負(fù)泊松比蜂窩材料的動力學(xué)響應(yīng)及能量吸收特性*

韓會龍，張新春，王 鵬

(華北電力大學(xué)機(jī)械工程系,河北 保定 071003)

與傳統(tǒng)多胞材料(正泊松比)不同，負(fù)泊松比(negative Poisson’s ratio, NPR)多胞材料在單向拉伸作用下，會發(fā)生側(cè)向膨脹。這種獨特的拉脹現(xiàn)象使負(fù)泊松比多胞材料表現(xiàn)出更優(yōu)異的力學(xué)性能，比如，良好的應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)，極低的體積模量，極高的剪切模量和能量吸收能力等[1]。拉脹多胞材料的出現(xiàn)為具有特殊力學(xué)屬性的材料和結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了一個全新的方向和途徑，具有強(qiáng)大的工程應(yīng)用前景[2-3]。隨著對負(fù)泊松比多胞材料研究的進(jìn)一步深入，不同微拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在不斷涌現(xiàn)。關(guān)于拉脹多胞材料的研究一直是材料學(xué)家和工程師們關(guān)注的前沿課題，尤其在強(qiáng)動載荷作用下，載荷的高頻成分將控制結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，胞元微結(jié)構(gòu)的改變對材料局部動態(tài)應(yīng)力演化的影響更加顯著。因此，如何建立微結(jié)構(gòu)與多胞材料動力學(xué)響應(yīng)間的關(guān)系，也是負(fù)泊松比多胞材料力學(xué)性能研究的重要目標(biāo)之一。

負(fù)泊松比多胞材料已引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[4-8]。Prall等[4]運用理論分析和實驗相結(jié)合的方法對六韌帶手性蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)力學(xué)特性進(jìn)行了研究；張新春等[5]采用數(shù)值方法討論了六韌帶手性蜂窩結(jié)構(gòu)的沖擊動力學(xué)特性，得到了蜂窩材料的面內(nèi)宏/微觀變形行為、密實應(yīng)變、動態(tài)平臺應(yīng)力和比能量吸收能力與胞元微結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系；Scarpa等[6]運用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法分析了具有管狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的內(nèi)凹六邊形蜂窩材料的力學(xué)性能；張偉等[7]設(shè)計出了一種具有負(fù)泊松比效應(yīng)的汽車前縱梁吸能盒結(jié)構(gòu)，研究表明該結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和平臺應(yīng)力在面內(nèi)加載過程中均能得到一定程度的增強(qiáng)；Qiao等[8]分別研究了均勻和功能梯度雙箭頭蜂窩材料的抗沖擊性能，并對這種負(fù)泊松比蜂窩材料應(yīng)力增強(qiáng)效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了解釋。以上研究成果主要集中于模型構(gòu)建、準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能的預(yù)測以及負(fù)泊松比變形特性的解釋，而對負(fù)泊松比多胞材料在沖擊載荷下的動態(tài)力學(xué)性能和能量吸收機(jī)理的研究剛剛展開[5,8-9]。在強(qiáng)動載荷作用下，微結(jié)構(gòu)效應(yīng)和慣性效應(yīng)將主要影響多胞材料的宏觀動態(tài)響應(yīng)特性。胞元微結(jié)構(gòu)的改變引起拉脹多胞材料中豐富多彩的動力學(xué)演化特性還有待于進(jìn)一步澄清。

針對傳統(tǒng)正方形蜂窩，通過用更小的雙向內(nèi)凹結(jié)構(gòu)替代原蜂窩材料的結(jié)構(gòu)節(jié)點，給出了一種負(fù)泊松比層級蜂窩結(jié)構(gòu)(即星形節(jié)點周期性蜂窩結(jié)構(gòu))。本文中以負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)為研究對象，利用顯式動力有限元方法對該負(fù)泊松比蜂窩的微結(jié)構(gòu)效應(yīng)、平臺應(yīng)力增強(qiáng)效應(yīng)和能量吸收特性進(jìn)行了研究，以期建立胞元微結(jié)構(gòu)與負(fù)泊松比多胞材料宏觀動力學(xué)性能間的關(guān)系。

