一種復(fù)雜曲面檢測的改進(jìn)最小二乘方法

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(1.遼寧省數(shù)控機(jī)床信息物理融合與智能制造重點實驗室, 遼寧 撫順 113122；2.沈陽工學(xué)院 機(jī)械與運載學(xué)院，遼寧 撫順 113122； 3.沈陽音樂學(xué)院 藝術(shù)管理系，沈陽 110168)

0 引言

對復(fù)雜曲面的檢測是現(xiàn)代檢測過程中，面臨的重要問題，隨著中國制造業(yè)的跨越式發(fā)展以及高端制造業(yè)的實際需求，零件的加工向著復(fù)雜化、精密化的方向發(fā)展[1]。上述發(fā)展方向?qū)α慵募庸ぞ燃皺z測精度提出了更高的要求[2-3]。葉輪作為動力機(jī)械的關(guān)鍵部件，目前在航空、造船、發(fā)電、風(fēng)機(jī)等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用[4-5]。葉輪葉片屬于自由曲面，葉片扭曲嚴(yán)重，測量時易發(fā)生干涉，且要求全尺寸檢測，項目較多，檢測效率低下，被視為制造業(yè)中的難題之一[6-8]。目前，常采用整體葉輪葉片型面展成運動軌跡的計算方法[9]、數(shù)字樣板檢測法[10]和基于曲率的測量點采樣方法[11]。上述測試方法雖然存在現(xiàn)場使用方便，檢測迅速，費用低廉的優(yōu)點，但存在測量精度不高，且葉片上的坐標(biāo)點屬于空間三維曲面上的點，測量時需采用三維補(bǔ)償[12]，輪廓度評價時需要采用六維最佳擬合[13]，因此，對測量軟件算法和機(jī)器精度要求很高。陸峰等提出了一種三維檢測方法，該方法是基于光學(xué)測量和計算機(jī)圖形圖像處理相結(jié)合的技術(shù)[14]。劉濤等提出了一種以3D數(shù)字化模型為基礎(chǔ)的檢測方法，該方法主要針對復(fù)雜三維型面渦旋零件的精度進(jìn)行檢測(方法是利用三坐標(biāo)測量機(jī)獲取渦旋零件的表面點云數(shù)據(jù)，再借助于Geomagic Qualify三維檢測軟件對獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，該方法實現(xiàn)了檢測結(jié)果的可視化[15]。關(guān)娟等針對復(fù)雜曲面重點研究了如何利用最小二乘法進(jìn)行非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合問題求解，并基于VB語言與Matlab語言結(jié)合的方式進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)軟件的設(shè)計，通過實際結(jié)果表明，該文中提出的算法具有非常好的擬合效果，并通過實際工程項目進(jìn)行了檢驗[16]。

文獻(xiàn)[17]針對風(fēng)電機(jī)組中的主軸承實時狀態(tài)測量問題給出了一種基于深度信念網(wǎng)絡(luò)(DBN)的監(jiān)測方法。文獻(xiàn)[18]基于風(fēng)電機(jī)組中的主軸承故障檢測采用了SCADA數(shù)據(jù)處理的檢測方法。相比于主軸承的檢測來說，葉輪葉片的型面更為復(fù)雜，對發(fā)動機(jī)性能影響較大，其故障率相對較高，若發(fā)生故障，會造成無法估量的損失，因此，研究有效的葉輪葉片檢測方法對發(fā)動機(jī)行業(yè)意義重大。

本文采用三坐標(biāo)測量機(jī)結(jié)合PC-DIMS軟件葉輪葉片進(jìn)行檢測，基于迭代法進(jìn)行坐標(biāo)系建立，并進(jìn)行葉輪葉片的曲面檢測，提出利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與求解。

1 三坐標(biāo)測量機(jī)工作過程及復(fù)雜曲面檢測分析

1.1 三坐標(biāo)測量機(jī)工作過程

三坐標(biāo)測量機(jī)的工作原理是在三維可測的空間范圍內(nèi)，能夠根據(jù)測頭系統(tǒng)探測工件，返回工件表面的點數(shù)據(jù)，通過三坐標(biāo)的軟件系統(tǒng)(如AC-DMIS)計算各類幾何形狀、尺寸等測量能力的儀器。

