基于自適應滑?？刂频姆謹?shù)階蔡氏電路系統(tǒng)動力學分析與控制

朱 偉，陳 坤，王 謙，朱弘釗

(1.國網(wǎng)湖南省輸電檢修分公司，湖南 衡陽 421000；2.國網(wǎng)電力科學研究院武漢南瑞有限責任公司，武漢 430074； 3.電網(wǎng)雷擊風險預防湖北省重點實驗室，武漢 430074)

0 引 言

隨著新能源汽車、無人飛行器(UAV)和平衡車的興起，工業(yè)控制對象變得越來越復雜，控制精度的要求越來越高，因此對非線性動力系統(tǒng)控制的研究變得越來越重要。

非線性動力系統(tǒng)在電力，生物工程，金融等行業(yè)都具有廣泛的應用，如電路系統(tǒng)，基因系統(tǒng)，金融系統(tǒng)等都與其動力學行為密切相關，我們的世界是由無數(shù)復雜的系統(tǒng)構(gòu)成的，它們的狀態(tài)直接影響著人民的生活、國家的穩(wěn)定，甚至是整個世界的發(fā)展。例如，金融系統(tǒng)的不穩(wěn)定性會導致金融危機，這對國家和人民都具有嚴重的危害。再如，電力系統(tǒng)的不穩(wěn)定，可能會導致一些地區(qū)甚至全國范圍內(nèi)大面積停電，嚴重阻礙生產(chǎn)力發(fā)展，甚至造成巨大損失。再比如生態(tài)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，可能會導致大量的生物繁殖，嚴重破壞生物圈的平衡，給人類社會造成不可估量的損失。因此，研究復雜系統(tǒng)的動力學過程，并試圖控制它們以達到理想的狀態(tài)是非常有價值和實際意義的。

在非線性動力系統(tǒng)中，蔡氏電路系統(tǒng)憑借著它獨特的優(yōu)勢，在非線性發(fā)展的初期就已經(jīng)占有了優(yōu)勢。早在1983年，蔡少棠教授研發(fā)出了蔡氏電路[1-3]，此研究結(jié)果在電子學界是一個重大的突破，同時也震驚了電子學界。

然而，對于它的研究，至今以來也是一個熱點課題。一些學者是對蔡氏電路的復雜行為進行解釋，一些研究者是針對如何控制蔡氏電路的復雜行為進行研究，其余的一些研究者們主要研究的難題是蔡氏電路的復雜行為的應用[4-5]。

然而，無論從哪一個研究方向來看，以前的研究人員們都主要是對一些全局蔡氏電路進行研究分析，對于分段的的蔡氏電路的研究非常的缺少[6-7]。最主要的原因是分段蔡氏電路相比于全局蔡氏電路的動力學特征，擁有更為復雜的表現(xiàn)形式。因此，對于蔡氏電路系統(tǒng)中分段蔡氏電路的研究要進一步的加強[8-9]。

此外，對于整數(shù)階系統(tǒng)動力學行為的研究，國內(nèi)外學者已經(jīng)做了大量的工作，并且得到了許多重要結(jié)論。然而在實際生活中，主要存在著非整數(shù)階。因此，研究分數(shù)階混沌系統(tǒng)的動力學行為已經(jīng)是目前非線性研究領域的一個重點方向[10-13]。因此本文主要針對于分數(shù)階的蔡氏電路系統(tǒng)進行研究。

1 準備知識

本文中我們主要運用Caputo分數(shù)階導數(shù)，因為Caputo分數(shù)階導數(shù)的微分方程的初始條件與整數(shù)階的初始條件是相同的，這樣就能夠在相同的條件下充分突出分數(shù)階微積分的優(yōu)越性[14-15]。

(1)

注意，我們使用CDα的簡化形式Dα，考慮到分數(shù)只局限于α∈(0,1]范圍內(nèi)的情況，這里Γ(x)函數(shù)表示如下

(2)

它具有如下屬性。

Γ(x+1)=xΓ(x)=x!

