基于C-W方程的近程導(dǎo)引制導(dǎo)與控制方法

劉 勝，錢 勇，施偉璜，趙慶廣

（上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

0 引言

空間交會是實現(xiàn)航天器各種在軌服務(wù)、空間碎片處理等的關(guān)鍵技術(shù)。航天器交會的動力學(xué)定義是追蹤航天器通過一系列軌道機動，與目標航天器在空間預(yù)定位置和時間相會。航天器空間交會一般分為遠程導(dǎo)引、近程導(dǎo)引和逼近伴飛三個階段。本文主要研究基于跟瞄系統(tǒng)進行自主軌道交會的近程導(dǎo)引段。

根據(jù)相對運動動力學(xué)方法推導(dǎo)的C-W方程能較準確地描述航天器的近距離相對運動，在自由運動或控制力和攝動力為常值時有解析解，因此可用于空間交會的近程導(dǎo)引段［1］。該交會方式也可稱為C-W交會?；贑-W方程模型的近程導(dǎo)引控制律目前有雙脈沖和多脈沖兩種。文獻［2］給出了空間交會對接中雙脈沖制導(dǎo)的算法，并給出了優(yōu)化方案，分析了不同初始條件下的燃料消耗；文獻［3］描述了多脈沖制導(dǎo)的一般算法，通過解析獲得了多脈沖變軌的最小范數(shù)解，對雙脈沖的不可達點進行了討論，分析了雙脈沖和多脈沖的燃料消耗；文獻［4］用線性化C-W方程和極大值原理研究了兩個飛行器燃料消耗最少的計算方法，并對三脈沖進行了優(yōu)化；文獻［4］利用直接優(yōu)化技術(shù)，用分段多項式表示整個軌道的狀態(tài)和控制向量，將整個交會軌道分為若干個推力段和無推力段，分別進行不同的約束，將最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃。

本文對基于C-W方程的近程導(dǎo)引制導(dǎo)與控制方法進行了研究。

1 航天器軌道動力學(xué)

1.1 絕對運動

航天器在軌運行時受到的外力主要有地球的中心引力、推力和軌道攝動力。假設(shè)推力器不工作，考慮J2攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動的絕對運動動力學(xué)模型為

式中：R為地心距；Re為赤道半徑；CD為大氣阻力系數(shù)，取CD＝2.2；SD／m為面質(zhì)比，追蹤航天器面積SD＝9.5m2，質(zhì)量m＝1 500kg，目標航天器SD＝1.9m2，m＝900kg；ρ為軌道大氣密度；vaX，vaY，vaZ為大氣相對地心的運動速度三軸分量；aSX，aSY，aSZ為光壓加速度；μ為地球引力常數(shù)；X，Y，Z為航天器三軸慣性位置。

1.2 相對運動

定義追蹤航天器軌道坐標系o-xyz：原點o為目標航天器質(zhì)心，oz軸指向地心；ox軸在軌道平面內(nèi)指向飛行方向；oy軸按右手法則指向軌道面法線反向。航天器赤道慣性坐標系O-XYZ與o-xyz系的關(guān)系如圖1所示。

若追蹤航天器運行于近圓軌道，兩相鄰航天器在追蹤航天器軌道坐標系中的相對運動可用C-W

圖1 相對軌道坐標系Fig.1 Relative coordinate system

方程描述為

式中：ω為追蹤星航天器平均軌道角速度；ax，ay，az為加速度三軸分量；x，y，z為兩航天器相對位置。

設(shè)各軸加速度為0，即航天器處于自由運動狀態(tài)，可得式（2）解析解的矩陣式為

2 控制律設(shè)計

2.1 雙脈沖制導(dǎo)

雙脈沖軌道自主交會的原理是：計算第一次交會脈沖，使追蹤航天器在給定的時間內(nèi)到達指定位置，施加第二次脈沖，使追蹤航天器相對目標航天器按預(yù)定的方式伴飛。

若時刻t0＝0追蹤航天器的初始相對位置r（t0）＝［x0y0z0］T和時刻tf的目標位置r（tf）＝［xfyfzf］T已知，則在這兩個時刻的相對速度為

式中：G11＝－B－1A，G12＝B－1，G21＝C－DB－1A，G22＝DB－1；上標“－”、“＋”分別表示速度脈沖作用前和后。

以上即為經(jīng)典的C-W雙脈沖制導(dǎo)方法。式（5）求得的第一次控制脈沖使航天器從初始位置r（t0）轉(zhuǎn)移到目標位置r（tf），它影響制導(dǎo)的位置精度；式（6）求得的第二次脈沖用以消除終端時刻的速度誤差，它影響制導(dǎo)的速度精度。

