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    一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性

    2019-01-02 03:35:42
    關(guān)鍵詞:有界邊值問題不動(dòng)點(diǎn)

    馮 立 杰

    (天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,天津 300350)

    0 引言

    近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程受到了廣泛關(guān)注.與整數(shù)階微分方程相比,分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用范圍更廣,其在物理學(xué)、生物學(xué)、分析化學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.[1-2]許多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了深入的研究,取得了豐碩的成果.[3-7]

    文獻(xiàn)[7]運(yùn)用單調(diào)迭代法,研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

    本文考慮非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

    (1)

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1[1]函數(shù)y:(0,+∞)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

    這里等式右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)定義的.

    定義2[1]函數(shù)y:(0,+∞)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

    其中:n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分;右邊在(0,+∞)上是逐點(diǎn)定義的.

    引理1[1]假設(shè)y∈C(0,1)∩L1(0,1)且α>0,則

    其中ci∈R,i=1,2,…,n,n如定義2所述.

    引理2[1]假設(shè)y∈L1([0,1],R),且p>q>0,則對(duì)任意的t∈[0,1],有:

    引理3給定y∈C[0,1],n-1<α≤n,β>0,則分?jǐn)?shù)階微分方程

    (2)

    (3)

    的唯一解為

    其中

    (4)

    這里d=[Γ(α+β)-Γ(α-n+2)ρηα+β-1]-1>0.

    證明根據(jù)引理1可知方程(2)的一般解為

    因此

    (5)

    (6)

    引理4函數(shù)Gk(t,s)有以下性質(zhì):

    (ⅰ)Gk(t,s)是連續(xù)函數(shù),并且滿足Gk(t,s)≥0,t,s∈[0,1],k=0,1,2,…,n-3;

    (ⅱ) 對(duì)任意的t,s∈[0,1],有tα-k-1Gk(1,s)≤Gk(t,s)≤Gk(1,s),k=0,1,2,…,n-3.

    證明(ⅰ) 由等式(6)可知Gk(t,s)為連續(xù)的.

    當(dāng)0≤s≤min{t,η}≤1時(shí),

    當(dāng)0≤t≤s≤η≤1時(shí),

    當(dāng)0<η≤s≤t≤1時(shí),

    當(dāng)0

    (7)

    另外,顯然有Gk(t,s)≥tα-k-1Gk(1,s).結(jié)論證畢.

    引理5[8](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)U是Banach空間E中的一個(gè)非空有界閉凸子集,T:U→U是全連續(xù)算子,則T在U中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

    設(shè)E是一個(gè)Banach空間,P?E是一個(gè)錐.假設(shè)α,β:E→R+是兩個(gè)連續(xù)的凸泛函,并且滿足:對(duì)于u∈E,λ∈R有α(λu)=|λ|α(u),β(λu)=|λ|β(u);當(dāng)u∈E時(shí),‖u‖≤kmax{α(u),β(u)};當(dāng)u1,u2∈P,u1≤u2時(shí),α(u1)≤α(u2),其中k是一個(gè)常數(shù).

    引理6[9]令r2>r1>0,L>0都是常數(shù),

    Ωi={u∈E|α(u)

    是E上的兩個(gè)有界開集.記Di={u∈E|α(u)=ri}.假設(shè)T:P→P是全連續(xù)算子并且滿足:

    (ⅰ)α(Tu)r2,u∈D2∩P.

    (ⅱ)β(Tu)

    2 主要結(jié)果

    定義E=Cn-3[0,1],定義范數(shù)

    則(E,‖·‖)是一個(gè)Banach空間.

    定義如下形式的錐:

    P={u∈E|u(k)(t)≥0,u(k)(t)≥tα-k-1‖u(k)‖0,t∈[0,1],k=0,1,2,…,n-3;

    u(i)(0)=0,i=0,1,2,…,n-4}.

    在P上定義算子T為

    (8)

    則算子T的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問題(1)的解.

    證明首先證明算子T:P→P.根據(jù)引理4,有(Tu)(k)(t)≥0,?t∈[0,1],k=0,1,2,…,n-3.另外,

    因此算子T:P→P.

    下面證明算子T是全連續(xù)的.由于函數(shù)G,f都是連續(xù)的,所以算子T是連續(xù)的.設(shè)Ω為E中的任意有界集,則存在常數(shù)N>0,對(duì)?u∈Ω,有‖u‖≤N.記

    對(duì)?u∈Ω,由引理4可知

    所以,T(Ω)為一致有界的.

    另一方面,?t1,t2∈[0,1],不妨設(shè)t1

    當(dāng)t1→t2時(shí),上述不等式趨于0.因此T(Ω)為等度連續(xù)的.

    則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

    證明定義有界集Br={u∈P|‖u‖≤r},其中:

    下證T:Br→Br.如果u∈Br,有

    因此

    又根據(jù)引理7知T:Br→Br是全連續(xù)的,從而由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可得邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

    定義泛函

    則有:

    α(λu)=|λ|α(u),β(λu)=|λ|β(u),λ∈R;

    當(dāng)u1,u2∈P,u1≤u2時(shí),α(u1)≤α(u2).

    其中0<γ<1.

    定理2假設(shè)L>r2>γα-1r2>r1>0,其中0<γ<1為常數(shù).f(t,u0,u1,…,un-3)滿足以下條件:

    (H1)f(t,u0,u1,…,un-3)

    (H2)f(t,u0,u1,…,un-3)≥Dr2,(t,u0,…,uk,…,un-3)∈[γ,1]×[γα-1r2,r2]×…×[γα-k-1r2,L]×…×[γα-n+2r2,L];

    (H3)f(t,u0,u1,…,un-3)

    則邊值問題(1)至少有一個(gè)正解u(t)滿足

    r1<α(u)

    證明對(duì)f做如下修改:

    依次進(jìn)行下去有

    考慮邊值問題

    (9)

    定義

    Ω1={u∈E|α(u)

    Ω2={u∈E|α(u)

    為E中的兩個(gè)有界開集.記

    D1={u∈E|α(u)=r1},

    D2={u∈E|α(u)=r2}.

    分三步對(duì)定理進(jìn)行證明.

    步驟一:對(duì)u∈D1∩P有α(u)=r1,0≤u(t)≤r1.

    由(H1),

    對(duì)u∈D2∩P,有α(u)=r2,‖u‖0=r2,0≤u(t)≤r2,t∈[0,1].另u(i)(0)=0,i=0,1,2,…,n-4.

    可得

    ‖u(i)‖0≤‖u(i+1)‖0,‖u(k)‖0≥‖u‖0=r2,k=1,2,…,n-3.

    因此

    u(k)(t)≥γα-k-1‖u(k)‖0≥γα-k-1r2,t∈[γ,1],k=0,1,2,…,n-3.

    其中0<γ<1.由(H2),

    步驟二:根據(jù)(H3),對(duì)于u∈P有

    步驟三:由α(u)的定義,存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)p∈{(Ω2∩P)

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