二維譜的多分形特征提取及其應(yīng)用

任海鋒，潘宏俠，潘銘志

(1.中北大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原 030051；2. 晉中學(xué)院 機械學(xué)院，山西 晉中 030619)

通過分析武器裝備工作時的測試信號，對其運行狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測，或?qū)ζ浣】禒顩r進(jìn)行診斷，對于提升武器裝備的可靠性、保證其作戰(zhàn)性能具有重要意義。各種類型的二維譜在信號分析中得到了廣泛的應(yīng)用[1]，短時傅立葉變換、各種類型的小波變換、Cohen類和仿射類分布、各種高階變換、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)、局域均值分解(LMD)等常見的信號分析方法，最終都能得到相應(yīng)的二維譜。二維譜包含有大量不能以直觀方式獲取的信息，要充分利用這些信息，必須對二維譜進(jìn)行進(jìn)一步的量化特征提取。

現(xiàn)有的二維譜量化特征提取方法，主要是根據(jù)二維譜的具體類型和信號源的特點，進(jìn)行有針對性的處理[2-3]，不但適用范圍窄，對經(jīng)驗技巧的要求高，而且在操作過程中也難免會引入一定的主觀因素。提取二維譜的矩特征[4-5]或熵特征[6]是目前通用性較強的兩種方法，但它們都將二維譜視作一個整體來處理，最終得到的特征量只能體現(xiàn)二維譜的整體性質(zhì)，許多重要的細(xì)節(jié)信息都因為這些處理中的求和或平均操作而被淡化或抵消。

筆者提出了基于多分形分析和形態(tài)參數(shù)擬合的二維譜量化特征提取方法。此方法從奇異性的角度對二維譜進(jìn)行分層，并對每一層進(jìn)行維數(shù)分析，可更有效地提取二維譜的本質(zhì)特征。它操作步驟統(tǒng)一，不限于特定問題，具有很強的客觀性和通用性，并已在某高射機槍的裂紋故障診斷應(yīng)用中得到驗證。

1 二維譜多分形特征提取方法

將二維譜視為一個二維的數(shù)據(jù)集，首先借助于小波領(lǐng)袖來估計出其多分形譜上的離散點，然后再根據(jù)這些點的分布形態(tài)，選用適當(dāng)形式的、含有待定系數(shù)的曲線表達(dá)式，來對它們進(jìn)行擬合，用最終的擬合系數(shù)來構(gòu)成特征向量，并將其作為二維譜的最終特征，如圖1所示。

1.1 二維數(shù)據(jù)的多分形譜

二維數(shù)據(jù)的多分形譜，即是根據(jù)H?lder指數(shù)的不同將其中的元素劃分到不同的集合，再分別求取每個集合的Hausdorff維數(shù)[7]。設(shè)二元實函數(shù)f∶2→，則f的多分形譜Df(h)定義為

Df(h)=dimH{x∈2∶hf(x)=h}

(1)

式中：hf(x)為f在x處的H?lder指數(shù)；dimH為求取一個集合的Hausdorff維數(shù)的算子；Df(h)的定義域為f的H?lder指數(shù)可以取到的值，可見，Df(h)為一條一維的曲線。

1.2 二維譜的多分形分析方法

二維譜可視為一個二元實函數(shù)的等間隔離散采樣，它只具有有限的分辨率，并且在兩個維度上也只有有限的范圍，因此無法直接依據(jù)定義式(1)來得到它的多分形譜，可采用基于小波領(lǐng)袖的多分形分析方法[8]。

1.2.1 小波領(lǐng)袖與結(jié)構(gòu)函數(shù)

設(shè)二維數(shù)據(jù)集

Z={zx1,x2∶zz1,z2=f(x1Δ1,x2Δ2)}

(2)

為二元實函數(shù)f的一個等間隔離散采樣，其中(x1,x2)∈X?2為采樣點的位置指標(biāo)，Δ1和Δ2分別為每個維度上的采樣間隔。設(shè)為Z的二維離散小波變換系數(shù)，其中j為尺度指標(biāo)，k1和k2為尺度2j下的平移指標(biāo)。定義指標(biāo)的集合

λj,k1,k2={(j′,k1′,k2′)∶j′∈,k1′∈,k2′∈,[k1′2j′,(k1′+1)2j′)?[k12j,(k1+1)2j),[k2′2j′,(k2′+1)2j′)?[k22j,(k2+1)2j)}

(3)

(4)

則Z的小波領(lǐng)袖L(j,k1,k2)可定義為

(5)

Z的結(jié)構(gòu)函數(shù)S(j,q)定義為

(6)

式中，q∈；nj為尺度2j下小波領(lǐng)袖的個數(shù)。

1.2.2 多分形譜的估計

(7)

(8)

(9)

(10)

wj=bj(T0j-T1)/(T0T2-T12)

(11)

(12)