雙脈沖控制總的速度增量

式中：|Δv1|＋|Δv2|為特征速度，可反映雙脈沖燃料消耗狀況。

在雙脈沖制導(dǎo)律下，式（5）兩次速度增量有解取決于式（4）有解，即B（t）逆矩陣存在。但矩陣B（t）會有奇異：

a）當ωctf＝nπ（n＝0，1，2，…），即tf為半個軌道周期的整數(shù)倍時；

b）當 cos（ωctf）＝ （64－9（ωtf）2）／（64＋9（ωtf）2），且2nπ＜ωtf＜（2n＋1）π，n＝0，1，2，…時。

當軌道轉(zhuǎn)移時間tf等于這些奇異值時，無論施加多大的速度脈沖都不能使追蹤航天器到達終端狀態(tài)r（tf）。這樣的點稱為不可達點，其鄰近區(qū)域為高耗能區(qū)域。

2.2 等時間間隔多脈沖制導(dǎo)

C-W方程有解析解的矩陣形式為

式中：τ＝t－t0。令

式中：F（τ）為6×6維的矩陣，其作用是將狀態(tài)從S0轉(zhuǎn)移到S（t）。

多脈沖控制就是在多個時刻分別施加脈沖控制，從而使追蹤器在最終時刻到達期望位置。設(shè)在時刻ti施加控制脈沖Δvi（i＝1，2，3，…，n）（3×1維向量），則在時刻tf達到的狀態(tài)

其中S0，S（tf）可預(yù)先測量或設(shè)計。令

則式（13）可改寫為

式中：Φ為6×3m維矩陣，存在廣義逆Φ＋；v為3m×1維向量。逆解式（14），可得多脈沖控制律為

式中：ζ為任意給定的3m×1維向量；I為單位陣。當ζ＝0時，可得最小范數(shù)解，即所有脈沖分量的平方和最小。雖然最小范數(shù)解與最省燃料解存在一定差異，但最小范數(shù)解在推導(dǎo)過程中可直接采用解析的方法獲得。

等時間間隔多脈沖原理為：假設(shè)有m次脈沖，推力器開始工作時刻為t0，總的機動時間為tf，則第i次脈沖施加的時刻為

對等時間間隔的多脈沖控制，在確定脈沖次數(shù)m后，可直接根據(jù)式（15）獲得最小范數(shù)解。等時間間隔多脈沖制導(dǎo)方法算法簡單，運算量較小。

2.3 閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)

式（15）為常用的多脈沖控制律，該控制律屬開環(huán)控制。為消除J2攝動和大氣攝動的影響，采用閉環(huán)控制以提高控制精度。以等間距時刻施加脈沖，則第i時刻（1≤i≤m－1）施加的脈沖大小的計算方法為：取此時刻的航天器位置、速度作為初始條件，終端位置、速度已知，變軌脈沖數(shù)量變?yōu)閙－i＋1，代入式（15）算得相應(yīng)的三軸脈沖向量，而當前時刻需施加的脈沖即為該向量的第一個分量。當i滿足1≤i≤m－1時，重復(fù)上述步驟計算。按施加時間的選擇，第m次脈沖的作用是在航天器到達指定位置后，將其速度也改變成期望值。因此第m次脈沖的大小相應(yīng)地變?yōu)?/p>

脈沖次數(shù)為m的閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)如圖2所示。

圖2 閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)Fig.2 Closed loop multi-pulse

3 算例與仿真

設(shè)近程導(dǎo)引段兩航天器的半長軸a、偏心率e、升交點赤經(jīng)Ω、傾角i、幅角ω、真近地點角f見表1。

表1 近程導(dǎo)引初始軌道要素Tab.1 Orbit element of the closing phases

通過計算可得追蹤器第二軌道坐標系中理想的相對運動初始條件為

近程導(dǎo)引終端位置和速度（追蹤器第二軌道坐標系中）分別為

空間自主交會過程中要求航天器軌道在空間保持一定的相對關(guān)系，該空間相對位置、速度關(guān)系受跟瞄設(shè)備的約束。假設(shè)跟瞄設(shè)備的測量精度為：距離r≤20m（3σ）；速度r·≤0.1m／s（3σ）；角度 ΔΦ≤0.3°（3σ）（相對x、z向夾角）。