在空間中，可以用坐標(biāo)來描述每一個點的位置，多個點可以用數(shù)學(xué)的方法擬合成幾何元素，如：面、線、圓、圓柱、圓錐等。利用幾何元素的特征，如：圓的直徑、圓心點、面的法矢、圓柱的軸線、圓錐頂點等可以計算這些幾何元素之間的距離和位置關(guān)系、進(jìn)行形位公差的評價，以上就是三坐標(biāo)的工作原理[15]。由此可見，三坐標(biāo)測量機(jī)的這一工作原理使其具有很強(qiáng)的通用性與柔性。從原理上說，它可以測量任何工件的任何幾何元素對應(yīng)的幾何參數(shù)。

三坐標(biāo)測量機(jī)種類繁多、形式各異、性能多樣，所檢測對象和放置環(huán)境條件也不盡相同，是典型的機(jī)電一體化設(shè)備，大體由機(jī)械系統(tǒng)(主機(jī))、探測系統(tǒng)(測頭)、電氣系統(tǒng)(操縱盒)、以及軟件系統(tǒng)(計算機(jī))四部分組成[19]。

圖1 機(jī)械測頭示意圖

表1 不正確的矢量及相關(guān)誤差表

圖2 不正確的矢量及相關(guān)誤差

正如TP20這樣的機(jī)械測頭，包括3個電子接觸器，當(dāng)測桿接觸物體使測桿偏斜時，至少有一個接觸器斷開，此時機(jī)器的X、Y、Z光柵被讀出。這組數(shù)值表示此時的測桿球心位置。

1.2 復(fù)雜曲面檢測分析

葉輪(impeller)，又稱工作輪，屬于復(fù)雜曲面的一種。葉輪作為動力機(jī)械的關(guān)鍵部件，目前在航空、造船、發(fā)電、風(fēng)機(jī)等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用。葉輪葉片的型面非常復(fù)雜，對發(fā)動機(jī)性能影響大，設(shè)計研制周期長，制造工作量大。其加工、檢測一直被視為制造業(yè)中的難題之一，葉輪加工過程中的全面質(zhì)量控制是葉輪制造過程中的重要環(huán)節(jié)。

葉輪檢測的難點在于：

1)葉輪葉片屬于自由曲面，葉片扭曲嚴(yán)重，測量時易發(fā)生干涉。

2)葉片上的坐標(biāo)點屬于空間三維曲面上的點，測量時應(yīng)采用三維補(bǔ)償，輪廓度評價時需要采用六維最佳擬合，對測量軟件算法和機(jī)器精度要求很高。

3)效率和精度要高。葉輪通常要求全尺寸檢測，項目較多，無法從效率上滿足要求。

葉輪三維視圖如圖3所示。矢量點和自動圓如圖4所示。圖 5為葉輪加工工藝圖。

圖3 葉輪三維視圖

圖4 矢量點及自動圓

圖5 葉輪加工工藝圖

2 復(fù)雜曲面檢測方法

2.1 坐標(biāo)系建立原理

迭代法原理：迭代法建立坐標(biāo)系主要應(yīng)用于工件原點不在工件本身、或無法找到相應(yīng)的基準(zhǔn)元素(如面、孔、線等)來確定軸向或原點的零件。迭代法建立坐標(biāo)系特征元素必需要有數(shù)模或用于建立坐標(biāo)系的元素的理論值信息。

圖6 確定直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸

本次測量葉輪采用六點迭代法建系，使其測量點擬合為平面、直線、點，再利用3-2-1法創(chuàng)建坐標(biāo)系。其六點法迭代建立坐標(biāo)系的算法步驟如下：

Step1：確定3個矢量方向近似一致的矢量點。

Step2：將3個矢量點進(jìn)行擬合確定一個平面，目的是找正一個軸向。

Step3：確定兩個矢量方向近似一致的點，并且此兩點的連線與前3個點方向垂直。

Step4：將兩個矢量點進(jìn)行擬合，確定一條直線

Step5：通過旋轉(zhuǎn)確定第二軸。

Step6：將最后一個矢量點設(shè)定為原點。

Step7：要求該點的方向與前5個點矢量方向均垂直。

結(jié)合葉輪形狀，為精確建立坐標(biāo)系，本文采用在葉輪下表面打3個矢量點來擬合平面，在葉片上部測量2個矢量點進(jìn)行直線的擬合，在葉輪上表面打出矢量圓來進(jìn)行坐標(biāo)原點的擬合。

