超聲反應器中運動空化氣泡的動力學研究

馬 艷， 申學鵬， 趙飛燕

(寧夏師范學院 物理與電子信息工程學院， 納米結構及功能材料工程技術研究中心， 寧夏 固原 756000)

0 引 言

超聲波能夠驅使液體中的氣泡做劇烈的收縮振動， 當氣泡被周期性壓縮時， 能夠產生一系利的空化效應， 包括機械效應、 化學效應、 熱效應和聲致發(fā)光效應等[1-9]. 實驗表明：液體中的氣泡在聲場作用下， 除了在聲波的作用下會出現(xiàn)收縮振動外， 還會在聲場力的作用下朝著聲壓波腹或波節(jié)中運動， 這些運動的氣泡聚集在聲壓波腹處形成纖維狀的分支， 這樣的結構對含氣泡的聲化學和聲機械設備等是一個很重要的因素[10]， 這些實驗現(xiàn)象說明， 液體中的氣泡在聲場作用下的運動是超聲空化現(xiàn)象的一個重要問題， 聲場中氣泡的平動現(xiàn)象會對氣泡的空化現(xiàn)象產生什么樣的影響， 有限空間中不同位置處氣泡的運動情況及空化情況等問題的研究將為超聲空化的應用提供重要的理論依據(jù).

近年來， 很多作者對于單個氣泡在聲場受到的聲場力和單個氣泡的平動進行了一系列研究[11-19]， Akhatov研究了強聲場中單個靜止氣泡受到的主Bjerknes力， 并對主Bjerknes力對單個非線性振動氣泡的位置穩(wěn)定性的影響做了討論[17]， 沈壯志研究了駐波聲場中空化泡的運動特性， 模擬了駐波場中各位置處空化泡的運動狀態(tài)[18]， Doinikov研究了弱聲場中單個球形大氣泡在趨于共振頻率的驅動聲場中的平動現(xiàn)象， 為聲場中不規(guī)則氣泡的運動提供了理論解釋[19]等等. 然而在以往的報道中， 關于強聲場中平動氣泡的空化特征卻鮮有見到， 實際液體中， 空化氣泡的收縮振動是伴隨著氣泡在聲場力作用下的平動現(xiàn)象的， 而強聲場中氣泡的平動對氣泡徑向振動及氣泡的空化的影響不能忽略不計. 本文在Doinikov關于氣泡平動的理論模型上研究了單個空化氣泡在強聲場中的運動、 不同位置處運動氣泡受到主Bjerknes力及運動氣泡在塌縮破裂時的空化動力學特征， 對實際液體中空化氣泡的運動及超聲反應器中的空化現(xiàn)象及超聲醫(yī)療方面的應用給出了理論指導.

1 運動空化氣泡的動力學方程及所受聲場力

假設液體中的球形氣泡在聲場的作用下振動， 假設聲波只沿x方向傳播， 驅動聲場可表示為

Pdr=-Pasinωtcoskd,(1)

式中：ω為驅動聲場角頻率；Pa為驅動聲壓振幅；k為波數(shù)；d為氣泡中心距最近波腹的距離. 假設氣泡在整個振動過程中仍保持球形， 單個球形氣泡在聲場中的振動運動耦合方程[19]可以表示為

式中：R表示氣泡的半徑；ρ表示液體的密度；c表示液體中的聲速；x表示氣泡的中心的位置；Fex為運動氣泡受到的外力[19]，Ps可表示為

式中：μ表示液體的粘滯阻力系數(shù)；σ表示表面張力系數(shù)；γ為氣泡內部氣體的絕熱指數(shù). 方程(2)， (3)為考慮了氣泡平動后單個球形氣泡的動力學方程組， 當不考慮氣泡的平動影響時， 方程(2)就回到了經典的Keller-Miksis方程.

球形氣泡受到的主Bjerknes力[17]可以表示為

FPB=-〈PdrV(t)〉,(5)

式中：Pdr為氣泡所在位置處聲壓梯度， 聯(lián)立式(1)和式(5)， 可得運動的球形氣泡在聲場中的主Bjerknes力

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2 運動空化氣泡的動力學研究

數(shù)值計算參數(shù)為：驅動壓力振幅Pa= 1.35×105Pa， 驅動頻率f=20 kHz， 表面張力系數(shù)σ=0.072 5 N/m， 粘滯系數(shù)μ=0.001 kg/(m·s)， 液體密度ρ=1 000 kg/m3， 液體中的聲速c=1 490 m/s， 絕熱系數(shù)γ=1.4.

