反對稱鋪設(shè)復(fù)合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的溫度影響理論模型與數(shù)值分析*

張煥青，柴國鐘，張 征，吳化平

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進加工技術(shù)教育部/浙江省重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

具有兩種不同穩(wěn)定狀態(tài)特性的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)稱為雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，其不僅能克服單一材料的性能缺陷，并且在無需持續(xù)外載荷的作用下能分別穩(wěn)定保持在兩種穩(wěn)態(tài)。根據(jù)材料不同的鋪設(shè)方式，它又可分為非對稱、對稱與正交雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)[1-2]。

由于其優(yōu)異的性能，諸多學(xué)者展開了對該特殊結(jié)構(gòu)特性的研究。HYER[3-4]對非對稱鋪設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)展開了討論，通過實驗結(jié)果與其提出的理論進行對比驗證，發(fā)現(xiàn)兩個穩(wěn)態(tài)的曲率方向是相反的；DATON-LOVETT[5]發(fā)現(xiàn)了反對稱圓柱殼結(jié)構(gòu)與非對稱圓柱殼結(jié)構(gòu)特性有所不同，即兩個穩(wěn)態(tài)的曲率方向是一致的；GUEST和PELLEGRINO[6]提出了一個用來描述雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的雙參數(shù)模型，主要考慮圓柱殼方向角θ和潛在圓柱主曲率C兩個參數(shù)。上述研究只考慮了機械載荷作用下的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變，然而這些結(jié)構(gòu)常被應(yīng)用于服役條件惡劣(如高溫環(huán)境)的航天航空領(lǐng)域或其他可變形結(jié)構(gòu)領(lǐng)域中。

在雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中，常采用纖維增強樹脂基底復(fù)合材料，該類材料的參數(shù)容易受溫度的影響。ODEGARD等人[7]研究了應(yīng)用于航空航天的Carbon/PMR-15材料的力學(xué)性能隨溫度變化的情況，這種材料能夠適用于較高溫度下工作，該材料的彈性模量和剪切模量受溫度變化的影響較小，而熱膨脹系數(shù)α11和α22會隨著溫度的增加而變大；HYER[8]通過對T300/5208 Graphite-Epoxy復(fù)合材料在不同溫度下的彈性模量、泊松比和熱膨脹系數(shù)進行了測量，通過數(shù)值擬合得到了材料參數(shù)隨溫度變化的非線性關(guān)系；ZHANG等人[9-11]對Carbon/Epoxy雙穩(wěn)態(tài)非對稱鋪設(shè)圓柱殼展開了其受熱載荷影響的分析，通過對結(jié)構(gòu)施加熱載荷以驅(qū)動結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變，得出了受熱影響的材料性能對結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)行為的改變。

本文將使用經(jīng)典層合板理論與最小勢能原理，建立雙穩(wěn)態(tài)反對稱鋪設(shè)圓柱殼的理論模型，并使用有限元軟件ABAQUS分別對恒溫場、均勻溫度場和溫度梯度場作用下的Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T500/3028 Graphite-Epoxy制成的雙穩(wěn)態(tài)反對稱鋪設(shè)圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)特性進行研究，建立合理的數(shù)值分析模型。

1 理論分析

1.1 溫度場下的雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼理論模型

由于溫度對反對稱鋪設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)的影響，筆者考慮溫度影響情況下的本構(gòu)方程包括機械載荷與溫度載荷兩部分產(chǎn)生的應(yīng)變和曲率，其表達式為[12]：

(1)

式中：N—層合板的總內(nèi)力；M—層合板的總彎矩；NM—由機械載荷產(chǎn)生的力；MM—由機械載荷產(chǎn)生的彎矩；NT—溫度場產(chǎn)生的力；MT—溫度場產(chǎn)生的熱力矩；ε—中性面總的應(yīng)變；k—中性面總的曲率；εM—由機械載荷引起的中性面應(yīng)變；kM—由機械載荷引起的中性面曲率；εT—由熱載荷引起的應(yīng)變；kT—由熱載荷引起的曲率。

