一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性

馮 立 杰

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350)

0 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程受到了廣泛關(guān)注.與整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用范圍更廣，其在物理學(xué)、生物學(xué)、分析化學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.[1-2]許多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了深入的研究，取得了豐碩的成果.[3-7]

文獻(xiàn)[7]運(yùn)用單調(diào)迭代法，研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

本文考慮非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]函數(shù)y：(0，+∞)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

這里等式右邊是在(0，+∞)上逐點(diǎn)定義的.

定義2[1]函數(shù)y：(0，+∞)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中：n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分；右邊在(0，+∞)上是逐點(diǎn)定義的.

引理1[1]假設(shè)y∈C(0，1)∩L1(0，1)且α>0，則

其中ci∈R，i=1，2，…，n，n如定義2所述.

引理2[1]假設(shè)y∈L1([0，1]，R)，且p>q>0，則對(duì)任意的t∈[0，1]，有：

引理3給定y∈C[0，1]，n-1<α≤n，β>0，則分?jǐn)?shù)階微分方程

(2)

(3)

的唯一解為

其中

(4)

這里d=[Γ(α+β)-Γ(α-n+2)ρηα+β-1]-1>0.

證明根據(jù)引理1可知方程(2)的一般解為

因此

(5)

(6)

引理4函數(shù)Gk(t，s)有以下性質(zhì)：

(ⅰ)Gk(t，s)是連續(xù)函數(shù)，并且滿足Gk(t，s)≥0，t，s∈[0，1]，k=0，1，2，…，n-3；

(ⅱ) 對(duì)任意的t，s∈[0，1]，有tα-k-1Gk(1，s)≤Gk(t，s)≤Gk(1，s)，k=0，1，2，…，n-3.

證明(ⅰ) 由等式(6)可知Gk(t，s)為連續(xù)的.

當(dāng)0≤s≤min{t，η}≤1時(shí)，

當(dāng)0≤t≤s≤η≤1時(shí)，

當(dāng)0<η≤s≤t≤1時(shí)，

當(dāng)0

(7)

另外，顯然有Gk(t，s)≥tα-k-1Gk(1，s).結(jié)論證畢.

引理5[8](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)U是Banach空間E中的一個(gè)非空有界閉凸子集，T：U→U是全連續(xù)算子，則T在U中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

設(shè)E是一個(gè)Banach空間，P?E是一個(gè)錐.假設(shè)α，β：E→R+是兩個(gè)連續(xù)的凸泛函，并且滿足：對(duì)于u∈E，λ∈R有α(λu)=|λ|α(u)，β(λu)=|λ|β(u)；當(dāng)u∈E時(shí)，‖u‖≤kmax{α(u)，β(u)}；當(dāng)u1，u2∈P，u1≤u2時(shí)，α(u1)≤α(u2)，其中k是一個(gè)常數(shù).

引理6[9]令r2>r1>0，L>0都是常數(shù)，

Ωi={u∈E|α(u)

是E上的兩個(gè)有界開集.記Di={u∈E|α(u)=ri}.假設(shè)T：P→P是全連續(xù)算子并且滿足：

(ⅰ)α(Tu)r2，u∈D2∩P.

(ⅱ)β(Tu)

2 主要結(jié)果

定義E=Cn-3[0，1]，定義范數(shù)

則(E，‖·‖)是一個(gè)Banach空間.

定義如下形式的錐：

P={u∈E|u(k)(t)≥0，u(k)(t)≥tα-k-1‖u(k)‖0，t∈[0，1]，k=0，1，2，…，n-3；

u(i)(0)=0，i=0，1，2，…，n-4}.

在P上定義算子T為

(8)

則算子T的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問題(1)的解.

證明首先證明算子T：P→P.根據(jù)引理4，有(Tu)(k)(t)≥0，?t∈[0，1]，k=0，1，2，…，n-3.另外，

且

因此算子T：P→P.

下面證明算子T是全連續(xù)的.由于函數(shù)G，f都是連續(xù)的，所以算子T是連續(xù)的.設(shè)Ω為E中的任意有界集，則存在常數(shù)N>0，對(duì)?u∈Ω，有‖u‖≤N.記

對(duì)?u∈Ω，由引理4可知

所以，T(Ω)為一致有界的.

另一方面，?t1，t2∈[0，1]，不妨設(shè)t1

當(dāng)t1→t2時(shí)，上述不等式趨于0.因此T(Ω)為等度連續(xù)的.

則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明定義有界集Br={u∈P|‖u‖≤r}，其中：

下證T：Br→Br.如果u∈Br，有

因此

又根據(jù)引理7知T：Br→Br是全連續(xù)的，從而由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可得邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

定義泛函

則有：

α(λu)=|λ|α(u)，β(λu)=|λ|β(u)，λ∈R；

當(dāng)u1，u2∈P，u1≤u2時(shí)，α(u1)≤α(u2).

記

其中0<γ<1.

定理2假設(shè)L>r2>γα-1r2>r1>0，其中0<γ<1為常數(shù).f(t，u0，u1，…，un-3)滿足以下條件：

(H1)f(t，u0，u1，…，un-3)

(H2)f(t，u0，u1，…，un-3)≥Dr2，(t，u0，…，uk，…，un-3)∈[γ，1]×[γα-1r2，r2]×…×[γα-k-1r2，L]×…×[γα-n+2r2，L]；

(H3)f(t，u0，u1，…，un-3)

則邊值問題(1)至少有一個(gè)正解u(t)滿足

r1<α(u)

證明對(duì)f做如下修改：

依次進(jìn)行下去有

考慮邊值問題

(9)

定義

Ω1={u∈E|α(u)

與

Ω2={u∈E|α(u)

為E中的兩個(gè)有界開集.記

D1={u∈E|α(u)=r1}，

D2={u∈E|α(u)=r2}.

分三步對(duì)定理進(jìn)行證明.

步驟一：對(duì)u∈D1∩P有α(u)=r1，0≤u(t)≤r1.

由(H1)，

對(duì)u∈D2∩P，有α(u)=r2，‖u‖0=r2，0≤u(t)≤r2，t∈[0，1].另u(i)(0)=0，i=0，1，2，…，n-4.

由

可得

‖u(i)‖0≤‖u(i+1)‖0，‖u(k)‖0≥‖u‖0=r2，k=1，2，…，n-3.

因此

u(k)(t)≥γα-k-1‖u(k)‖0≥γα-k-1r2，t∈[γ，1]，k=0，1，2，…，n-3.

其中0<γ<1.由(H2)，

步驟二：根據(jù)(H3)，對(duì)于u∈P有

步驟三：由α(u)的定義，存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)p∈{(Ω2∩P)

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