具有k個(gè)懸掛點(diǎn)的化學(xué)圖的調(diào)和指數(shù)

孫曉玲, 高玉斌, 杜建偉

(1. 中北大學(xué) 儀器與電子學(xué)院, 山西 太原 030051; 2. 中北大學(xué) 理學(xué)院, 山西 太原 030051)

0 引 言

式中：d(u)表示G中頂點(diǎn)u的度. 調(diào)和指數(shù)對(duì)于預(yù)測(cè)化合物的物理化學(xué)性質(zhì)(如沸點(diǎn)、 生成焓、 色譜保留時(shí)間、 Antoine方程(蒸汽壓)中參數(shù)、 表面積和水中溶解度等)有著積極的意義.

本文所考慮的圖G=(V(G),E(G))均為簡單連通圖, 其中V(G)是G的頂點(diǎn)集,E(G)是G的邊集.NG(u)(簡寫為N(u))表示G中頂點(diǎn)u的所有鄰點(diǎn)構(gòu)成的集合，dG(u)=|NG(u)|(簡寫為d(u))表示G中頂點(diǎn)u的度. 如果d(u)=1， 則稱點(diǎn)u為懸掛點(diǎn). 一條邊的一個(gè)端點(diǎn)為懸掛點(diǎn)， 稱該邊為懸掛邊. 設(shè)Ps=v0v1…vs是G中的一條路, 滿足d(v1)=d(v2)=…=d(vs-1)=2(除非s=1). 如果d(v0)=1且d(vs)≥3, 則稱Ps是G中的一條懸掛鏈. 如果一個(gè)連通圖G的最大度不超過4, 則稱該連通圖為分子圖或化學(xué)圖. 一個(gè)(n,m,k)-圖是指具有n個(gè)頂點(diǎn),m條邊和k個(gè)懸掛點(diǎn)的連通圖. 顯然, (n,n-1,k)-圖是樹, (n,n,k)-圖是單圈圖, (n,n+1,k)-圖是雙圈圖, (n,n+2,k)-圖是三圈圖.

設(shè)G=(V(G),E(G))是一個(gè)簡單連通圖. 為了方便討論， 還定義了以下記號(hào)

Vi(G)={u|u∈V(G),d(u)=i},

ni=|Vi(G)|,

E1={uv∈E(G)|d(u)=1,d(v)=2},

E2={uv∈E(G)|d(u)=d(v)=2},

E3={uv∈E(G)|d(u)=2,d(v)≥3},

E4={uv∈E(G)|d(u),d(v)≥3},

E5={uv∈E(G)|d(u)=1,d(v)≥3}.

文中未加說明的術(shù)語和記號(hào)可參看文獻(xiàn)[17].

引理1[3]設(shè)G是n階連通圖, 則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G是正則圖.

引理2[18]設(shè)G是n階連通圖， 則

設(shè)G是(n,m,k)-圖, 易知m≥n-1且k≥0. 如果k=0, 由引理1可知, 具有最大調(diào)和指數(shù)的化學(xué)(n,m,0)-圖是r-正則圖, 其中r=2,3,4. 另外, 具有最大調(diào)和指數(shù)的化學(xué)(n,n-1,k)-圖在文獻(xiàn)[19]中已被劉少強(qiáng)和李建喜所確定， 所以下面只討論k>0且m≥n的情況. 用Gn,m,k表示滿足k>0且m≥n的(n,m,k)-圖的集合.

引理3 設(shè)

則對(duì)于x>2， 有f(x)<0.

證明對(duì)于x≥2, 有

故f(x)在x∈[2,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞減. 于是對(duì)于x>2, 有f(x)

引理4 設(shè)

其中x,y>2, 則g(x,y)<0.