1 模型構(gòu)建與臨界沖擊速度

1.1 幾何模型

對于傳統(tǒng)正方形蜂窩，如圖1(a)所示，通過用更小的雙向內(nèi)凹結(jié)構(gòu)胞元替代原蜂窩材料的結(jié)構(gòu)節(jié)點，得到了一種負(fù)泊松比層級蜂窩結(jié)構(gòu)(即星形節(jié)點周期性蜂窩結(jié)構(gòu)，如圖1(b))，該結(jié)構(gòu)可看作一種引入負(fù)泊松比層級結(jié)構(gòu)的組合蜂窩材料，其具有層級蜂窩材料的各種優(yōu)點。隨著金屬3D打印快速成型技術(shù)的日益成熟，負(fù)泊松比蜂窩材料的制備難度將大大減小，加工質(zhì)量能夠得到控制。圖1(c)給出了負(fù)泊松比蜂窩代表性體積單元的結(jié)構(gòu)示意圖。其中，Ls表示節(jié)點胞壁的長度，L表示連接蜂窩材料的韌帶長度的一半，t表示蜂窩材料的胞壁厚度，α表示內(nèi)凹箭頭節(jié)點內(nèi)夾角的一半，β表示內(nèi)凹箭頭節(jié)點間夾角。對于負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，夾角α與β存在如下關(guān)系：

β=2α-90°α∈(45°,90°]

(1)

根據(jù)多胞材料理論[3]，蜂窩材料的相對密度可由代表性體積單元的實體部分面積與其總橫斷面面積的比值給出。因此，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的相對密度可由下式給出，即:

(2)

式中：As為負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)代表性體積單元實體部分面積，Atotal為代表性體積單元總橫斷面面積。

1.2 有限元模型

圖2給出了負(fù)泊松比蜂窩材料的計算模型示意圖。利用顯式動力學(xué)有限元方法并借助Abaqus/Explicit進(jìn)行面內(nèi)動力響應(yīng)特性計算?；w材料為金屬鋁，假定為理想彈塑性模型，并服從Mises屈服準(zhǔn)則；上、下剛性板視為剛體，采用R3D4單元進(jìn)行離散，具體材料參數(shù)如表1所示。試件中各胞壁均采用S4R殼單元進(jìn)行離散。為了保證收斂，沿胞壁厚度方向取5個積分點。對于計算中可能的接觸，將剛性板與試件間定義為面面自動接觸，摩擦系數(shù)為0.02[9]；試件內(nèi)部各胞元間定義為通用接觸，且無摩擦。通用接觸為ABAQUS中的主要接觸形式之一，缺省設(shè)置為各單元面內(nèi)自動接觸。當(dāng)剛性板沿y方向沖擊蜂窩體時，試件的底端固定，左右兩側(cè)自由，邊界條件與文獻(xiàn)[9-12]完全相同。另外，為保證變形的平面應(yīng)變狀態(tài)，試件中所有節(jié)點的面外位移均被限制。試件在x和y方向上分別有12和14個胞元。數(shù)值研究表明，在x和y方向內(nèi)填充胞元數(shù)目超過10時，其動態(tài)響應(yīng)趨于穩(wěn)定[5]。

作為對比，本文中也對傳統(tǒng)正方形蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)沖擊動力學(xué)性能進(jìn)行了研究，計算模型如圖2(a)所示。為了驗證有限元模型的可靠性，選取了Liu等[11]所建立的正方形蜂窩。正方形蜂窩的壁長為負(fù)泊松比蜂窩相鄰兩個代表性體積單元中心的距離，試件在x和y方向上分別有12和14個胞元。除此之外，基體材料屬性、邊界條件和網(wǎng)格劃分等均與負(fù)泊松比蜂窩材料模型完全相同。

材料ρ/(kg·m-3)E/GPaνσy/MPa鋁2700690.376剛性板7800210

1.3 臨界速度

在沖擊載荷作用下，沖擊速度是影響多胞材料動力響應(yīng)特性的一個非常重要指標(biāo)。當(dāng)沖擊速度超過陷波波速[13](即第一臨界速度)時，局部變形帶開始形成。陷波波速為:

(3)

式中：εcr為應(yīng)力達(dá)到第一次應(yīng)力峰值時對應(yīng)的名義應(yīng)變(即初始應(yīng)變)，切線模量c(ε)為:

(4)