剛度矩陣為：

式中：Zk—垂直于厚度方向平面到中性面的距離；k—劃分層數(shù)；n—材料總層數(shù)。

由于反對稱鋪設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)具有兩個穩(wěn)態(tài)，可以從能量角度出發(fā)求解出兩個穩(wěn)態(tài)解，即總勢能的兩個極小值?；谝陨瞎?，得出總勢能包括彎曲應(yīng)變能ub和拉伸應(yīng)變能us，分別為：

(2)

(3)

單位面積的總勢能表達式為：

U=ub+us=

(4)

當(dāng)?shù)竭_第二穩(wěn)態(tài)時ky2≈0，利用最小勢能法可得第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2和扭曲率kxy2：

(5)

(6)

1.2 3種材料屬性的擬合

反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼采用Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy這3種材料屬性與溫度相關(guān)的材料。根據(jù)CAMPBELL[13]，ECKSTEIN[14]和ZHANG等人[15]對3種材料的材料屬性實驗測試數(shù)據(jù)，得出以下線性、二階最小二乘法擬合的公式。

Carbon/Epoxy材料屬性與溫度的關(guān)系式如下：

E1=(-0.065 4(T0+ΔT+Tzz)+128.03)×109Pa

E2=(-0.063 8(T0+ΔT+Tzz)+10.665)×109Pa

G12=(-0.033 9(T0+ΔT+Tzz)+5.387 7)×109Pa

ν12=0.410 2

α1=(0.000 3(T0+ΔT+Tzz)2-0.035 5(T0+ΔT+Tzz)+2.0897)×10-6

α2=(0.004 1(T0+ΔT+Tzz)2-0.225 4(T0+ΔT+Tzz)+32.23)×10-6

α3=(0.003 7(T0+ΔT+Tzz)2-0.149 6(T0+ΔT+Tzz)+32.78)×10-6

Carbon/PMR15材料屬性與溫度的關(guān)系式如下：

E1=(-0.052 5(T0+ΔT+Tzz)+139.67)×109Pa

E2=(-0.010 8(T0+ΔT+Tzz)+9.138 9)×109Pa

G12=(5×(T0+ΔT+Tzz)2×10-5-0.033 5(T0+ΔT+Tzz)+7.177 1)×109Pa

υ12=0.45

α1=(-4(T0+ΔT+Tzz)2×10-6+0.002 2(T0+ΔT+Tzz)-0.246 1)×10-6

α2=(-0.000 2(T0+ΔT+Tzz)2+0.022 9(T0+ΔT+Tzz)+28.341)×10-6

T300/5028 Graphite-Epoxy材料屬性與溫度的關(guān)系式如下：

E1=5×105(T0+ΔT+Tzz-21)2+1.99×108(T0+ΔT+Tzz-21)+1.65 Pa

E2=1.2×106(T0+ΔT+Tzz-21)2+2.56×108(T0+ΔT+Tzz-21)+2.20×1010Pa

G12=-3×104(T0+ΔT+Tzz-21)2-1.8×107(T0+ΔT+Tzz-21)+4.84×109Pa

ν12=-0.000 5(T0+ΔT+Tzz)+0.435 2

α1=10-11(T0+ΔT+Tzz-21)3+6×10-9(T0+ΔT+Tzz-21)2+10-6(T0+ΔT+Tzz-21)+5×10-5

α2=2.65×10-5

2 理論計算

反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)常被應(yīng)用在航天航空領(lǐng)域(如可變形機翼等)，常在高溫環(huán)境下服役。因此，為了研究在熱環(huán)境下性能較好的雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼，筆者展開了溫度場的變化對Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼的應(yīng)變能U，扭曲率kxy與第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2影響的研究。以下均使用鋪設(shè)方式為[45°/-45°/45°/-45°]，長度L為100 mm，初始半徑R為25 mm，單層材料厚度為0.12 mm且初始圓心角β為180°的試件參數(shù)進行計算。其中，圓柱殼試件形狀與尺寸如圖1所示。