證明對(duì)于固定的y>2, 有

所以g(x,y)關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)遞減. 又由于g(x,y)關(guān)于x,y對(duì)稱, 所以對(duì)于固定的x>2,g(x,y)關(guān)于y也嚴(yán)格單調(diào)遞減. 此外,g(x,y)是關(guān)于x,y≥2的連續(xù)函數(shù), 因此， 對(duì)x,y>2, 有g(shù)(x,y)

引理5 設(shè)

則h1(x)在x∈[3,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h1(x)在x∈[3+∞)上單調(diào)遞增.

與引理5證明類似， 可以得到下面的引理6.

引理6 設(shè)

則h2(x)在x∈[3,+∞)上單調(diào)遞增.

引理7 設(shè)G∈Gn,m,k. 假定u∈V(G)是一個(gè)2度點(diǎn), 且該點(diǎn)既不在任何一個(gè)懸掛鏈上也不在任何一個(gè)3圈中. 設(shè)點(diǎn)u的鄰點(diǎn)度至少為2, 則存在圖G′∈Gn,m,k, 使得以下情形之一成立：

1)H(G)

2)H(G)=H(G′)且G′中懸掛鏈的頂點(diǎn)數(shù)比G中懸掛鏈的頂點(diǎn)數(shù)多.

證明記NG(u)={v,w} (其中dG(u)=2),dG(v)=p≥2,dG(w)=q≥2.設(shè)x是G中的一個(gè)懸掛點(diǎn),y是其鄰點(diǎn)， 則dG(y)=l≥2. 令G′=G-uv-uw-xy+vw+xu+yu, 易知G′∈Gn,m,k, 另外, 有

如果l>2或p,q>2, 由引理3和4, 可得H(G)

圖 1 在懸掛邊上添加新頂點(diǎn)的操作Fig.1 The operation of adding new vertices on pendant edge

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)G∈Gn,m,1滿足m=n或m=n+1， 則

(1)

圖 2 四個(gè)具有最大調(diào)和指數(shù)的(n,m,k)-圖Fig.2 Four extremal-graphs with maximum harmonic index

證明設(shè)G∈Gn,m,1滿足m=n或m=n+1， 則E(G)=E1∪E2∪E3∪E4∪E5， |E1|+|E5|=1. 由引理2， 5和6， 有

H(G)=

現(xiàn)在考慮下面兩種情況.

情況1m=n(n≥5)，G是單圈圖.

情況2m=n+1(n≥6)，G是雙圈圖.

現(xiàn)假定(1)中等號(hào)成立， 那么以上所討論的不等式必須都取等號(hào). 因此， 有i)|E1|=1， |E5|=0； ii) 對(duì)于任意的uv∈E3， 有d(u)=2,d(v)=3及|E3|=3； iii)對(duì)于任意的uv∈E4， 有d(u)=d(v). 由于E3的每條邊都分別與E4的一條邊相鄰， 與一個(gè)2度點(diǎn)關(guān)聯(lián)， 所以對(duì)于任意的uv∈E4， 有d(u)=d(v)=3， 這表明G∈Bn. 反之， 容易驗(yàn)證(1)中的等號(hào)對(duì)于Bn是成立的. 證畢.

與定理1證明類似， 可以得到下面的定理2.

定理2 設(shè)G∈Gn,n,2， 則

定理3 設(shè)G∈Gn,m,k滿足m=n且k≥3， 或m=n+1且k≥2， 或m≥n+2， 則

(3)

H(G)=

在實(shí)際中， 有許多烴類化合物的分子圖是(n,m,k)-圖， 如脂環(huán)烴、 芳香烴等.它們的物理化學(xué)性質(zhì)(如沸點(diǎn)、 熔點(diǎn)、 生成焓等)與調(diào)和指數(shù)間往往存在著線性關(guān)系， 以熔點(diǎn)為例， 熔點(diǎn)越高， 調(diào)和指數(shù)越大.因此， (n,m,k)-圖的調(diào)和指數(shù)的極值問題是一個(gè)值得研究的課題， 運(yùn)用本文所得結(jié)論可以幫助我們更好地分析和預(yù)測(cè)烴類化合物的物化性質(zhì).