找好鋪墊 使學(xué)生的思維升級
——以“兩點距離”型試題的命制為例

/黃 偉 王宗信

數(shù)學(xué)試題的命制不能一味以難為準(zhǔn)，命題除了考查學(xué)生對學(xué)科知識和能力的掌握外，還要利于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的形成。為此，我們可以在命題中加上一些鋪墊，逐步使學(xué)生的思維升級?，F(xiàn)以“兩點距離”型試題的命制為例，說明具體的做法。

例 1：如圖1-1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，△ACD是等邊三角形，DF⊥AC、垂足為F、與AB相交于點E，連接CE。

（1）證明：△AED≌△CED；

（2）P是直線 DE上的一點（圖1-2），連接PB、PC。

①求證：PA=PC；

②若AB＝10，PB+PC是否有最小值，若有求出此時PB+PC的值，若沒有請說明理由。

圖1－1

圖1－2

適用范圍：在八年級上學(xué)期學(xué)生初學(xué)全等三角形、軸對稱圖形后，結(jié)合七年級所學(xué)的“三角形的兩邊之和大于第三邊”以及“兩點之間線段最短”，就可以在月考、期中考試使用這個系列的題組進行訓(xùn)練、考試。

命制思路：首先是考查學(xué)生對于等邊三角形的軸對稱性掌握情況，試題中“△ACD是等邊三角形，DF⊥AC、垂足為F”考查了等腰三角形底邊上的三線合一，可以得到直線DF是線段AC的垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)“垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”，易證△AED≌△CED，此處考查了學(xué)生全等三角形判定的學(xué)習(xí)情況。

直線DF是本題一條關(guān)鍵的直線，它貫通整個圖形，它是對稱軸，有了問題（1）的解決，問題（2）的求證只需利用垂直平分的性質(zhì)便迎刃而解，同時也為解決最后一個問題起到了一個很好的鋪墊。

利用前一問題中得到的結(jié)論，等量代換PB+PC=PB+PA，P 是動點，如圖1－3當(dāng) A、P、B三點不共線時，△APB 中有 PB+PA＞AB（三角形的兩邊之和大于第三邊），而A、B兩點是定點，PB+PA就轉(zhuǎn)化為兩定點間連線的長，其長度何時最短可以根據(jù)基本事實“兩點間線段最短”來解決，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、B三點共線時（即P為直線DF與線段AB的交點時），PB+PA=AB，結(jié)合上述兩種情況的探究可以得到PB+PA≥AB。

圖1－3

在解決本題的過程中，需要考查學(xué)生靈活運用軸對稱的性質(zhì)，在變化的過程中尋找到那些不變的關(guān)系，巧妙實現(xiàn)直線（對稱軸）同側(cè)的兩條線段之和轉(zhuǎn)化為對稱軸異側(cè)兩定點之間連線線段最短的轉(zhuǎn)化，有助于積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。本題的命制體現(xiàn)了對學(xué)生認(rèn)知的尊重，以人為本，遵循呈現(xiàn)低起點、易進難出、漸入佳境的原則。

上題是利用軸對稱性作一次對稱點，利用對應(yīng)線段相等，把在對稱軸同側(cè)的兩點距離轉(zhuǎn)化為“對稱軸異側(cè)兩點間線段最短”解決問題，有的時候，一次對稱不能完成任務(wù)，需要兩次對稱，如例2。

例2：已知∠AOB，P為其內(nèi)部一點，OP=6，C、D分別為 OA、OB邊上的一動點，要使△PCD的周長最小，請給出確定點C、D位置的方法，并求出最小周長。

（1）如圖2-1，若∠AOB=45°，其他條件不變，要使△PCD的周長最小，請給出確定點C、D位置的方法，并求出最小周長。

圖2－1

（2）若∠AOB=30°，其他條件不變，要使△PCD的周長最小，請給出確定點C、D位置的方法，并求出最小周長。當(dāng)∠AOB=60°時，又如何呢？

適用范圍：在八年級上學(xué)期學(xué)生初學(xué)全等三角形、軸對稱圖形，特別是等腰三角形的性質(zhì)之后，結(jié)合七年級所學(xué)的“三角形的兩邊之和大于第三邊”以及“兩點之間線段最短”，就可以在月考、期中考試、期末考試乃至中考使用本題組進行訓(xùn)練、考試。

命制思路：三角形的周長就是三角形三邊的長相加，即△PCD的周長=PC+CD+PD，由于C、D分別為OA、OB邊上的一動點，所以三邊長均處于變化之中，也就是該三角形三個頂點中有兩個頂點在移動、三條邊都在變化，考查學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)在變化的過程中那些不變的關(guān)系，要想盡辦法使動點處于兩個定點之間的連線上，這就是考查學(xué)生空間想象能力。

點P是定點，那就還要在兩個動點所在的路線上做文章，把動點所在的直線作為對稱軸，作定點P關(guān)于對稱軸的對稱點就可以實現(xiàn)上述兩個目標(biāo)。如圖2-2，∠AOB=45°，作點P關(guān)于直線 OA 的對稱點 P′，連接 P′C，則有 P′C=PC，再作點P關(guān)于直線OB的對稱點P′′，連接P′′D，則有 P′′D=PD，這樣可以把△PCD 的周長轉(zhuǎn)化即 PC+CD+PD=P′C+CD+P′′D，這樣三角形的周長就轉(zhuǎn)化兩個定點P′與P′之間的連線長，根據(jù)“兩點之間線段最短”，連接線段P′P′′如圖2-3，當(dāng)點C移動到線段P′P′與直線OA的交點C′處，點D移動到線段P′P′′與直線OB的交點 B′處時，PCD 的周長就是線段 P′P′′的長，此時根據(jù)軸對稱性∠P′′OD=∠POD，且∠P′OC=∠POC，繼而∠P′OP′′=∠P′′OD+∠POD+∠POC+∠P′OC=2（∠POD+∠POC）=2∠AOB=2×45°=90°，另外，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知道 P′O=PO=P′′O，此時的△P′OP′′是等腰三角形，可以求出線段P′P′′的長。同樣的思路適用于問題（2）。

圖2－2

圖2－3

實際上，本題可以推廣到一般的情況，得到一個定理：△P′OP′′是等腰三角形，∠P′OP′′=2∠AOB，線段 P′P′′的長是△PCD 的周長最小值。可以命制∠AOB是直角或者鈍角的題這樣使本題的數(shù)學(xué)價值發(fā)揮到極致，也有助于幫助學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美之巧之妙，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生在“做”中感悟軸對稱圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后再通過圖形的運動確認(rèn)或者用綜合法論證探索得到結(jié)論。用圖形運動的方式確認(rèn)探索得到的結(jié)論，有利于不斷發(fā)展學(xué)生對圖形直觀把握的能力，逐步形成一種審視、處理問題的方式。將探索和證明有機地結(jié)合在一起，可以引導(dǎo)學(xué)生不斷地感受證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，知曉合情推理和演繹推理都是人們正確認(rèn)識事物的重要途徑。