式中：σ′(ε)表示多胞材料線彈性階段的彈性模量，ρs為基體材料的密度，Δρ為多胞材料的相對密度。

隨著沖擊速度的繼續(xù)增加，沖擊端局部變形更加明顯，局部變形帶以沖擊波的形式由沖擊端向固定端傳播。多胞材料變形表現(xiàn)出沖擊波特征時的沖擊波波速[13]，稱為第二臨界速度，可由下式給出:

(5)

式中：σ0為多胞材料的準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力，εD為多胞材料的密實化應(yīng)變(也稱為鎖定應(yīng)變)。

根據(jù)以上分析，多胞材料的動態(tài)響應(yīng)依據(jù)沖擊速度可分為3個區(qū)域：

(1)區(qū)域1:v

(2)區(qū)域2:Vcr1≤v≤Vcr2，多胞材料表現(xiàn)出局部化變形特征；

(3)區(qū)域3:Vcr1

本文中，對于壁厚t=0.3 mm的負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)(β=60°和Ls/L=1)，第一臨界速度Vcr1≈17 m/s，第二臨界速度Vcr2≈90 m/s。將沖擊速度介于區(qū)域1時稱為低速沖擊，將沖擊速度介于區(qū)域2時稱為中速沖擊，將沖擊速度介于區(qū)域3時稱為高速沖擊。

2 數(shù)值結(jié)果與討論

2.1 面內(nèi)沖擊變形

對于負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，取β=60°，Ls=L=2 mm，t=0.3 mm。而對于傳統(tǒng)正方形蜂窩，取胞壁長度為6.83 mm，壁厚與負(fù)泊松比蜂窩完全相同。圖3給出了沖擊速度v=20 m/s時蜂窩材料的名義應(yīng)力應(yīng)變曲線。其中，名義應(yīng)變ε為試件壓縮位移與初始豎向高度的比值；名義應(yīng)力σ為剛性板壓縮反力與試件初始橫截面面積的比值。受到面內(nèi)沖擊時，傳統(tǒng)蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)沖擊過程(如圖3(a))可劃分為三個階段：線彈性區(qū)、平臺區(qū)和密實化區(qū)，與文獻(xiàn)[10-11]所述正泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)完全一致。與正泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)不同，負(fù)泊松比蜂窩材料的面內(nèi)沖擊(如圖3(b))可進(jìn)一步劃分為4個階段：線彈性區(qū)、平臺區(qū)、平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)和密實化區(qū)。在線彈性區(qū)，負(fù)泊松比蜂窩的壓縮應(yīng)力在極短的時間內(nèi)急劇增大至初始應(yīng)力峰值，而后逐漸減小并趨于穩(wěn)定，此時所對應(yīng)的壓縮應(yīng)變?yōu)槌跏紤?yīng)變εcr；進(jìn)入平臺區(qū)，負(fù)泊松比蜂窩材料所承受的壓縮應(yīng)力趨于穩(wěn)定并圍繞某一固定值上下波動，同時發(fā)生大的壓縮應(yīng)變，該階段為沖擊能量吸收的主要區(qū)域；在平臺區(qū)的后段，隨著壓縮應(yīng)變的持續(xù)增大，壓縮應(yīng)力不再保持穩(wěn)定，而是隨著壓縮應(yīng)變以一定斜率逐漸增大，稱為平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)(如圖3(b))。平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)開始的標(biāo)志是壓縮應(yīng)力單調(diào)增大且大小超過平臺應(yīng)力，此時對應(yīng)的壓縮應(yīng)變用平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變εE表示；當(dāng)所有的胞壁完全貼合在一起，達(dá)到壓縮密實時，這一階段稱為密實化區(qū)，密實化區(qū)開始的標(biāo)志是應(yīng)力應(yīng)變曲線斜率突然增大并保持不變，此時對應(yīng)的應(yīng)變用密實應(yīng)變εD表示。

圖3 面內(nèi)沖擊載荷作用下蜂窩材料的名義應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.3 Nominal stress-strain curves of honeycombs under in-plane crushing