(3)

然后我們給出蔡氏電路的結(jié)構(gòu)圖

圖1 蔡氏電路系統(tǒng)圖Fig.1 Chua′s circuit system diagram

如圖1所示，L是一個線性電感，R是一個可調(diào)電阻，C1,C2為兩個線性電容，R0為一個非線性負電阻UC1,UC2為線性電容C1,C2的兩端的電壓，G是可調(diào)節(jié)的電阻R的電導，iRN是非線性電阻R0的電流，線性電感上的電流是iL，根據(jù)基爾霍夫電流定律，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)分數(shù)階微分方程組

C1DαuC1=G(uC2-uC1)-g(uC1)
C2DαuC2=G(uC1-uC2)+iL
LDαiL=-uC2

(4)

2 穩(wěn)定性分析

首先我們對系統(tǒng)進行無量綱化處理，令

則可以得到

(5)

這里

根據(jù)計算，可以得到系統(tǒng)的平衡點的分布如下

進行線性化處理之后，得到系統(tǒng)的特征方程矩陣為

(6)

之后我們得到

λ3α+A1λ2α+A2λα+A3=0

(7)

這里

定理1如果分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的系數(shù)滿足下列不等式組，那么該系統(tǒng)就會呈現(xiàn)漸近穩(wěn)定狀態(tài)。

(8)

證明：從不等式組(3.4)我們可以得到如下的不等式

即A1>0,A2>0,A3<0根據(jù)分數(shù)階勞斯-赫爾維茲判據(jù)[16]我們可以得到當該系統(tǒng)的所有系數(shù)滿足定理所給出的條件時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出漸近穩(wěn)定狀態(tài)。

由于該定理只為證明分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件，因此當系統(tǒng)不滿足上述情況時，可能會呈現(xiàn)震蕩狀態(tài)，也可能會呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。

3 自適應滑模同步控制

在本節(jié)中，主要研究了應用了自適應滑?？刂茖Ψ謹?shù)階蔡氏電路系統(tǒng)進行控制。根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程組，我們可以得到驅(qū)動系統(tǒng)的以下形式：

Dα1ζ(t)=ηζ(t)+f(ζ(t)),

(9)

這里

ζ(t)=,

加入自適應滑?？刂破髦蟮捻憫到y(tǒng)為：

Dα1ζ(t)=φζ(t)+g(ζ(t))+u,

(10)

然后得到了誤差函數(shù)的表達式

Dα1e(t)=φζ(t)-ηζ(t)+g(t)-f(t)+u,

(11)

然后我們選擇分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的滑模面為

(12)

求其微分為

(13)

為了提高分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的魯棒性和性能，我們定義了如下的自適應律

(14)

這里δ是自適應系數(shù)

定理2如果自適應滑?？刂破鞯倪x取條件滿足如下等式，那么就可以使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達到同步狀態(tài)。

(15)

這意味著在任意初始條件下，我們選取滿足上述式子的控制器，分數(shù)階蔡氏電路的誤差系統(tǒng)的各個狀態(tài)變量總能夠在該自適應滑?？刂破飨率諗康?，從而到達穩(wěn)定狀態(tài)。

證明：由于φ是一個常數(shù)矩陣，因此總是存在一個足夠大的正整數(shù)ζ使得下列不等式成立0<φ<ζ

然后我們選取系統(tǒng)的正定能量函數(shù)為如下形式

(16)

這里θ為常數(shù)，令ξ*>ξ/κ,然后我們可以推導出能量函數(shù)的導數(shù)為

完成證明，從而推導出施加該自適應滑?？刂破鞯姆謹?shù)階蔡氏電路系統(tǒng)可以達到穩(wěn)定狀態(tài)。

由于本文首次通過自適應滑?？刂茖Ψ謹?shù)階系統(tǒng)進行了控制并且獲得了理想的結(jié)果，但本文只研究了分數(shù)階算子從0到1的情況，對于其他的情況會在以后的研究中涉及。

同理，本文的目的旨在驗證自適應滑模控制對一般的分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)是否具有有效性，對于特殊的情況，比如受到時間延遲，噪聲以及擾動的影響的系統(tǒng)，我們將在以后的研究中去重點分析。

4 數(shù)值仿真

在這一節(jié)中，我們通過MATLAB將驗證了分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性和應用自適應滑?？刂坪笙到y(tǒng)的同步控制。