2.2 進(jìn)行矢量點自動圓的選擇

矢量點自動圓的選擇算法：

Step1：測量模式首先調(diào)整為手動模式。

Step2：打開自動測量圓對話框，在數(shù)模上選取圓，圓上表面“采樣例點”必須為3個，間隙-2。

Step3：根據(jù)圖片所示修改中心坐標(biāo)x、y數(shù)值，鼠標(biāo)點擊自動圓上表面z的測量值自動填入。

Step4：根據(jù)葉輪圖紙參數(shù)，輸入測量點為8，圓柱深度-1。測量點的深度-0.2。調(diào)整觸點在各葉片中間。

Step5：當(dāng)自動測量圓時，為防止測頭撞到圓弧，應(yīng)修改逼近距離、回退距離，(在程序開頭把逼近距離改為2，回退距離改為3)。注意避讓移動為兩者，距離為40。

圖7為測量點的布局圖。

圖7 測量點布局圖

2.3 復(fù)雜曲面坐標(biāo)系建立方法

Step1：點擊插入-坐標(biāo)系-新建-進(jìn)入迭代法建立坐標(biāo)系。

Step2：依次選擇矢量點1.2.3.4-z軸。

Step3：依次選擇矢量點5.6.7-x軸。

Step4：依次選擇矢量點圓1-原點。

Step5：勾選“始終測量全部特征”。

Step6：打點次數(shù)選擇5或其他數(shù)值。

Step7：點目標(biāo)半徑0.1或其他(數(shù)值越小精度越高)。

Step8：確定。

算法執(zhí)行，依據(jù)算法中的打點順序依次測量所有矢量點。最后一個矢量點輸入完成后，測量機(jī)便會自動進(jìn)行迭代運行。

2.4 復(fù)雜曲面陣列確定及測量

2.4.1 復(fù)雜曲面手動打點并測量

葉片手動打點并測量算法步驟如下：

Step1：進(jìn)行特征-矢量點的插入。

Step2：在數(shù)模的葉片上進(jìn)行測量點的選擇。選擇原則：測量點選擇要均勻，數(shù)量越多評價的尺寸越精確，但耗時越長。

Step3：確定最后一個測量點是否選擇完成，如果是，轉(zhuǎn)Step4；否則，轉(zhuǎn)Step2。

Step4：移動z軸，提升到距離葉輪上表面5～10 mm處，并進(jìn)行安全點的記錄。

Step5：進(jìn)行點的測量，并記錄相關(guān)數(shù)據(jù)。

Step6：所有測量點是否測量完畢，如果是，則轉(zhuǎn)Step7；否則，轉(zhuǎn)Step5。

Step7：結(jié)果輸出。

2.4.2 獲取復(fù)雜曲面陣列

Step1：復(fù)制所有測量點，在編輯窗口中選擇葉片上所有測量點進(jìn)行復(fù)制。

Step2：修改陣列列表，點擊編輯列表-陣列，在陣列設(shè)置中修改偏置角度(45)、鏡像(無翻轉(zhuǎn))、偏置次數(shù)(7)。

Step3：陣列粘貼，光標(biāo)放到編輯窗口底部，點擊編輯列表-陣列粘貼。

Step4：葉輪中所有大葉片測量點自動生成。如圖8所示。

圖8 葉輪葉片所有測量點

3 改進(jìn)的最小二乘方法

最小二乘法(LS)作為一種最基礎(chǔ)、最經(jīng)典，同時也是最廣泛應(yīng)用的曲線擬合方法，應(yīng)用范圍異常廣泛，但也存在一定的問題：最小二乘曲線擬合的非一致的，即具有一定的偏差性。因此，為了克服改缺陷，本文采用一種改進(jìn)的最小二乘法：廣義最小二乘法。用于解決復(fù)雜曲面零件的檢測問題[20]。

一個零件在其加工過程中，實際加工精度與其設(shè)定值難免存在差距。為提高測量精度，避免測量誤差，就需要更多的測量點，這也導(dǎo)致了測量過程時間的加長。

葉輪葉片型面為復(fù)雜曲面，因此，本文采用基本測量點數(shù)擬合幾何特征的最小二乘法導(dǎo)出非線性的數(shù)學(xué)方程，并轉(zhuǎn)換為線性化方程進(jìn)行求解。算法運算過程如下：

首先，由上述測量點5、點6、點7擬合一條理想直線方程，具體擬合數(shù)學(xué)過程方法如下：

設(shè)直線所在的工作平面為XY,Pi(xi,yi)(i=1,n)為測點的集合，設(shè)定理想擬合直線方程為：

y=ax+b

(1)

由最小二乘法原理知，目標(biāo)函數(shù)為：

(2)

由于函數(shù)a和b的偏導(dǎo)數(shù)為零，因此可解直線的參數(shù)值為：

(3)

(4)

該直線通過(0，b，0)，其單位方向向量為：

(5)

