線性方程組的應(yīng)用研究

柳江岸 朱小艷 王瑞瑞 姚淑霞

摘?要：線性方程組及其求解是線性代數(shù)及高等數(shù)學(xué)課程中的核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域中有應(yīng)用廣泛。本文介紹了線性方程組在幾何學(xué)、高次方程理論、化學(xué)等方面的應(yīng)用，以期為線性方程組的求解及應(yīng)用提供一定的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：線性方程組;幾何學(xué);高次方程;化學(xué)

1?緒論

線性代數(shù)的核心內(nèi)容是線性方程組的求解，這是在尋求線性方程組解的存在定理與求解方法的過程中產(chǎn)生的[1]。行列式理論和矩陣?yán)碚撔纬闪司€性代數(shù)的基本理論，這些理論知識(shí)本是代數(shù)問題，可是，若將該代數(shù)問題與幾何問題聯(lián)系起來，通過考慮常數(shù)項(xiàng)與系數(shù)的相互關(guān)系，從而建立方程組，就可在此基礎(chǔ)上得到方程組的矩陣求解及行列式求解[23]。這些理論知識(shí)為借用線性方程組解決實(shí)際問題提供了方法，并奠定了基礎(chǔ)。比如，將線性方程組理論應(yīng)用在解析幾何中，可內(nèi)在溝通線性代數(shù)與幾何之間的相互聯(lián)系，也可實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互滲透，還可使得對許多幾何問題的刻畫更為簡潔、明了。

2?線性方程組的應(yīng)用

線性方程組的應(yīng)用有很多方面，如在數(shù)學(xué)理論中，特別是幾何、代數(shù)等方面應(yīng)用較多。除此之外，還可以用方程組來研究初等數(shù)學(xué)中的一些問題，從而可以避免煩瑣的分析與求解[4]。線性方程組在生活中也有廣泛應(yīng)用，比如在計(jì)算機(jī)、物理、經(jīng)濟(jì)、化學(xué)及航空等領(lǐng)域。此外，線性方程組也被用于電路、力學(xué)、數(shù)字處理等課程[56]。為了能更好地應(yīng)用線性方程組的理論方法解決實(shí)際問題，需要在求解過程中將涉及的每個(gè)量聯(lián)系起來，通過分析條件及所求的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際問題，通過恰當(dāng)?shù)膯栴}轉(zhuǎn)化及變換，從而達(dá)到通過最有效、最快捷的方法來解決實(shí)際問題的目的。

2.1?線性方程組應(yīng)用在幾何方面

設(shè)上述齊次線性方程組的一組非零解為（A1，D1，E1，F(xiàn)1），由條件知，四點(diǎn)的任意三點(diǎn)均不共線，可設(shè)A1≠0（不然，會(huì)出現(xiàn)三點(diǎn)共線），從而得知這四個(gè)點(diǎn)都在圓A1（a2+b2）+D1a+E1b+F1=0（A1≠0）上，由此得證。

2.2?線性方程組應(yīng)用在高次方程理論中

定理2[8]設(shè)四個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，d各不相等，證明四元方程：

不妨設(shè)上面方程組中的四個(gè)方程有公共的實(shí)數(shù)解x0，則關(guān)于a，b，c，d的齊次線性方程組有非零解，從而上面方程組的系數(shù)行列式等于零，即x30x20x01

將x0=-1代入原方程組中，可得b=c，這與已知條件矛盾。

2.3?線性方程組應(yīng)用在化學(xué)方面

化學(xué)中的線性方程組也有廣泛應(yīng)用，比如用于化學(xué)方程式的配平問題，按照質(zhì)量守恒定律，得到對應(yīng)的方程，再經(jīng)過聯(lián)立得到相對應(yīng)方程組并求解，最后得出結(jié)果，便可得到相應(yīng)的化學(xué)方程組的配平系數(shù)。

例1[9]假設(shè)在高溫下，一氧化碳可使得四氧化三鐵還原，使其生成二氧化碳與單質(zhì)鐵，試配平如下的化學(xué)方程式：

CO+Fe3O4→Fe+CO2

解?設(shè)反應(yīng)物與生成物的量依次為x1，x2，x3，x4，通過質(zhì)量守恒定律知各原子數(shù)在反應(yīng)前后保持不變，如，通過鐵原子的守恒得x3=3x2;通過碳原子的守恒得x1=x4;因此，由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;

聯(lián)立上面三等式并移項(xiàng)得x3-3x2=0，

x1-x4=0，

x1+4x2-2x4=0。

易見上面方程組未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，因此，上述線性方程組有非零解。

由于化學(xué)方程組的每個(gè)系數(shù)必是正數(shù)，即每一個(gè)分量的解都必須是正數(shù)解;通過矩陣的初等變換得上述線性方程組的增廣矩陣：

2.4?經(jīng)濟(jì)平衡中線性方程組的應(yīng)用

例2[10]某個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中有三個(gè)行業(yè)：五金、能源、機(jī)械，而且各行業(yè)的產(chǎn)出在每個(gè)行業(yè)中的分配比例見表1，其中每列的數(shù)表示相應(yīng)行業(yè)占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例。如第一列，五金行業(yè)總產(chǎn)出分配比例是：五金行業(yè)占20%;能源行業(yè)占30%;機(jī)械行業(yè)占50%。分別用p1，p2，p3表示五金、能源、機(jī)械在每年總產(chǎn)出的各價(jià)格，為使三個(gè)行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等，試求各行業(yè)的平衡價(jià)格。

解?由上表可得列值代表的是每個(gè)行業(yè)產(chǎn)出的具體分配方式，行值代表的是每個(gè)行業(yè)所需要的投入。

設(shè)此三行業(yè)的總產(chǎn)出價(jià)格依次為p1，p2，p3，則五金行業(yè)的總支出應(yīng)該為0.3p1+0.1p2+0.4p3。

為使五金行業(yè)收入與支出相等，則應(yīng)滿足：

p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3

同理，對上表中的第1行、第3行的數(shù)據(jù)也進(jìn)行相同的處理，把它們與上式聯(lián)立起來，就得到一個(gè)齊次線性方程組：

p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3，

p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3，

p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。

解得上述方程組的通解為p1

p2

p3=p31.417

0.917

1.000，即經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的平衡價(jià)格向量。

令p3=2.000億元，可得p1=2.834億元，p2=1.834億元，即，若機(jī)械行業(yè)產(chǎn)出的價(jià)格是2.000億元，則五金行業(yè)的產(chǎn)出價(jià)格是2.834億元，而能源行業(yè)產(chǎn)出的價(jià)格為1.834億元，這樣，每個(gè)行業(yè)的收入就等于該行業(yè)的支出了。

2.5?電路中線性方程組的應(yīng)用

例3[11]如圖1所示，在直流電路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。

圖1?直流電流示意圖

解?利用電路方程中的基爾霍夫定律可以得到方程組如下：

I1（R1+R3+r1）-I3（R3+r3）=ε1-ε3;

I2（R4+R2+r2）+I3（R3+r3）=ε3-ε2;

I1-I2+I3=0。

求解上述的關(guān)于I1，I2，I3的線性方程組就可得所求的值。

參考文獻(xiàn)：

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[11]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（31960273）

作者簡介：柳江岸（1977—?），男，漢族，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。