為了探究造成上述兩種蜂窩沖擊響應(yīng)特性差異的原因，圖4給出了沖擊速度v=20 m/s時，傳統(tǒng)蜂窩和負(fù)泊松比蜂窩在ε=0.6時的宏微觀變形模式，此時負(fù)泊松比蜂窩的面內(nèi)沖擊過程處于平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)。圖中顯見，對于正泊松比蜂窩材料(如圖4(a))，在中低速沖擊時，會發(fā)生壓縮-膨脹現(xiàn)象，在水平方向上胞元會向外擴(kuò)散。因此在平臺區(qū)結(jié)束后，不會出現(xiàn)平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)，而是隨著胞元胞壁的逐漸接觸，壓縮應(yīng)力迅速升高而進(jìn)入密實化區(qū)。而對于負(fù)泊松比蜂窩(如圖4(b))，會發(fā)生軸向壓縮-收縮現(xiàn)象，在達(dá)到密實化之前，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)中心位置的材料重新形成了多層非均勻的多胞結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彈性模量增大，進(jìn)而產(chǎn)生平臺應(yīng)力增強(qiáng)效應(yīng)，主要表現(xiàn)在平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)。綜上所述，造成負(fù)泊松比蜂窩和正方形蜂窩沖擊響應(yīng)特性差異的主要原因是負(fù)泊松比蜂窩中雙向內(nèi)凹層級結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)。

圖4 蜂窩的宏微觀變形模式Fig.4 Macroscopic and microscopic deformation modes of honeycombs

圖5～6分別給出了負(fù)泊松比蜂窩和正方形蜂窩在不同沖擊速度下的變形模式，其中名義應(yīng)變?yōu)棣?0.375。對于負(fù)泊松比蜂窩，在中低速沖擊時，結(jié)構(gòu)發(fā)生內(nèi)凹，呈現(xiàn)出負(fù)泊松比特性，在宏觀上表現(xiàn)為明顯的“頸縮”現(xiàn)象；在高速沖擊時，由于慣性效應(yīng)的影響，負(fù)泊松比蜂窩由沖擊端逐層壓縮直到密實，局部變形明顯，負(fù)泊松比效應(yīng)減弱。而對于正方形蜂窩，在不同沖擊速度下均未出現(xiàn)負(fù)泊松比現(xiàn)象，其變形與文獻(xiàn)[11]類似。

圖5 不同沖擊速度下負(fù)泊松比蜂窩材料的宏觀變形模式Fig.5 Macroscopic deformation modes of honeycombs with NPR at different impact velocities

圖6 不同沖擊速度下正方形蜂窩材料的宏觀變形模式Fig.6 Macroscopic deformation modes of square honeycombs at different impact velocities

2.2 密實應(yīng)變和平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變

在沖擊載荷作用下，與沖擊能量吸收關(guān)系最大的是平臺應(yīng)力σP和密實應(yīng)變εD。多胞材料的密實應(yīng)變理論上等于孔隙率[3]，即:

εD=1-Δρ

(6)

但研究表明[3,12]，多胞材料發(fā)生密實化現(xiàn)象時對應(yīng)的應(yīng)變略小于孔隙率，密實應(yīng)變是多胞材料相對密度的函數(shù)，即:

εD=1-λΔρ

(7)

式中：λ為多胞材料的微結(jié)構(gòu)影響參數(shù)[12]。對于蜂窩材料，Gibson等[3]建議取λ=1.4。實踐中發(fā)現(xiàn)，密實應(yīng)變εD是一個速度敏感型變量，在一定程度上還受到慣性等因素的影響。為避免了人為選擇的隨意性，目前廣泛采用能量吸收效率方法來確定多胞材料的密實應(yīng)變[5, 9]。基于能量吸收效率方法，密實應(yīng)變εD可由下式確定，即：

(8)

定義在給定名義應(yīng)變下多胞材料所吸收的能量與相應(yīng)名義應(yīng)力的比值η為:

(9)

然而，實際多胞材料的能量吸收效率曲線中有很多局部極大值，如圖7所示。在本文中的計算中，定義最后的極大值點(即能量效率曲線開始迅速下降的點)所對應(yīng)的名義應(yīng)變?yōu)殒i定應(yīng)變點。

圖7 負(fù)泊松比蜂窩名義應(yīng)力應(yīng)變曲線與能量吸收效率曲線 Fig.7 Nominal stress-strain curve and corresponding energy absorption efficiency curve of honeycomb with NPR

