫向振動(dòng)影響顯著。由式(20)可得印刷薄膜固有振動(dòng)圓頻率ω與軸向運(yùn)動(dòng)速度v之間的關(guān)系曲線，如圖3所示。

圖3 薄膜振動(dòng)復(fù)頻率與軸向運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系Fig.3 Relationship between complex frequency and axial moving speed

由圖3可以看出，速度0～35.86 m/s內(nèi)，薄膜復(fù)頻率ω11逐漸降低至0；在速度范圍35.86～39.72 m/s內(nèi)，Re(ω)=0，此時(shí)Im(ω)出現(xiàn)，印刷薄膜系統(tǒng)發(fā)散失穩(wěn)。當(dāng)v>39.72 m/s時(shí)，印刷薄膜系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。對(duì)于薄膜復(fù)頻率ω12，速度在35.86～36.86 m/s內(nèi)時(shí)，Re(ω)=0，印刷薄膜系統(tǒng)發(fā)散失穩(wěn)；當(dāng)v>36.86 m/s時(shí)，印刷薄膜系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

圖4所示為單剛性支撐薄膜軸向速度v=5 m/s時(shí)ω與Tx的關(guān)系。由圖4可知，隨著Tx的增大，ω逐漸增大。當(dāng)v=5 m/s時(shí)，在0≤Tx<1.75 N/m內(nèi)，Re(ω)=0，虛部突然增大，印刷薄膜系統(tǒng)處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)Tx>1.75 N/m時(shí)，虛部為零，印刷薄膜系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

圖4 薄膜復(fù)頻率與X向張力關(guān)系(v=5 m/s)Fig.4 Relationship between the complex frequency and tension(v=5 m/s)

3.2 中間具有兩個(gè)剛性支承

圖5為中間具有兩個(gè)剛性支承的運(yùn)動(dòng)印刷薄膜示意圖。最左端與第一個(gè)剛性支承位置的距離x1=a/3，即x1=1 m。最左端與第二個(gè)剛性支承位置的距離x2=2a/3，即x2=2 m。

圖5 中間具有兩個(gè)剛性支承的運(yùn)動(dòng)印刷薄膜Fig.5 Moving membrane with two intermediate rigid supports

由式(13)可求得中間具有兩個(gè)剛性支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜振動(dòng)頻率特征方程：

A11A22-A21A12=0

(22)

具有2個(gè)中間剛性支承印刷薄膜可以看成三段長(zhǎng)度均為a/3且無(wú)中間支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜。則其中一段印刷薄膜固有振動(dòng)頻率特征方程為

(23)

那么具有兩個(gè)中間剛性支撐運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的振動(dòng)圓頻率為

v=0時(shí)，式(24)退化為無(wú)軸向速度且具有兩個(gè)中間剛性支承的運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的振動(dòng)圓頻率：

(25)

退化后的振動(dòng)圓頻率表達(dá)式與文獻(xiàn)[7]中的中間兩個(gè)剛性支承的薄膜固有振動(dòng)圓頻率表達(dá)式一致，由此說(shuō)明本文所用方法的正確性。

由以上分析可類(lèi)推出具有N個(gè)均勻分布剛性支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜固有振動(dòng)圓頻率：

(26)

v=0時(shí)，式(26)退化為無(wú)軸向速度的具有N個(gè)均勻分布剛性支承薄膜的振動(dòng)圓頻率：

(27)

由式(24)可求得具有兩個(gè)中間剛性支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜的振動(dòng)圓頻率ω與軸向運(yùn)動(dòng)速度v之間的關(guān)系，如圖6所示。

圖6 兩個(gè)剛性支承薄膜復(fù)頻率與速度的關(guān)系Fig.6 Relationship between complex frequency and moving speed of membrane with two rigid supports