圖1 反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼試件示意圖

2.1 恒溫場與均勻溫度場下的雙穩(wěn)態(tài)特性

在20 ℃、70 ℃和120 ℃恒溫場下，Carbon/Epoxy、Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy雙穩(wěn)態(tài)反對稱圓柱殼的應(yīng)變能U與第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的關(guān)系如圖2所示。

圖2 在不同恒溫場下3種材料雙穩(wěn)態(tài)反對稱圓柱殼的應(yīng)變能U與第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的關(guān)系(ky=0)

圖2中，3種材料的總勢能都存在一個極小值，這個極小值則對應(yīng)著各試件的第二穩(wěn)態(tài)。Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15的雙穩(wěn)態(tài)殼都是溫度越高對應(yīng)的U越低，然而T300/5028 Graphite-Epoxy這種材料在到達kx2最小值之前溫度越高對應(yīng)的U越低，而后溫度越高對應(yīng)的U越高。

3種材料制備的圓柱殼在均勻溫度場下溫度增量與扭曲率變化的關(guān)系(ΔT-kxy曲線)如圖3所示。

圖3 在均勻溫度場下3種材料反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼的溫度變化量ΔT與扭曲率kxy的關(guān)系

由圖3可知：隨溫度變化量的增加，Carbon/PMR15圓柱殼的扭曲率穩(wěn)定增長，然而Carbon/Epoxy圓柱殼的扭曲率在ΔT<100 ℃之前都穩(wěn)定增長，超過100 ℃后增長速率減緩。無論溫度升高或降低，兩者第二穩(wěn)態(tài)扭曲率均比初始狀態(tài)要大，即kxy1

均勻溫度場對3種材料反對稱鋪設(shè)圓柱殼的第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的影響情況如圖4所示。

圖4 在均勻溫度場作用下3種材料反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼的溫度變化ΔT與第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的關(guān)系

在圖4中，當(dāng)溫度保持在室溫時，Carbon/Epoxy的kx2數(shù)值在29.5 m-1附近，Carbon/PMR15的kx2數(shù)值在28 m-1附近，而T300/5028 Graphite-Epoxy的kx2數(shù)值在32 m-1附近。隨著溫度的增加kx2不斷增加，圓柱殼會變得更加卷攏，且Carbon/PMR15與T300/5028 Graphite-Epoxy曲線增長速率相近，而Carbon/Epoxy曲線增長速率較大。

均勻溫度場對3種材料反對稱鋪設(shè)圓柱殼的應(yīng)變能U的影響情況如圖5所示。

圖5 在均勻溫度場作用下3種材料反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼的溫度變化量ΔT與應(yīng)變能U的關(guān)系

從圖5可知：Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15兩種材料制備的圓柱殼隨著溫度的增加U會減小。Carbon/Epoxy圓柱殼的初始值為0.95 J左右，而Carbon/PMR15圓柱殼的初始值為1.15 J左右，并且曲線減小的速率Carbon/Epoxy要比Carbon/PMR15快。T300/5028 Graphite-Epoxy這種材料的圓柱殼隨溫度的增加，U先呈現(xiàn)緩慢遞增的趨勢，當(dāng)ΔT>70 ℃之后就快速增長，并且U的數(shù)值要比前面兩種材料大兩個數(shù)量級。

2.2 溫度梯度場下的雙穩(wěn)態(tài)特性

當(dāng)沿厚度方向有溫度梯度Tz變化時，在溫度T中需增加一項Tzz，整個反對稱鋪設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)受到的溫度為T=T0+ΔT+Tzz。考慮到材料的使用環(huán)境溫度區(qū)間，避免施加溫度梯度導(dǎo)致材料失效，所以筆者設(shè)置材料的初始溫度T0為50 ℃(即圓柱殼中心面溫度)，溫度梯度范圍為-200 ℃mm-1～200 ℃mm-1之間。溫度梯度Tz的變化對3種材料反對稱圓柱殼扭曲率kxy與第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的影響分別如圖6所示。