其次，由上述測量點1、點2、點3、點4擬合理想平面，具體擬合過程算法如下：

設(shè)N個測量點為Pi(xi，yi，zi)(i=1,2,…,N)，則理想平面方程為：

z=Ax+By+C

(6)

由最小二乘法原理可知，目標(biāo)函數(shù)為：

(7)

直線的參數(shù)值為：

(8)

(9)

(10)

平面的單位向量(l，m，n)為：

(11)

(12)

(13)

最后，由上述測量自動圓的圓心來擬合坐標(biāo)原點，具體擬合算法如下：

設(shè)測量工作平面為X，Y，N，測量點為Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,N),則理想的圓方程為：

(x-x0)2+(y-y0)2=R2

(14)

由最小二乘法原理，目標(biāo)函數(shù)為：

(15)

由于本函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為非線性方程組，為求解方便，對函數(shù)進(jìn)行線性化處理:

(16)

(17)

本文改進(jìn)的最小二乘法的處理過程如下，假設(shè)該系統(tǒng)采用的模型如下：

(18)

其中:A(z-1)，B(z-1)和C(z-1)的定義如式(19)和(20)所示：

(19)

(20)

na，nb和nc作為模型的階次，在本文中假定是已知的，采用改進(jìn)的廣義最小二乘法可以得到上式的無偏一致估計。有如下的兩個假定：

(21)

及:

(22)

將模型化為最小二乘格式：

(23)

由于v(k)是白噪聲，所以用最小二乘可以獲得參數(shù)θ的無偏估計，由于噪聲模型C(z-1)未知，還需要用迭代的方法來求得C(z-1)。令:

(24)

置:

(25)

這樣就把噪聲模型也轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚《烁袷剑?/p>

(26)

(27)

計算，式中,

h(k)=[-z(k-1),…,-z(k-na),u(k-1),…,u(k-nb)]T

(28)

綜上所述，改進(jìn)的廣義最小二乘法可歸納為：

(29)

上述算法流程如圖9所示。

圖9 算法處理流程圖

4 復(fù)雜曲面實際測量及結(jié)果分析

利用遼寧省數(shù)控機(jī)床信息物理融合與智能制造重點實驗室中的海克斯康三坐標(biāo)測量機(jī)，對葉輪采用上述算法進(jìn)行了實際檢測。

具體檢測步驟如下：

Step1：點擊評價欄中“特征位置”界面，選擇葉片中所有測量點，勾選薄壁件選項(T)，輸入公差進(jìn)行創(chuàng)建。

Step2：點擊視圖，調(diào)出表格顯示窗口。

Step3：按照上述算法進(jìn)行葉輪測量。

Step4：葉輪測量完成，輸出測量結(jié)果。

本文選取了8個葉輪。并利用PC-DMIS數(shù)據(jù)分析軟件進(jìn)行測量點分析，在每個葉輪上選取點如圖10所示。

圖10 葉輪選取點示意圖

針對圖11中選取的點，進(jìn)行了實際測量，在葉片數(shù)模上打點的理論值與實際測量值的偏差如表2所示。

針對表2中的偏差計算出了平均值和方差折線統(tǒng)計圖，如圖11所示。

圖11 偏差平均數(shù)及方差折線圖

表2中采用上述檢測方法檢測了四組葉輪，每個葉輪隨機(jī)抽取8個測量點進(jìn)行抽樣檢查，所有點的檢測結(jié)果都在誤差允許的范圍內(nèi)，通過均值、方差和誤差來看，也都滿足指標(biāo)要求。

表2 所選測量點的測量結(jié)果及誤差

圖12為實際的檢測結(jié)果部分結(jié)論(圖中點偏差顏色顯示為超差范圍)。

圖12 檢測結(jié)論

5 結(jié)論

通過用迭代法建立復(fù)雜曲面葉輪的坐標(biāo)系，并借助于?？怂箍等鴺?biāo)測量機(jī)和PC-DIMS軟件進(jìn)行了葉片曲面的實際檢測，采用陣列粘貼的方式，利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。結(jié)合計算機(jī)求解及數(shù)據(jù)處理，通過選取8個16片葉輪，每個葉輪檢測8個點的數(shù)據(jù)分析結(jié)果可以看出，本文采用的檢測方法，結(jié)果準(zhǔn)確、可靠。此方法不僅適合于葉輪的檢測亦可用于其它難以建立準(zhǔn)確坐標(biāo)系的曲面零件場合。在后續(xù)的工作中，將以此方法所建立坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，收集其他曲面復(fù)雜零件進(jìn)行檢測，并對誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步分析，更好的指導(dǎo)測量過程。