由圖6可以看出，對(duì)于具有兩個(gè)中間剛性支承運(yùn)動(dòng)印刷薄膜復(fù)頻率ω11，速度在0～35.86 m/s內(nèi)時(shí)，頻率逐漸減小至0，在35.86～37.62 m/s內(nèi)時(shí)，Re(ω)=0，Im(ω)出現(xiàn)，印刷薄膜系統(tǒng)處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)。當(dāng)v>37.62 m/s時(shí)，印刷薄膜系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于印刷薄膜復(fù)頻率ω12，速度在35.86～36.31 m/s內(nèi)時(shí)，Re(ω)=0，印刷薄膜系統(tǒng)處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)v>36.31 m/s時(shí)，印刷薄膜系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。

圖7所示為具有兩個(gè)中間剛性支承印刷運(yùn)動(dòng)薄膜Y方向張力Ty分別為10 N/m和20 N/m時(shí)，薄膜的復(fù)頻率ω與張力Tx之間的關(guān)系曲線。由圖7可知，X向張力Tx為定值時(shí)，Y向張力越大，印刷薄膜的振動(dòng)頻率越大。當(dāng)Ty為定值時(shí)，隨著Tx增大，印刷薄膜振動(dòng)頻率實(shí)部增大。當(dāng)Tx>5 N/m時(shí)，印刷薄膜振動(dòng)頻率實(shí)部與Tx為線性關(guān)系。01.75 N/m，虛部為零，印刷薄膜系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

圖7 兩個(gè)剛性支承薄膜復(fù)頻率與張力Tx的關(guān)系Fig.7 Relationship between complex frequency and tension with two rigid supports

對(duì)于具有兩個(gè)中間剛性支承的運(yùn)動(dòng)印刷薄膜，剛性支承的位置x1、x2會(huì)對(duì)印刷薄膜的振動(dòng)頻率有影響。令x1=a/10，分別求v=5 m/s及v=0時(shí)薄膜的振動(dòng)頻率與支承位置x2二次插值擬合的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 薄膜的振動(dòng)頻率與支承位置的關(guān)系Fig.8 Relationship between transverse vibration natural frequency of membrane and supporting position

由圖8可以看出，v=0情況下，x2在0～1.2 m范圍內(nèi)時(shí)，圓頻率ω隨x2的增大而減?。粁2>1.2 m時(shí)，圓頻率隨x2的增大而增大。v=5 m/s情況下，01.5 m時(shí)圓頻率隨x2的增大而增大。相比于v=0情況下，v=5 m/s時(shí)圓頻率增大的趨勢(shì)明顯減小，由此可知印刷薄膜軸向運(yùn)動(dòng)速度越大時(shí)，支承位置的變化對(duì)印刷薄膜的振動(dòng)頻率影響越不明顯。

4 結(jié)論

(1)運(yùn)動(dòng)速度v=0時(shí)，退化結(jié)果與文獻(xiàn)[5]結(jié)果相一致，證明本文的計(jì)算方法是正確的；對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行實(shí)例計(jì)算。

(2)對(duì)于中間單剛性支承印刷運(yùn)動(dòng)薄膜，通過(guò)對(duì)其振動(dòng)頻率與運(yùn)動(dòng)速度、張力之間的關(guān)系的分析，獲得了中間單剛性支承薄膜振動(dòng)發(fā)散失穩(wěn)的臨界速度為35.855 m/s。軸向速度v=5 m/s時(shí)，張力范圍為0～1.75 N/m時(shí)， 薄膜處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)Tx>1.75 N/m時(shí), 系統(tǒng)又恢復(fù)穩(wěn)定。

(3)對(duì)于具有中間兩剛性支承的印刷運(yùn)動(dòng)薄膜，不同的剛性支承位置對(duì)薄膜的振動(dòng)頻率產(chǎn)生影響。v=0情況下，第二個(gè)剛性支承位置x2在0～1.2 m內(nèi)時(shí)薄膜的振動(dòng)頻率隨x2的增大而減??；x2>1.2 m時(shí)振動(dòng)頻率又呈增大趨勢(shì)。v=5 m/s情況下，x2≤1.5 m時(shí)振動(dòng)頻率隨x2的增大而減??；x2>1.5 m時(shí)振動(dòng)頻率呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。薄膜軸向運(yùn)動(dòng)速度越低，支撐位置的變化對(duì)薄膜振動(dòng)頻率影響越明顯。