保持Ls/L=1和t=0.3 mm不變，通過改變胞元內(nèi)凹箭頭節(jié)點間夾角β，表2給出了負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊載荷下的密實應(yīng)變。對于相同的相對密度，低速沖擊時，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的密實應(yīng)變大致等于其靜態(tài)密實應(yīng)變，與沖擊速度關(guān)系不大；在高速沖擊時，慣性效應(yīng)明顯，試件密實應(yīng)變大致相同，接近于孔隙率，沖擊速度的影響較小。但對于中速沖擊時，密實應(yīng)變將受到微結(jié)構(gòu)慣性和沖擊速度影響。密實應(yīng)變隨著相對密度的增大而逐漸減小，隨著沖擊速度的增大而相應(yīng)增大?？梢?，在低速和高速沖擊時，相對密度是影響負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)密實應(yīng)變的重要指標(biāo)；在中速沖擊時，密實應(yīng)變同時受到相對密度和沖擊速度的影響?？紤]到慣性效應(yīng)和微結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響，給出基于分段函數(shù)形式的密實應(yīng)變公式，即：

(10)

式中：εDH、εDT和εDD分別為低速、中速和高速沖擊時負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的動態(tài)密實應(yīng)變，λDH、λDT和λDD分別為低速、中速和高速沖擊時的修正系數(shù)，kDH、kDT和kDD分別為相應(yīng)的速度相關(guān)系數(shù)。kDH和kDD為常數(shù)，kDT為沖擊速度的函數(shù)，可由下式給出:

kDT=a(1+bv)

(11)

式中：a和b為常數(shù)，v為沖擊速度?；谧钚《藬M合方法，本文中給出了不同沖擊速度下負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)密實應(yīng)變的經(jīng)驗公式，即:

(12)

表2 負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的密實應(yīng)變Table 2 Densification strains of honeycombs with NPR

為了驗證上述密實應(yīng)變經(jīng)驗公式的有效性，在保持其他微結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的前提下而改變胞壁厚度，建立了不同相對密度的負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)模型?；谟邢拊M和能量吸收效率方法，得到了不同相對密度負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)在高速、中速和低速沖擊載荷下的密實應(yīng)變，如圖8所示。圖中顯見，當(dāng)相對密度低于0.32時，有限元模擬結(jié)果與經(jīng)驗公式吻合較好，即在低速和高速沖擊時，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的密實應(yīng)變主要取決于相對密度；在中速沖擊時，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的密實應(yīng)變由相對密度和沖擊速度共同主導(dǎo)。研究表明，該經(jīng)驗公式對于相對密度低于0.32的負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)均適用。

由于負(fù)泊松比內(nèi)凹結(jié)構(gòu)的引入，在中低速沖擊時負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變曲線在平臺區(qū)可進(jìn)一步劃分為兩個階段，即平臺區(qū)和平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)，兩個階段的臨界應(yīng)變點定義為平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變εE。圖9給出了負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變εE與密實應(yīng)變εD之間的關(guān)系。圖中顯見，在中低速沖擊時，兩者之間呈現(xiàn)出線性關(guān)系，即εE=kεD。通過對有限元計算結(jié)果進(jìn)行線性擬合，得到中速(v=20 m/s)和低速(v=3 m/s)沖擊時的比例系數(shù)k分別為0.79和0.58。研究表明，在沖擊速度相同的條件下，平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變與密實應(yīng)變幾乎成正比；隨著沖擊速度的增大，比例系數(shù)相應(yīng)增大。

圖8 負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的密實應(yīng)變與沖擊速度間的關(guān)系Fig.8 Variation of desification strain with impact velocity for honeycombs with NPR

圖9 負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變和密實應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.9 Variation of plateau stress enhancement strain with densification strain for honeycombs with NPR

2.3 平臺應(yīng)力

對于負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，由于平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)的存在，本文將平臺區(qū)和平臺應(yīng)力增強(qiáng)區(qū)的平均應(yīng)力作為平臺應(yīng)力，即:

(13)

式中：εcr為初始應(yīng)變。在整個沖擊過程中，εcr值很小，文中取εcr=0.02，以達(dá)到更高的計算精度。εD為密實應(yīng)變，由前文所述的能量吸收效率方法給出。