2.1 氣泡位置對運動氣泡的空化動力學的影響

圖 1 數(shù)值模擬了在驅動聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅動頻率為20 kHz下， 一個初始半徑為9 μm的運動氣泡的振動最大半徑隨氣泡在聲場中位置的變化關系， 本文模擬的氣泡位置變換范圍在一個波長范圍以內， 如圖 1 所示， 不同位置處氣泡的振動是關于1/4波長對稱的， 在靠近波腹位置， 氣泡的振動最為激烈， 氣泡的半徑能夠擴張到初始半徑的6.5倍左右， 發(fā)生空化現(xiàn)象， 當氣泡的初始位置遠離波腹時， 氣泡的振動變得平緩， 當氣泡的位置在靠近其最近的波腹距離為1/4波長處， 氣泡的最大振動半徑是初始氣泡的1倍左右， 空化現(xiàn)象不會發(fā)生.

圖 1 氣泡振動最大半徑隨氣泡位置變化曲線Fig.1 The relationship of the best radius of a bubble with position

圖 2 是運動氣泡在距聲壓波腹1/50聲波長位置處氣泡的徑向振動的數(shù)值模擬， 數(shù)值模擬結果表明：運動氣泡在一個聲周期內， 氣泡擴張最大半徑57.51 μm. 圖 3 是一個聲周期內距離聲壓波腹1/50聲波長位置處氣泡內部的溫度變化， 數(shù)值模擬結果表明， 初始半徑為9 μm的運動球形氣泡在距聲壓波腹1/50聲波長的位置處， 一個聲周期內， 泡內的最高溫度為1 571 K， 出現(xiàn)在氣泡擴張到最大半徑后第一次反彈收縮至最小半徑時. 上述結果表明：在驅動聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅動頻率為20 kHz 的驅動聲場中， 距離波腹1/50聲波長處初始半徑為9 μm的球形氣泡在聲波的作用下會朝著聲壓波腹處移動， 并且能夠發(fā)生空化現(xiàn)象， 在這種情況下， 氣泡的收縮振動和氣泡的平動是同時發(fā)生， 并且是相互耦合的， 因此， 氣泡的平動會對氣泡的徑向振動產生影響， 減弱氣泡的徑向振動， 因此考慮運動的氣泡空化現(xiàn)象更接近真實液體中氣泡的運動狀態(tài).

圖 2 距聲壓波腹1/50處氣泡的徑向振動Fig.2 The radial oscillation of a bubble with the position of 1/50 depart from pressure antinodes

圖 3 距聲壓波腹1/50處氣泡內部溫度變化Fig.3 The inside temperature of a bubble with the position sof 1/50 depart from pressure antinodesii

2.2 氣泡位置對氣泡平動速度的影響

單個球形氣泡在聲場作用下， 會向著波腹或者波節(jié)運動， 為了研究不同初始位置氣泡的運動， 本文數(shù)值模擬了驅動聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅動頻率為20 kHz的聲場下， 一個初始半徑為9 μm 的球形氣泡的平動速度及其影響因素.

圖 4 不同位置處氣泡的平動速度Fig.4 The translation velocity of different position depart from pressure antinodes

