高中數(shù)學(xué)法向量概念教學(xué)的有效策略

摘要：由于法向量兼具代數(shù)和幾何的雙重屬性，利用它通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解題非常便于幾何問(wèn)題代數(shù)化，從而有效降低解題難度和思維負(fù)擔(dān)。，法向量的熟練應(yīng)用首先取決于對(duì)其概念的切實(shí)把握，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生不善運(yùn)用法向量大多是由于概念上理角不深刻或出現(xiàn)偏差。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)對(duì)高中法向量概念教授進(jìn)行了探討，希望對(duì)一線教師有所助益。

關(guān)鍵詞：法向量 高中數(shù)學(xué) 立體幾何 概念教學(xué)

作為一種既有方向又有大小的量，法向量兼具代數(shù)和幾何的雙重屬性，利用它來(lái)解題往往可以減少輔助線的添加，通過(guò)建立空間坐標(biāo)系使幾何問(wèn)題代數(shù)化獲得求解?？傮w來(lái)看，利用法向量解題不僅思路明確而易于理解，而且較為程序化，利于學(xué)生把握。此外，法向量的應(yīng)用也較有普遍性，在高中階段幾乎所有的空間立體幾何題都可利用它來(lái)求解。但法向量的熟練應(yīng)用首先取決于對(duì)其概念的切實(shí)把握，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生不善運(yùn)用法向量大多是由于概念上理解不深刻或出現(xiàn)偏差。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)對(duì)高中法向量概念教授進(jìn)行了探討，希望對(duì)一線教師有所助益。

一、對(duì)法向量概念表述的多視角分析

語(yǔ)言是思維的載體，不同的語(yǔ)言體現(xiàn)不同的思維方式。而概念正是一種特定思維的語(yǔ)言表達(dá)。高中數(shù)學(xué)人教A版對(duì)法向量的定義是這樣表述的：“直線l垂直于平面α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量。對(duì)此我們有以下分析：

首先從概念鏈看，教材中的表述方式實(shí)際上是將平面的法向量處理為直線的方向向量的下位概念。雖然平面向量為空間向量提供了很好的類(lèi)比，但學(xué)生在選修2-1之前并沒(méi)有深入學(xué)習(xí)過(guò)直線的方向向量。真正接觸直線的方向向量并認(rèn)識(shí)其價(jià)值是在選修4-4學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程時(shí)。但這通常會(huì)安排在選修2-1之后。因此雖然掌握直線的方向向量有利于法向量的概念的理解，但作為上位概念的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，總體來(lái)說(shuō)還比較匱乏，這一點(diǎn)對(duì)深刻理解法向量概念會(huì)造成一定的不利影響，對(duì)此我們要給予足夠的重視。

其次從概念定義形式看，雖然簡(jiǎn)明扼要并采用了“以圖注話“方式，但仍然主要是基于直觀感知，且描述成分多，一些需要挖掘的重要內(nèi)涵并沒(méi)體現(xiàn)或留下探索空間，因此有些“意猶未盡”。需要挖掘的內(nèi)涵點(diǎn)主要有：法向量所在直線與平面的垂直關(guān)系，即法向量所在直線與該平面垂直;平面的法向量間的關(guān)系，即一個(gè)平面有無(wú)數(shù)條法向量，呈現(xiàn)共線或平行關(guān)系;利用法向量確定平面，即已知一個(gè)點(diǎn)A和向量a，過(guò)點(diǎn)A且以向量a為法向量的平面是確定的。這些都屬于概念的延伸性內(nèi)涵，如果理解不到位，就會(huì)對(duì)法向量的學(xué)習(xí)與應(yīng)用帶來(lái)較大的負(fù)面影響。

最后從概念的應(yīng)用來(lái)看，除了用于表述和證明立體幾何中的線面、面面的位置關(guān)系（以為垂直和平行為主），主要是建立空間坐標(biāo)系，應(yīng)用法向量使幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算方式計(jì)算空間角（主要是線面角和二面角）或空間距離。這兩種基本應(yīng)用都是以學(xué)生的空間概念和空間想象力為基礎(chǔ)，而法向量的學(xué)習(xí)與必修2立體幾何的初步學(xué)習(xí)已隔了將近一年，學(xué)生遺忘及空間想象力退步是不可避免的，許多以前學(xué)的知識(shí)和技能都需要復(fù)習(xí)從而喚醒學(xué)生的空間感知能力。這種情況也對(duì)法向量的學(xué)習(xí)造成了一定負(fù)面影響。

二、法向量教學(xué)的有效策略

基于上述的分析，筆者在教學(xué)實(shí)踐中所采取的對(duì)策是：不在法向量概念的表述形式上過(guò)于強(qiáng)調(diào)和糾結(jié)，而是引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題： “法向量與平面之間有著怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？如何通過(guò)法向量確定平面的位置？通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線與平面間的各種位置關(guān)系？（平行、垂直、夾角）”在具體的教學(xué)過(guò)程中，則應(yīng)注意以下三個(gè)教學(xué)步驟的實(shí)施：

步驟一：使學(xué)生掌握利用方向向量確定直線的位置。這一點(diǎn)不僅是學(xué)習(xí)用向量表述空間位置關(guān)系的重要鋪墊，也間接為法向量的學(xué)習(xí)提供了上位知識(shí)與類(lèi)比思維空間。

步驟二：使學(xué)生掌握利用向量確定平面的位置。這一步驟又可分為兩小步，即首先與學(xué)生一起回顧必修2立體幾何初步中確定平面的依據(jù)：一是，公理2及其三個(gè)推論;二是，過(guò)空間一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)。其次從想練個(gè)思維出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生得出兩個(gè)基本結(jié)論并形成牢固記憶：一點(diǎn)與兩個(gè)不共線的向量確定一個(gè)平面;一點(diǎn)和一個(gè)法向量確定一個(gè)平面。

步驟三：設(shè)計(jì)利用方向向量、法向量表述線面、面面的位置關(guān)系。在這一步中要特別注重引導(dǎo)學(xué)生從向量角度完成線面、面面平行和垂直的表述與判斷，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用向量法證明線面、面面平行和垂直判定定理的過(guò)程。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，我們對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)教材中法向量定義的表述進(jìn)行了多視角分析，指出了幾個(gè)影響法向量概念教學(xué)的主要因素，并在此基礎(chǔ)上提出了具有針對(duì)性的教學(xué)策略及具體教學(xué)流程。從筆者的教學(xué)實(shí)踐看，上述策略只要運(yùn)用得當(dāng)效果還是比較明顯的。總而言之，法向量的熟練應(yīng)用有賴于對(duì)其概念的切實(shí)把握，我們應(yīng)重視其概念教學(xué)，為學(xué)生順利掌握法向量這一立體幾何解題工具奠定良好基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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