圖10 不同沖擊速度下負(fù)泊松比蜂窩和正方形蜂窩的平臺應(yīng)力Fig.10 Plateau stresses of honeycombs with NPR and 材料平臺應(yīng)力的影響，在保證相對密度Δρ=0.15不變的前提下，基于式(13)，圖10給出了負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)(β=60°，Ls/L=1)在沖擊端平臺應(yīng)力隨沖擊速度的變化規(guī)律。作為對比，圖中還給出了相同相對密度下正方形蜂窩材料的平臺應(yīng)力。結(jié)果表明，負(fù)泊松比蜂窩和正方形蜂窩的平臺應(yīng)力都隨沖擊速度的增加而增大，在中高速沖擊時，其平臺應(yīng)力近似正比于沖擊速度的平方。當(dāng)沖擊速度和相對密度一定時，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺應(yīng)力明顯高于傳統(tǒng)正方形蜂窩材料，究其原因是由于負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的引入，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)宏觀變形更加困難，而產(chǎn)生平臺應(yīng)力增強(qiáng)效應(yīng)?？梢?，由于負(fù)泊松比層級結(jié)構(gòu)的引入，負(fù)泊松比蜂窩材料的動態(tài)承載能力明顯增強(qiáng)。

只要沖擊速度足夠高，產(chǎn)生平面塑性波前，塑性沖擊波理論便可應(yīng)用于多胞材料[12,14]。根據(jù)一維沖擊波理論，Qiu等[12]給出了不同微結(jié)構(gòu)多胞材料的平臺應(yīng)力與沖擊速度之間的函數(shù)關(guān)系式，即:

(14)

圖1 1 不同微結(jié)構(gòu)負(fù)泊松比蜂窩材料的平臺應(yīng)力與沖擊速度間的關(guān)系Fig.11 Variation of plateau stresses for honeycombs with NPR at different cellmicro-structures with respect to impact velocities

式中：A和B為擬合系數(shù)，取決于多胞材料的微結(jié)構(gòu)；σy為基體材料的屈服應(yīng)力?；谑?14)和最小二乘擬合，給出了負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端平臺應(yīng)力與沖擊速度和相對密度之間的關(guān)系，即:

(15)

在保持Ls/L=1和t=0.3 mm不變條件下，通過改變胞元內(nèi)凹箭頭節(jié)點間夾角β，得到了不同微結(jié)構(gòu)負(fù)泊松比蜂窩材料模型。圖11給出了不同微結(jié)構(gòu)下(即不同β)負(fù)泊松比蜂窩材料沖擊端平臺應(yīng)力與沖擊速度間的關(guān)系。在給定沖擊速度下，隨著β的減小，相對密度的增加，沖擊端平臺應(yīng)力明顯增加。作為對比，圖中還給出了經(jīng)驗公式(式(15))的理論計算結(jié)果，用實線表示。從圖中可以看出，兩者吻合較好，從而也證明了式(15)的有效性。由圖11可以看出，相比于有限元計算結(jié)果，該經(jīng)驗公式得到的平臺應(yīng)力偏低。

2.4 能量吸收特性

傳統(tǒng)多胞材料普遍存在沖擊峰值應(yīng)力高和平臺應(yīng)力波動大等缺點(如圖3(a))，因此在用作沖擊吸能構(gòu)件時有很大的局限性。由于具有低強(qiáng)度、小應(yīng)力波動、大壓縮應(yīng)變和平臺應(yīng)力增強(qiáng)等特點(如圖3(b))，負(fù)泊松比多胞材料用于沖擊吸能構(gòu)件時具有更大的優(yōu)勢[15]。

在沖擊載荷作用下，如果忽略沖擊過程中熱能和聲能等能量的消耗，多胞材料吸收的能量主要轉(zhuǎn)化為2大部分，即蜂窩材料的內(nèi)能和動能，將兩者之和定義為總能量[16]。在保證相對密度不變的條件下，圖12給出了不同沖擊速度和不同微結(jié)構(gòu)(即β角)下負(fù)泊松比蜂窩材料的名義應(yīng)力隨名義應(yīng)變的變化曲線。圖中可以看出，在微結(jié)構(gòu)相同的條件下，蜂窩材料的承載能力隨沖擊速度的增加而增大。在相同沖擊速度下(v=20 m/s)，蜂窩材料的承載能力隨β角的增大而增大。

圖1 2 負(fù)泊松比蜂窩的名義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.12 Relation between nominal stress and nominal strain of honeycombs with NPR