圖 4(a)～(d)分別是氣泡距聲壓波腹距離為0， 4， 8， 18 mm位置處氣泡的平動速度， 數(shù)值模擬結果表明， 當氣泡初始位置在聲壓波腹時， 氣泡無平動， 其在聲場作用下做劇烈的收縮振動， 發(fā)生空化現(xiàn)象. 當氣泡初始位置遠離聲壓波腹時， 氣泡除了做收縮振動之外， 還出現(xiàn)了平動， 其平動速度隨著離聲壓波腹位置距離的增大而逐漸增加， 當氣泡初始位置位于距聲壓波腹4 mm時， 也就是距聲壓波腹接近1/16聲波長時， 氣泡的平動速度增大， 可以達到78.86 m/s， 當氣泡的初始位置遠離1/16聲波長時， 氣泡的平動速度逐漸減小， 圖略， 當氣泡的初始位置處于距離聲壓波腹1/8波長附近時， 氣泡的平動速度減小到3.67 m/s， 當氣泡初始位置離聲壓波腹超過1/8聲波長時， 氣泡的平動速度迅速減小， 當氣泡離聲壓波腹的距離接近1/4聲波長， 也就是靠近聲壓波節(jié)時， 氣泡平動速度非常小， 如圖4(d)所示. 這種現(xiàn)象的原因是：氣泡在聲波的作用下會朝著聲壓波腹或波節(jié)運動， 當氣泡初始位置位于聲壓波腹處時， 氣泡只做收縮振動， 不會再朝著另一個聲壓波腹或波節(jié)運動， 而當氣泡的初始位置遠離聲壓波腹時， 氣泡除了做收縮振動之外， 在聲場的作用下將會向著距離最近的聲壓波腹或者波節(jié)運動， 而且數(shù)值模擬結果也表明， 氣泡的平動速度快慢有一個區(qū)間范圍， 在距聲壓波腹1/16波長附近的氣泡其平動速度最大， 能夠迅速朝著其最近的聲壓波腹或聲波波節(jié)運動， 當氣泡初始位置距聲壓波腹趨于1/4聲波長時， 氣泡的平動速度非常緩慢， 因為此時氣泡已經靠近了聲波波節(jié)， 所以其運動速度趨于0， 在波節(jié)位置處來回振蕩.

3 運動氣泡受到的主Bjerknes力及其對氣泡動力學的影響

3.1 初始半徑對運動氣泡受到的主Bjerknes力的影響

氣泡在聲場作用下， 會向著波腹或者波節(jié)運動， 氣泡受到驅動聲場的作用力就稱為主Bjerknes力[17]， 圖 5 是初始半徑分別為2, 9, 12 μm 的球形氣泡受到的主Bjerknes力與氣泡初始位置的關系. 通過對比可以發(fā)現(xiàn)， 當驅動聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅動頻率為20 kHz 時， 距離聲壓波腹為1/4波長范圍內初始半徑為2， 9和12 μm的運動的球形氣泡在聲場中受到的主Bjerknes力都為負， 根據(jù)文獻[17-18]的結論， 在這個范圍內的氣泡都會向著最近的波腹運動， 氣泡初始半徑越大， 其受到的主Bjerknes力越大， 也就是說在距聲壓波腹1/4波長范圍內較大的大氣泡會更快地運動至聲壓波腹處.

圖 5 不同尺寸的氣泡受到的主Bjerknes力與氣泡位置的關系Fig.5 The curve of the primary Bjerknes force and position with different initial radius of a bubble

3.2 聲場參數(shù)對運動氣泡的影響

聲場參數(shù)對運動氣泡的動力學特性會產生很大影響， 為了研究不同聲場下氣泡的動力學特性， 本文數(shù)值模擬了同樣尺寸的氣泡在不同驅動聲壓和不同驅動頻率下受到的主Bjerknes力， 用來研究氣泡的動力學特性及運動趨勢.

圖 6 是驅動頻率為20 kHz， 驅動聲壓振幅為1.15×105， 1.25×105和1.35×105Pa下的初始半徑為9 μm運動的球形氣泡受到的主Bjerknes力， 數(shù)值模擬結果表明：同樣驅動頻率、 不同聲壓振幅下， 同樣尺寸的球形氣泡在距離波腹1/4波長范圍內， 受到的主Bjerknes力都為負， 這表明氣泡會在聲場力的作用下朝著最近的波腹運動.

圖 6 不同驅動壓力下主Bjerknes力與氣泡位置的關系Fig.6 The curve of the primary Bjerknes force and position with different driving pressure

除此之外， 在上述條件下， 氣泡受到的主Bjerknes力和聲壓振幅成正比， 聲壓振幅越大， 氣泡受到的主Bjerknes力越大. 這說明：低頻強聲場中(Pa>1×105Pa)， 距離聲壓波腹1/4波長范圍內小的球形氣泡(R0<10 μm)在聲場作用下會朝著最近的波腹運動， 并且聲場越強， 氣泡運動的速度越快.