(a)溫度梯度Tz的變化對Carbon/Epoxy反對稱圓柱殼扭曲率kxy的影響

(b)溫度梯度Tz對Carbon/PMR15反對稱圓柱殼扭曲率kxy的影響

(c)溫度梯度Tz對T300/5028 Graphite-Epoxy圓柱殼扭曲率kxy的影響

(d)溫度梯度Tz對Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15反對稱圓柱殼第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的影響

(e)溫度梯度Tz的變化對T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱圓柱殼第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的影響

根據(jù)圖6可以發(fā)現(xiàn)：(1)Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15圓柱殼的kxy1和kxy2的數(shù)值相近且均為負數(shù)，而T300/5028 Graphite-Epoxy的扭曲率卻遠大于前兩種材料的圓柱殼，但三者結(jié)果都關(guān)于x=0 ℃mm-1呈軸對稱；(2)在Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15中|kxy1|<|kxy2|，而在T300/5028 Graphite-Epoxy中|kxy1|>|kxy2|；(3)3種材料雙穩(wěn)態(tài)殼的第二穩(wěn)態(tài)主曲率kxy2都隨著TZ的增長而增長，Carbon/Epoxy的初始值在29.5 m-1左右，而Carbon/PMR15的初始值在27.5 m-1左右，兩個增長率相近，但是Carbon/Epoxy的增長率較大。T300/5028 Graphite-Epoxy的初始值在2.5 m-1左右，增長率要遠大于前兩種材料的雙穩(wěn)態(tài)殼。

3 模擬與結(jié)果分析

3條突變荷載-位移曲線如圖7所示(分別對應(yīng)溫度從室溫20 ℃增加到40 ℃和60 ℃，施加機械載荷使雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼發(fā)生穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的過程)。

圖7 3種材料反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼在不同溫度作用下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的位移載荷關(guān)系

圖7結(jié)果表明：Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy雙穩(wěn)態(tài)殼曲線有相同的趨勢，即隨著施加載荷增加結(jié)構(gòu)位移明顯增加，且當(dāng)載荷達到峰值后位移量迅速下降到零。這種現(xiàn)象表明圓柱殼由第一穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙€(wěn)態(tài)。

Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱雙穩(wěn)態(tài)殼穩(wěn)態(tài)在不同室溫下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的突變載荷如表1所示。

表1 Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼不同溫度下的突變載荷

由表1可知：Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15反對稱圓柱殼的突變載荷將隨溫度的升高而降低，且在不同室溫下Carbon/PMR15的突變載荷都大于Carbon/Epoxy，然而T300/5028 Graphite-Epoxy的趨勢卻與前兩者不同，隨著溫度的上升突變載荷先上升后下降，但都遠大于前兩種材料的圓柱殼。

4 結(jié)束語

本文通過理論和有限元分析，研究了恒溫場、均勻溫度場和溫度梯度場對3種材料反對稱鋪設(shè)圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)行為的影響，結(jié)果均表明上述溫度場對第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2有明顯的影響，而扭曲率kxy受均勻溫度場的影響最為明顯。此外，Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15圓柱殼的扭曲率kxy和溫度變化之間的關(guān)系是相似的，kxy始終為整數(shù)且兩者數(shù)值差值小于5 m-1，但T300/5028 Graphite-Epoxy圓柱殼的趨勢與前兩者相反且為負數(shù)。同時，T300/5028 Graphite-Epoxy的第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2且穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變所需的突變載荷F在這3種材料非對稱鋪設(shè)圓柱殼種最大。

該研究結(jié)果可對雙穩(wěn)態(tài)反對稱圓柱殼選材提供指導(dǎo)。