3.1 雙脈沖制導(dǎo)

用4組不同計算參數(shù)條件（見表2）確定最佳轉(zhuǎn)移時間。算得不同轉(zhuǎn)移時間的燃料消耗如圖3所示。由圖3可知：對應(yīng)燃料消耗最小值的轉(zhuǎn)移時間為0.6T～0.9T，大部分位于3／4個軌道周期位置。此處：T為追蹤星軌道周期。圖3中：T／2位置為不可達點，與理論值相符。

軌道轉(zhuǎn)移時間tf＝0.75T時，雙脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果見表3。

由表3可知：雙脈沖制導(dǎo)有較大誤差。主要原因是：軌道模型中包括J2攝動、大氣阻力和太陽光壓三種攝動力，控制過程中所需的兩次速度增量不能瞬時獲得；C-W方程描述的線性化軌道與真實軌道存在差異，當航天器的偏心率較大時，這種差異更明顯。

表2 計算參數(shù)Tab.2 Computation parameters

圖3 燃料消耗與轉(zhuǎn)移時間的關(guān)系Fig.3 Relative of time and fuel consuming

表3 雙脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果Tab.3 Emulation result of double-pulse guidance

雙脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果如圖4～7所示。

圖4 雙脈沖制導(dǎo)x-z平面Fig.4x-zcurve of double-pulse guidance

圖5 雙脈沖制導(dǎo)y-z平面Fig.5y-zcurve of double-pulse guidance

圖6 方位角αFig.6 Azimuth angle

圖7 俯仰角βFig.7 Pitching angle

3.2 等時間間隔多脈沖制導(dǎo)

利用等時間間隔的多脈沖控制法，脈沖次數(shù)m分別為3，4，6，10，轉(zhuǎn)移時間tf＝0.75T時的燃料消耗和控制精度見表4。

由表4可知：多脈沖燃料消耗少于雙脈沖，因開環(huán)控制未作修正，脈沖次數(shù)增加后誤差反有增大趨勢。

表4 等時間間隔多脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果Tab.4 Emulation result of multi-pulse guidance which being equated

3.3 閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)

轉(zhuǎn)移時間tf＝0.75T時，閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果見表5。

運用閉環(huán)多脈沖控制律雖不能完全消除控制誤差，但可將精度提高數(shù)十米，且燃料消耗增幅較小，因而閉環(huán)多脈沖是一種簡單有效的優(yōu)化控制律。由表5可知：閉環(huán)6脈沖控制精度35.6m，與閉環(huán)10脈沖相當，在50m以內(nèi)，但燃料消耗較少。根據(jù)航天器軌控時對姿態(tài)的影響越小越好的原則，閉環(huán)6脈沖制導(dǎo)是近程導(dǎo)引段較優(yōu)的控制方案。

表5 閉環(huán)多脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果Tab.5 Simulation result of closed loop multi-pulse guidance

轉(zhuǎn)移時間tf＝0.75T時，閉環(huán)6脈沖制導(dǎo)仿真結(jié)果如圖8～11所示。

圖8 閉環(huán)6脈沖制導(dǎo)x-z平面Fig.8x-zcurve of closed loop six-pulse

圖9 閉環(huán)6脈沖制導(dǎo)y-z平面Fig.9y-zcurve of closed loop six-pulse

圖10 方位角Fig.10 Azimuth angle

圖11 俯仰角Fig.11 Pitching angle

4 結(jié)束語

本文在建立航天器軌道自主交會絕對運動與相對運動動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計了近程導(dǎo)引段制導(dǎo)與控制律。研究了基于C-W方程的雙脈沖制導(dǎo)方法，提出了雙脈沖變軌條件下的不可達點及其附近的高耗能區(qū)域概念，導(dǎo)出了基于C-W方程的多脈沖變軌的一般算法，并進而研究了等時間間隔多脈沖制導(dǎo)方法，重點研究了可提高控制精度的閉環(huán)多脈沖控制方法，并對具體的近程導(dǎo)引飛行任務(wù)進行了仿真計算。仿真結(jié)果表明，閉環(huán)6脈沖制導(dǎo)可用于近程導(dǎo)引段，且具有一定的工程應(yīng)用價值。

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