圖 7 不同驅動頻率下主Bjerknes力與氣泡位置的關系Fig.7 The curve of the primary Bjerknes force and position with different driving pressure a

圖 7 是驅動聲壓振幅為1.35×105Pa， 初始半徑為9 μm的球形氣泡在驅動頻率為20， 40和80 kHz 的聲場中受到的主Bjerknes力隨氣泡位置的變化曲線， 為了進行比較， 本文分別數(shù)值模擬了距離聲波(驅動頻率為20 kHz)波腹1/4波長范圍內的氣泡受到的主Bjerknes力， 距離聲波(驅動頻率為40 kHz)波腹1/2波長范圍內的氣泡受到的主Bjerknes力， 距離聲波(驅動頻率為80 kHz)波腹1個波長范圍內的氣泡受到的主Bjerknes力. 數(shù)值模擬結果表明： 對于80 kHz的聲波而言， 當氣泡初始位置距聲壓波腹為0～4.65mm(0～1/4聲波長)時， 氣泡受到的主Bjerknes力負， 這表明這些位置處除了靠近波節(jié)位置外， 其余位置處的氣泡會朝著聲壓波腹運動， 這個區(qū)域的氣泡在前面的分析中能夠發(fā)生空化現(xiàn)象； 當氣泡初始位置距離聲壓波腹為4.65～9.25 mm(1/4～1/2聲波長)時， 氣泡受到的主Bjerknes力大于零， 這意味著這個區(qū)域內的氣泡將向著距其最近的波節(jié)運動， 根據(jù)前面的分析， 波節(jié)處的氣泡不會發(fā)生空化現(xiàn)象； 當氣泡初始位置距離聲壓波腹為9.25～14.00 mm(1/2～3/4聲波長)時， 氣泡受到的主Bjerknes力小于零， 表明除了波節(jié)附近的氣泡之外， 其余位置處的氣泡會向著距其最近的波腹運動， 這個區(qū)域內的氣泡也會發(fā)生空化現(xiàn)象； 當氣泡初始位置距離聲壓波腹為14～18.60 mm(3/4～1個聲波長)時， 氣泡受到的主Bjerknes力為正， 氣泡會朝著距其最近的波節(jié)運動， 不會發(fā)生空化現(xiàn)象.

當驅動頻率為40 kHz 時， 氣泡在距離聲壓波腹為0～9.4 mm的位置處， 其受到的主Bjerknes力小于零， 表明除了靠近波節(jié)位置處的氣泡之外， 其位置處的氣泡都會朝著聲壓波腹處運動， 發(fā)生空化現(xiàn)象， 靠近9.4 mm處的氣泡根據(jù)前面的分析， 會在波節(jié)處來回振蕩， 這些氣泡不發(fā)生空化現(xiàn)象； 當氣泡在距離聲壓波腹為9.4～18.6 mm(1/4～1/2聲波長)的位置處， 氣泡受到的主Bjerknes力為正， 表明這些位置處的氣泡在聲場的作用下會朝著聲波波節(jié)處運動， 不會發(fā)生空化現(xiàn)象.

當驅動頻率為20 kHz 時， 氣泡受到的主Bjerknes力也遵循上述的規(guī)律， 其運動及動力學分析見3.1節(jié). 綜上所述， 聲場驅動頻率越大， 向聲壓波腹處運動的氣泡所處的范圍越小， 能夠發(fā)生空化的氣泡數(shù)量越少， 因此在上述研究條件下， 對于考慮了平動的氣泡而言， 低頻超聲更利于其空化.

4 結 論

實驗證明， 當液體處于聲場中， 液體中的氣泡會向著聲壓波腹或波節(jié)處運動， 因此聲場中氣泡的空化應該考慮氣泡發(fā)生的平動對其造成的影響， 本文研究了強聲場(Pa>1×105Pa)中運動球形氣泡的動力學特性， 研究結果表明：強聲場中氣泡的平動會影響空化氣泡的動力學特性， 使得氣泡空化時最大擴張半徑和泡內溫度均小于同樣條件下的靜止氣泡； 在波腹位置處的氣泡不發(fā)生平動， 氣泡的平動速度隨著氣泡遠離聲壓波腹而逐漸增加， 當氣泡位置位于距聲壓波腹1/16聲波長附近位置處， 氣泡的平動速度最大， 會迅速向波腹運動， 發(fā)生空化現(xiàn)象， 當氣泡的位置距聲壓波腹距離趨于1/4波長處時， 氣泡會在波節(jié)處振蕩， 不發(fā)生空化現(xiàn)象； 驅動聲壓振幅越大， 氣泡受到的主Bjerknes力越大， 氣泡越容易向聲壓波腹處運動而發(fā)生空化； 低頻強聲場中， 能夠發(fā)生空化的氣泡更多， 所處的范圍更大， 相較高頻聲場更易發(fā)生空化.