式中：j1和j2分別為參與估計的小波領(lǐng)袖尺度指標(biāo)的最小值和最大值；參數(shù)bj可取值為nj或1。

1.3 多分形譜的形態(tài)特征提取

在實際應(yīng)用中，通常要估計出多分形譜曲線上的幾十個點，以獲得關(guān)于其形狀的足夠信息。若直接以這些點的橫縱坐標(biāo)作為多分形譜的特征，則所得到的特征向量將具有很高的維度，這將不利于后續(xù)步驟中分類器的處理。因此，在估計出多分形譜曲線上的離散點以后，通常還要對它們進(jìn)行降維處理，用降維后的特征量來組建特征向量。

由于實際信號的多分形譜曲線一般都具有比較簡單的形狀，通常為一段比較光滑的凹函數(shù)，可采用形態(tài)參數(shù)擬合的方法來對它們進(jìn)行降維。即：根據(jù)所估計出來的多分形譜曲線上離散點的分布形態(tài)，選用一個適當(dāng)形式的、含有待定系數(shù)的曲線表達(dá)式來對這些離散點進(jìn)行曲線擬合，以最終的擬合系數(shù)來組建特征向量并以此作為多分形譜的最終特征。

2 應(yīng)用實例

2.1 診斷對象與故障設(shè)置

本實例要診斷的是某12.7 mm高射機槍自動機閉鎖機構(gòu)的裂紋故障。自動機是自動武器的核心部件之一，負(fù)責(zé)完成自動武器連續(xù)射擊所必需的一系列動作，這些動作伴隨著強烈的撞擊，使得自動機的零部件存在出現(xiàn)裂紋故障的隱患。閉鎖機構(gòu)是自動機的一部分，此機槍的閉鎖形式為卡鐵擺動式[9]，涉及槍機、閉鎖片、槍機框和機匣等零部件，如圖2所示。

在此閉鎖機構(gòu)容易發(fā)生裂紋故障的部位設(shè)置3種不同的裂紋故障，其中的兩種設(shè)置在閉鎖片上，另一種設(shè)置在槍機上。這3種故障的裂紋均為開裂紋，切入零件主體部分的深度均為1.5 mm，閉鎖片上的每種裂紋故障均在其左片和右片上對稱設(shè)置，如圖3所示。

2.2 數(shù)據(jù)采集與信號處理

設(shè)置有裂紋的3種故障狀態(tài)和無故障狀態(tài)共4種工況，控制其他實驗參數(shù)不變，分別在這4種工況下進(jìn)行多次的實彈射擊，采集每次射擊過程中機槍上的振動加速度信號。由于設(shè)置有裂紋故障的零件均位于機匣內(nèi)部，并且它們在機槍射擊的過程中都要做高速的往復(fù)運動，故無法直接在這些零件上安裝傳感器。本實驗在槍身上靠近開閉鎖撞擊發(fā)生的位置設(shè)置了測點，將利用此測點沿槍管軸線方向的振動加速度信號，來對機槍不同的故障狀態(tài)進(jìn)行分類。實驗系統(tǒng)如圖4所示。

首先對采集到的振動加速度信號進(jìn)行截斷處理，以得到故障信息更集中，且只對應(yīng)于單發(fā)子彈的信號段。截斷的起始于：機框復(fù)進(jìn)行程末期，機框上的凸起開始與閉鎖片發(fā)生閉鎖撞擊的時刻；終止于：機框后坐行程末期，后坐撞擊的振動響應(yīng)已大幅度衰減的時刻。截斷后的每個信號段都完整包含了由閉鎖撞擊、子彈擊發(fā)、開鎖撞擊和后坐撞擊所引起的振動響應(yīng)。由于二維譜的多分形特征對于信號截斷的始末位置不敏感，可適當(dāng)放寬對截斷位置的精度要求。然后對每個信號段進(jìn)行參數(shù)相同的同步壓縮小波變換[10]，可得到相應(yīng)的小波系數(shù)幅值譜，其中一個信號段的處理結(jié)果如圖5所示。

2.3 多分形譜的估計與特征提取

按1.2節(jié)的方法對每個小波系數(shù)幅值譜進(jìn)行多分形分析，可估計出其多分形譜曲線上的多個離散點，再按1.3節(jié)的方法來提取這些離散點分布的形態(tài)參數(shù)，并組建特征向量，如圖6所示。

圖6中的小圓圈即是估計出的圖5(b)的多分形譜上的離散點。由于這些離散點的分布形態(tài)接近于對勾函數(shù)的一個分支，兩條漸近線一條豎直，一條傾斜，因此可選用含有待定系數(shù)的對勾函數(shù)來對它們進(jìn)行擬合。這里所選用的具體形式為

(13)

式中：a,b,c,d為待定系數(shù)；h為自變量；D為h的函數(shù)，它的兩條漸近線分別為

(14)