首先，根據(jù)定理1的條件，系統(tǒng)參數(shù)可以選擇為a=0.34,b=-0.98,c=6.2,d=4.78,h=2.01。

分數(shù)階算子選擇為0.98，初值選取0.1，則系統(tǒng)(5)可寫成如下形式

根據(jù)上述方程組我們可以得到下圖的仿真結(jié)果。

從上圖中可以清楚的得到，隨著時間的推移，分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)中的各個變量都會逐步趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定性。為了使得實驗結(jié)果更加清楚，我們接下來給出相圖的仿真結(jié)果。

圖2 滿足定理1的系統(tǒng)時序圖Fig.2 The sequence diagram satisfying theorem 1

圖3 滿足定理1的系統(tǒng)相圖Fig.3 The phase diagram satisfying theorem 1

從圖3可以很直觀地看出，圖中具有一個明顯的吸引子，系統(tǒng)最終會被該吸引子所吸引，從而使得系統(tǒng)收斂。

接著，我們選擇不滿足定理1并且使得系統(tǒng)不穩(wěn)定的系數(shù)為a=-0.17,b=-1.68,c=5.5,d=1.78,h=1.01,分數(shù)階算子和初值選取都不變，根據(jù)參數(shù)的選擇我們得到了系統(tǒng)不穩(wěn)定的時序圖，如圖4。然后選取滿足定理2的自適應滑?？刂破鲬玫皆摬环€(wěn)定的分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)中，令自適應系數(shù)δ=0.34，從而得到了受到控制后的分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的時序圖如圖5所示。

圖4 不滿足定理1的系統(tǒng)時序圖Fig.4 The sequence diagram unsatisfying theorem 1

圖5 應用自適應滑?？刂频南到y(tǒng)時序圖Fig.5 Sequence diagram using adaptive sliding mode control

從圖4中可以清楚的發(fā)現(xiàn)，當選擇上述不滿足定理1的參數(shù)時，分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)是呈現(xiàn)出不穩(wěn)定狀態(tài)的，而從圖5中可以發(fā)現(xiàn)一旦對系統(tǒng)施加了滿足定理2的自適應滑?？刂破?，系統(tǒng)就會逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

為了更加清楚的表現(xiàn)出自適應滑模控制的有效性，接下來我們給出分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)中每一個變量在受到自適應滑模控制前后的對比時序圖，如圖6所示。

從圖6中的a，b，c可以很明顯的發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在受到自適應滑?？刂浦螅袷幍姆葧饾u的減小，隨之逐漸趨于0，即系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。由此可以得到自適應滑模控制對不穩(wěn)定的分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)有良好的效果。下面我們在穩(wěn)定后的一段時間內(nèi)選擇了一些時間點來分析自適應滑模控制的誤差精度，見表1。

圖6 應用自適應滑?？刂魄昂蟮膶Ρ葧r序圖Fig.6 Comparison sequence diagrams before and after applying adaptive sliding mode control

時間(秒)x(t)y(t)39.530.002 2390.001 52642.420.000 6180.000 52546.720.000 0230.000 01148.219.265e-0048.247e-00451.685.312e-0044.348e-00458.352.185e-0041.311e-00461.897.642e-0055.233e-00564.734.983e-0053.591e-00571.892.479e-0051.157e-00586.437.432e-0066.128e-00695.245.121e-0063.329e-0061003.523e-0061.921e-006

從表5.1可以看出，當系統(tǒng)達到穩(wěn)定之后，各個變量的值隨著時間的推移無限接近于0，誤差極小。因此可以判斷自適應滑模控制對分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的控制具有相當高的精度和效率。

5 結(jié)論

在本文中，我們首先建立了分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的微分方程模型。然后根據(jù)勞斯赫爾維茲判據(jù)推導除了分數(shù)階蔡氏電路系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件，從仿真圖像上可以清晰的看到系統(tǒng)的各個參數(shù)如果滿足所推導的充分條件，那么就會存在一個明顯的吸引子，系統(tǒng)的運動被該吸引子吸引最后匯聚到一個中心點。

另一方面，我們將自適應滑?？刂茟糜诜謹?shù)階蔡氏電路系統(tǒng)的不穩(wěn)定狀態(tài)。通過選擇合適的分數(shù)階滑模面和控制器來控制不穩(wěn)定的系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。仿真結(jié)果驗證了自適應滑?？刂品椒ǖ挠行院透呔雀咝实膬?yōu)點。