圖13給出了相應(yīng)負(fù)泊松比蜂窩材料的總吸收能量隨名義應(yīng)變的變化曲線。研究結(jié)果表明，當(dāng)胞元微結(jié)構(gòu)和相對密度一定時，隨著沖擊速度的增大，試件的能量吸收能力明顯增強(qiáng)(如圖13(a))。當(dāng)沖擊速度和相對密度一定時，試件的總吸收能量隨著β的增大而增大(如圖13(b))。綜上所述，通過改變胞元微結(jié)構(gòu)和增大沖擊速度可以提升負(fù)泊松比蜂窩的能量吸收能力。

圖1 3 負(fù)泊松比蜂窩的能量吸收與名義應(yīng)變關(guān)系Fig.13 Relation between energy absorption and nominal strain of honeycombs with NPR

為了進(jìn)一步探究面內(nèi)沖擊作用下負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的能量吸收分布情況，本文中定義內(nèi)能分布系數(shù)Φ(內(nèi)能在總吸收能量中所占的比例)，即:

(16)

式中：EI為負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的內(nèi)能；E為負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的總吸收能量。

圖14給出了不同沖擊速度下內(nèi)能分布系數(shù)Φ隨名義應(yīng)變的變化關(guān)系。當(dāng)相對密度不變時(如圖14(a))，沖擊速度對內(nèi)能分布系數(shù)Φ的影響較大，隨著沖擊速度的增加，試件中的內(nèi)能相應(yīng)減小，由低速沖擊(v=3 m/s)時的0.99逐漸減小到高速沖擊(v=200 m/s)時的約0.45。當(dāng)沖擊速度恒定時(v=20 m/s)，除了相對密度，內(nèi)能分布系數(shù)Φ亦取決于胞元微結(jié)構(gòu)(如圖14(b))?？梢姡?dāng)沖擊速度低于沖擊波速(即v

圖1 4 負(fù)泊松比蜂窩的內(nèi)能分布系數(shù)與名義應(yīng)變關(guān)系Fig.14 Relation between internal energy distribution coefficient and nominal strain of honeycombs with NPR

3 結(jié) 論

通過用更小的雙向內(nèi)凹結(jié)構(gòu)替代傳統(tǒng)正方形蜂窩的結(jié)構(gòu)節(jié)點，得到了一種負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)模型?；陲@式動力有限元方法，對該負(fù)泊松比蜂窩材料動力學(xué)響應(yīng)和能量吸收特性進(jìn)行了研究。得到如下結(jié)論。

(1)在面內(nèi)沖擊載荷下，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的沖擊過程可分為線彈性階段、平臺階段、平臺應(yīng)力增強(qiáng)階段和密實化階段4個階段。在中低速沖擊時，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出負(fù)泊松比材料在軸向壓縮時獨特的“頸縮”現(xiàn)象，從而導(dǎo)致平臺應(yīng)力增強(qiáng)效應(yīng)。隨著沖擊速度的增加，慣性效應(yīng)增強(qiáng)，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比特性減弱。

(2)在低速和高速沖擊時，相對密度是影響負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)密實應(yīng)變的重要指標(biāo)；在中速沖擊時，負(fù)泊松比蜂窩的密實應(yīng)變由胞元微結(jié)構(gòu)和沖擊速度共同決定?；谀芰课招史椒?，給出了負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的密實應(yīng)變經(jīng)驗公式。對于負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，平臺應(yīng)力增強(qiáng)應(yīng)變和密實應(yīng)變成正比，比例系數(shù)隨著沖擊速度的增大而增大。

(3)在給定沖擊速度下，由于負(fù)泊松比層級結(jié)構(gòu)的引入，負(fù)泊松比蜂窩材料的動態(tài)承載能力明顯高于傳統(tǒng)正方形蜂窩?；谀芰课招史椒ê鸵痪S沖擊波理論，給出了負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端的平臺應(yīng)力經(jīng)驗公式，以預(yù)測負(fù)泊松比多胞材料的動態(tài)承載能力。理論計算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好，從而證明了經(jīng)驗公式的有效性。另外，還引入了內(nèi)能分布系數(shù)，來衡量沖擊載荷下負(fù)泊松比蜂窩材料的能量吸收形式和能量分布情況。