和

D=ah+b

(15)

圖中的實線，是按照均方誤差最小的準(zhǔn)則，得到的擬合曲線。可見，擬合的效果很理想。擬合系數(shù)a,b,c,d即可作為多分形譜的形態(tài)參數(shù)，組成特征向量(a,b,c,d)。

2.4 分類器的訓(xùn)練與分類結(jié)果

每個信號段經(jīng)過上述處理都可得到一個4維的特征向量，可作為一個樣本對分類器進(jìn)行訓(xùn)練和測試。分類器訓(xùn)練好以后，即可用來預(yù)測故障類型未知的特征樣本所屬的故障類型。在本實例中，對每種故障狀態(tài)各取14個信號段進(jìn)行處理，可得到相應(yīng)的14個特征樣本，這樣，4種故障狀態(tài)共有56個特征樣本。

用這56個特征樣本對分類器進(jìn)行5折疊的交叉驗證[11]，即：將這56個特征樣本大致分為5等份，每次取其中的1份作為測試樣本，剩余的4份作為訓(xùn)練樣本，用訓(xùn)練樣本對分類器進(jìn)行訓(xùn)練，再用訓(xùn)練好的分類器去預(yù)測測試樣本的故障類型；依次輪換不同的測試樣本，共進(jìn)行5次這樣的訓(xùn)練和預(yù)測。最后，這56個特征樣本中的每一個，都曾作為測試樣本出現(xiàn)一次，看它被分類器所預(yù)測的故障類型的是否正確，進(jìn)而可以計算分類器最終的預(yù)測正確率。這樣的交叉驗證方法既可充分利用少量的樣本數(shù)據(jù)，又能體現(xiàn)分類器對于未知樣本的預(yù)測能力。

這里使用了兩種常見的分類器：分類樹[12]和支持向量機[13]，其中支持向量機采用了3次多項式核函數(shù)[14]和一對一的多分類擴展方案[15]。圖7給出了交叉驗證中兩種分類器對測試樣本的預(yù)測結(jié)果，其中：灰底色單元格上部的整數(shù)代表相應(yīng)的樣本個數(shù)，下部的百分?jǐn)?shù)代表此樣本個數(shù)占總樣本個數(shù)的百分比；白底色單元格上部和下部的百分?jǐn)?shù)則分別代表相應(yīng)的預(yù)測正確率和錯誤率。從圖7可知，分類樹對于測試樣本總的預(yù)測正確率為71.4%；對于故障1的預(yù)測正確率最低，為50%，但同時被誤判為故障1的樣本個數(shù)也最少，為0個；它對無故障類型樣本的預(yù)測正確率最高，為92.9%，但同時被誤判為無故障類型的樣本占所有被判別為此類別的樣本的比重也最高，為38.1%，這說明此分類樹在預(yù)測未知樣本時有遠(yuǎn)離故障1而靠近無故障類型的傾向。支持向量機的預(yù)測結(jié)果要好于分類樹，它對測試樣本總的預(yù)測正確率為89.3%；對于故障2的預(yù)測正確率最低，為78.6%，但同時也沒有樣本被誤判為故障2；它對無故障、故障1和故障3的預(yù)測正確率都達(dá)到了92.9%；被誤判為故障1的樣本所占的相對比例最高，為23.5%。

總的來說，這兩種分類器的預(yù)測結(jié)果還是令人滿意的。尤其是支持向量機，它對于單個類別最低78.6%的預(yù)測正確率和最高23.5%的誤判率，在體現(xiàn)出此分類器優(yōu)越性能的同時，也說明了按筆者提出的方法所提取出的二維譜多分形特征對于微弱裂紋故障的敏感性。

3 結(jié)束語

針對二維譜的特征量化問題，筆者提出了基于多分形分析和形態(tài)參數(shù)擬合的二維譜特征提取方法。它先對二維譜進(jìn)行多分形分析，再提取其多分形譜的形態(tài)參數(shù)，以形態(tài)參數(shù)組建二維譜的特征向量。多分形分析可根據(jù)H?lder指數(shù)的不同對二維譜進(jìn)行分層處理，能夠有效刻畫二維譜的本質(zhì)特征。基于小波領(lǐng)袖的多分形分析方法是實現(xiàn)多分形分析的可靠手段，它的底層基于離散小波變換，有完善的理論基礎(chǔ)和相應(yīng)的快速算法。通過曲線擬合來提取多分形譜的形態(tài)參數(shù)，靈活易行，適用于多種形態(tài)的多分形譜。筆者的方法不限于具體問題，也不依賴操作者對于信號源的經(jīng)驗認(rèn)識，在實施過程只需要少量的人為干預(yù)，由它所提取的二維譜量化特征具有較強的客觀性。在某高射機槍裂紋故障診斷中的成功應(yīng)用，驗證了此方法的可行性和有效性。